江苏省常州市2023届高三第一次调研测试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，则当时，的最大值是（ ）A8B9C10D112已知，分别是三个内角，的对边，则（ ）ABCD3已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，编号，现从中

2、摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，的概率为（ ）ABCD4设为锐角，若，则的值为（ ）AB C D5在三棱锥中，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD6已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）ABCD7函数的大致图象是ABCD8已知向量，夹角为， ，则( )A2B4CD9过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）ABCD10已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率

3、为（ ）ABCD11已知平面向量，则实数x的值等于（ ）A6B1CD12已知f（x）=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么a+b的值是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_14若函数恒成立,则实数的取值范围是_.15四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_16若、满足约束条件，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.18（12分）如图，已知椭圆的右

4、焦点为，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.（）求椭圆的标准方程；（）直线经过，交椭圆于点，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，求证：直线与直线的交点在定直线上.19（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.20（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.（）求角的大小；（）若，求面积的取值范围.21（12分）某调查机构对某校学生

5、做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722

6、.7063.8415.0246.63522（10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB90，ACCBC1C1，M，N分别是AB，A1C的中点.（1）求证：直线MN平面ACB1；（2）求点C1到平面B1MC的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意计算，解不等式得到答案.【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，.是以1为首项，2为公比的等比数列，.，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用

7、.2、C【解析】原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.3、B【解析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，”， 记事件“恰好不同时包含字母，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），则事件“恰好不同时包含字母，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，”记事件“恰好不同时包含字母，”为，则

8、.故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题4、D【解析】用诱导公式和二倍角公式计算【详解】故选：D【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系5、C【解析】首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积【详解】取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，为的中点由球的性质可知：平面，且设，在中，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外

9、接球的表面积为故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.6、A【解析】画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【详解】由于，,由于，令，在，故.故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.7、A【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，可排除D选项；当时，当时，即，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用

10、，属于中档题8、A【解析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【详解】由于，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.9、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选10、D【解析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.【详解】类产品共两件，类产品共三件，则第一次检测出类产品的概率为；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计

11、算公式的应用，属于基础题.11、A【解析】根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，即，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.12、B【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x），且定义域关于原点对称，a1=2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在a1，2a上的偶函数，得a1=2a，解得a=，又f（x）=f（x），b=0，a+b=故选B【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

12、0分。13、【解析】做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.【详解】解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知，则 设的外接圆圆心为，则在直线上且 设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为 在 中，由余弦定理可知，.在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且 设 ，则，因为，所以 解得.则 所以球的表面积为.故答案为: .【点睛】本题考

13、查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.14、【解析】若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。【详解】由题意得,只要即可，当时，令解得，令，解得，单调递减，令，解得，单调递增，故在时，有最小值，若恒成立，则，解得；当时，恒成立;当时，单调递增，,不合题意,舍去.综上,实数的取值

14、范围是.故答案为：【点睛】本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。15、【解析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求【详解】解：如图，在四面体中，底面，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1其表面积为故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题16、【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经

15、过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.设研究在处左正右负，求导，分 ，三种情况讨论求解.【详解】（1）因为，所以，令，则，所以是的增函数，故，即.因为所以，当时，所以函数在上单调递增.若，则若，则所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意，当时，所以函数在上单调递减.若，则若，则所以的单调递减区

16、间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意.当时，使得，即，但当时，即所以函数在上单调递减，所以，即函数)在上单调递减，不符合题意综上所述，的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.18、（）；（）详见解析.【解析】（）由椭圆的定义可得，周长取最大值时，线段过点，可求出，从而求出椭圆的标准方程；（）设直线，直线，.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出和，根据求出的值.最后直线与直线的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（）设的周长为，则，当且仅当线段过点时“”成立.，又，椭圆的标准方程为

17、.（）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.设，.将直线的方程代入椭圆方程得：.，,.同理，.由得，此时.直线， 联立直线与直线的方程得，即点在定直线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.19、（1），;（2），. 【解析】(1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解：（1）由消去参数得，即曲线的普通方程为， 又由得即为，即曲线的平面直角坐标方程为 （2）圆心到曲线：的距离，如图所示，所以直线与圆的切点以及

18、直线与圆的两个交点，即为所求，则，直线的倾斜角为， 即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，所以三个点的极坐标为，.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.20、（）；（）【解析】（）根据，利用二倍角公式得到，再由辅助角公式得到，然后根据正弦函数的性质求解.（）根据（）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【详解】（）因为，所以，或，或，因为，所以所以；（）由余弦定理

19、得： ，所以，所以，当且仅当取等号，又因为，所以，所以【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题知

20、持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.22、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MNBC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证ACBC1，BC1B1C，即可求证直线MN平面ACB1；（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解【详解】（1）证明：连接AC1，BC1，则NAC1且N为AC1的中点；M是AB的中点.所以：M

21、NBC1；A1A平面ABC，AC平面ABC，A1AAC，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1CC，ACCC1，ACB90，BCCC1C，BC平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，ACBC1；又MNBC1ACMN，CBC1C1，四边形BB1C1C正方形，BC1B1C，MNB1C，而ACB1CC，且AC平面ACB1，CB1平面ACB1，MN平面ACB1，（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，因为MP，所以MP，因为CM，B1C；B1M，所以所以：CMB1M.因为，所以，解得所以点，到平面的距离为 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题