江西省“山江湖”协作体2023年高考数学一模试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ）A4B8C9D272小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为(

2、 )ABCD3下列不等式正确的是（ ）ABCD4已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ）ABCD5已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是( )A29B30C31D326已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）AB5CD97某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内

3、外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）ABCD8若单位向量，夹角为，且，则实数（ ）A1B2C0或1D2或19等比数列的各项均为正数，且，则( )A12B10C8D10甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）ABCD11已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，的大小关系是（ ）ABCD12在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个

4、，这二者具有相生关系的概率是（ ）A0.2B0.5C0.4D0.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值_14已知数列满足：点在直线上，若使、构成等比数列，则_15定义在R上的函数满足：对任意的，都有；当时，则函数的解析式可以是_.16近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概

5、率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.（参考数据：）18（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.19（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进

6、行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.求每层应抽取的人数；若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.20（12分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨

7、难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567全国累计报告确诊病例数量（万人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？ （2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据：，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

8、.21（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.（1）讨论的单调性（2）求实数和a的值（3）证明22（10分）已知抛物线与直线.（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解

9、】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，则，设内切球的半径为，内切球的球心为，则，解得：；设外接球的半径为，外接球的球心为，则或，在中，由勾股定理得：，解得， 故选：D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.2、A【解析】利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查

10、学生的基本运算能力，是一道基础题.3、D【解析】根据，利用排除法，即可求解【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以故选D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4、C【解析】试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C考点：1向量加减法的几何意义；2正弦定理；3正弦函数性质5、B【解析】设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求【详解】设正项等比

11、数列的公比为q，则a4=16q3，a7=16q6，a4与a7的等差中项为，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（负值舍去），则有S5=1故选C【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题6、A【解析】利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解：的值域为,当且仅当时取等号,的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.7、C【解析】计算出、，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，由频率分布直方图可知，则，由于场外有数万名观

12、众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.【详解】由于，所以，即，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.9、B【解析】由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论【详解】数列是等比数列，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键10、B【解析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元

13、,y元,z元,记为,则基本事件有,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.11、D【解析】利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.12、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木

14、、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为， 如图所示，平面， 所以底面积为， 几何体的高为，所以其体积为 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视

15、图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解14、13【解析】根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果.【详解】在上，成等比数列，即，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.15、（或，答案不唯一）【解析】由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在中，令，得；令，则，故是奇函数，由时，知或等，答案不唯一.故答案为：（或，答案不唯一）.【点睛】本题考查抽象函数的性质，

16、涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.16、【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率： 故答案为：【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）2【解析】（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.（2）对分

17、成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）已知函数，则处即为，又，可知函数过点的切线为，即.（2）注意到，不等式中，当时，显然成立；当时，不等式可化为令，则，所以存在，使.由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.且在区间上，递减，在区间上，递增，即的最小值为，令，则，将的最小值设为，则，因此原式需满足，即在上恒成立，又，可知判别式即可，即，且可以取到的最大整数为2.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成

18、立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，求得，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.【详解】（1） 因为 ， ， 所以，所以函数的最小正周期为. （2）因为，所以，所以，故函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.19、（1），中位数；（2）三层中抽取的人数分别为2，5，13；【解析】（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，再结合中位数的计算方法，即可求解.

19、（2）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；由知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，的频数分别为20，50，130，所以从，三层中抽取的人数分别为2，5，13.由知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，共有21种，其中2人

20、不在同一层的情况为，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20、（1）可以用线性回归模型拟合与的关系；（2），预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.【解析】（1）根据已知数据，利用公式求得，再根据的值越大说明它们的线性相关性越高来判断.（2）由（1）的相关数据，求得，写出回归方程，然后将代入回归方程求解.【详解】（1）由已知数据得，所以，所以.因为与的相关近似为0.99，说明它们的线性相关性相当

21、高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由（1）得，所以，关于的回归方程为：，2月10日，即代入回归方程得：.所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.【点睛】本题主要考查线性回归分析和回归方程的求解及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21、（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数的定义域为，且，令，则有，由，可得，可知当

22、x变化时，的变化情况如下表：1-0+极小值，即，可得在区间单调递增；（2）由已知可得函数的定义域为，且，由已知得，即，由可得，联立，消去a，可得，令，则，由（1）知，故，在区间单调递增，注意到，所以方程有唯一解，代入，可得，；（3）证明：由（1）知在区间单调递增，故当时，可得在区间单调递增，因此，当时，即，亦即，这时，故可得，取，可得，而，故.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等

23、式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22、（1）；（2）证明见解析，或【解析】（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）设，表示出直线，的方程，利用表示出，即可求定点的坐标【详解】（1）设抛物线上点的坐标为，则，时取等号），则抛物线上的点到直线距离的最小值；（2）设，直线，的方程为分别为，由两条直线都经过点点得，为方程的两根，直线的方程为，共线又，解，点，是直线上的动点，时，时，或【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力