正弦定理课件-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册.pptx

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1、2.6.1 正弦定理【问题思考】1.在ABC中,若A=30,B=45,AC=4,你能用余弦定理求出BC的长度吗?提示:不能.2.在RtABC中,A=30,斜边c=2.(1)请你求出ABC的其他边和角.(3)对任意的直角三角形,是否都有(2)中的结论?(3)如图,ABC为任意的一个直角三角形,正弦定理的证明 教材中给出了当ABC为直角三角形和锐角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ABC为钝角三角形时的证明.正弦定理的描述【文字语言】在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等适用范围：任意的三角形结构特征：分式连等形式，各边与其对角的正弦严格对应.简单应用：两角任一边和两边及一边的对

2、角已知两角和一边解三角形例1在ABC中,已知B=30,C=105,b=4,解三角形.解因为B=30,C=105,所以A=180-(B+C)=180-(30+105)=45.变式训练1在ABC中,a=20,A=45,B=75,则边c的长为.【例2】在ABC中,根据下列条件,解三角形.C为ABC的内角,C=60或C=120.当C=60时,B=180-A-C=90,延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120”,解三角形.三角形解的个数 1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在ABC中,当已知a,

3、b和角A时,在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:(1)当A为锐角时,比较a,b,bsinAabsin A,无解;a=bsin A,一个解;bsin Aab,一个解;ab,无解.例3满足条件a=4,b=3 ,A=45的三角形的个数是()A.1个B.2个C.无数个D.不存在答案B不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120;(2)a=7,b=14,A=150;(3)a=9,b=10,A=60.解(1)因为A=120为钝角,a=5b=4,所以三角形有一解.(2)因为A=150为钝角,a=7bsin A,所以三角形有两解.答案D 正弦定理的拓展1.正弦定理与三角形外接圆的关系以RtABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则2.正弦定理的变形(R为ABC外接圆的半径)变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.变式4:abc=sin Asin Bsin C.判断三角形的形状例3已知在ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.