江苏省吴江市青云中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）ABCD2函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（

2、 ）ABCD3对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，.下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )发芽所需天数1234567种子数43352210A2B3C3.5D44设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（ ）ABCD5已知等比数列满足，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）A36B72CD6历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术

3、近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是ABCD7甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A丙被录用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了8已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）ABCD9中国铁路总公

4、司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列10复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德

5、育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A12种B24种C36种D48种12新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B201

6、6年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在矩形ABCD中，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为_.14若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_.15已知，是平面向量，是单位向量.若，且，则的取值范围是_.16连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为_

7、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，（）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（）当取最小值时，求点的坐标18（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：19（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分

8、布表：时间（小时）0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6频率0.050.200.300.250.150.05若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：K2.P（K2k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87920（12分）已知点，若点满足.（）求点的轨迹方程； （）过点的直线与（）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求面积的最大值及

9、此时直线的方程.21（12分）如图，已知四边形的直角梯形，BC，为线段的中点，平面，为线段上一点（不与端点重合）（1）若，（）求证：PC平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由22（10分）如图1，四边形是边长为2的菱形，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.【详

10、解】由题可得，所以，又，所以，得，所以椭圆的方程为.故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.2、B【解析】根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.【详解】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，则有，可得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为1，故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.3、C【解析】根据表中数据，即可容易求得中位数.【详解】

11、由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选：C.【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.4、C【解析】根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.【详解】依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.5、A【解析】根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.6、B【解

12、析】初始：，第一次循环：，继续循环；第二次循环：，此时，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B7、C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案考点：异面直线所成

13、的角9、D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题10、C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.11、C【解析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，

14、剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12、C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积

15、运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设， ，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.14、【解析】将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，设球的半径为，因为球的直径是正方体的对角线， 即，解得，所以球的

16、表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.15、【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解【详解】由是单位向量若，设，则，又，则，则，则，又，所以，（当或时取等）即的取值范围是，故答案为：，【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平16、【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗

17、骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（）见解析（）点的坐标为【解析】（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；（2）（i）设，的中点为，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.【详解】解：（1）由题意得， ，所以，所以椭圆方程为（2）设， 的中点为，（）证明：由，可设直线的方程为，代入椭圆方程，

18、得，所以，所以，则直线的斜率为，因为，所以，所以三点共线，所以平分线段；（ii）由两点间的距离公式得由弦长公式得 所以，令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，所以当取最小值时，点的坐标为【点睛】此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.18、（1）（2）【解析】（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，然后再整体代入可得；【详解】解：（1）联立解得，所以曲线和曲线围成的图形面积（2）【点睛】本题考查定积分求曲边形的面

19、积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.19、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【解析】（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可【详解】（1）因为男生人数：女生人数900：11009：11，所以男生人数为，女生人数1004555人，（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（10.3+10.25+10.15+10.05）10075人，每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，联表如下：男生

20、女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时71825每周平均体育锻炼时间超过2小时383775总计4555100因为3.8923.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.20、（）；（）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （）设直线的方程为与椭圆交于点， ，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，

21、. 面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.21、（1）（）证明见解析（）（2）存在，【解析】（1）（i）连接交于点，连接，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，由此能证明PC平面（ii）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（2）设，求出平面的法向量，利用向量法求解.【详解】（1）（）证明：连接交于点，连接，因为为线段的中点，所以,因为，所以因为所以四边形为平行四边形所以又因为，所以又因为平面

22、，平面，所以平面（）解：如图，在平行四边形中因为，所以以为原点建立空间直角坐标系则，所以， 平面的法向量为设平面的法向量为，则，即，取，得，设平面和平面所成的锐二面角为，则所以锐二面角的余弦值为（2）设所以，设平面的法向量为，则，取，得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以解得所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意可证得，所以平面，则平面平面可证；

23、（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.【详解】解法一：（1）依题意知，因为，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.因为，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱锥的体积.在中，得，由（1）知，平面，所以，所以，设点到平面的距离，则三棱锥的体积，得.解法二：（1）同解法一；（2）因为，平面，平面，所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.过点作的垂线，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为点到平面的距离.由（1）知，在中，得.又，所以.所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：等体积法；作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.