深圳四校发展联盟体2023年高考数学一模试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD2已知是虚数单位，若，则实数（ ）A或B-1或1C1D3已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）ABC或D4己知，则（ ）AB

2、CD5盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）ABCD6函数在的图象大致为ABCD7若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD8已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）ABCD9若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ）ABCD10已知数列，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ）A64B32C2D411已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有则不等式的解集为（ ）ABC或D或12下列函数中，值域为的偶函数是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

3、共20分。13若，则_.14如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，若，则的取值范围是_15随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为_.16实数满足，则的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.18（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，

4、平面，是线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.（）当为线段的中点时，求直线的方程；（）记的面积为，的面积为，求的最小值.20（12分）已知函数的导函数的两个零点为和（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值21（12分）已知函数，若的解集为（1）求的值；（2）若正实数，满足，求证：22（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.参考答案一、选择题：

5、本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.2、B【解析】由题意得，然后求解即可【详解】，.又，.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题3、D【解析】先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.【详解】，若在上不单调，令，则函数对称轴方程为在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时，显然不成立；当时，只需或，解得或.故选:

6、D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.4、B【解析】先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.5、B【解析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：故选：B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算

7、的能力，属于中档题.6、A【解析】因为，所以排除C、D当从负方向趋近于0时，可得.故选A7、A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f（x）求方程f（x）0的根列表检验f（x）在f（x）0的根的附近两侧的符号下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f（x0）0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.8、A【解析】画出分段函数图像，可得，由于，构造函

8、数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【详解】由于，,由于，令，在，故.故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.9、D【解析】由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，所以满足条件故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较

9、难题.10、A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，故，.故选：.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.11、D【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数，则由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即即又为开口向上的偶函数所以，解得或故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.12、C【解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C考

10、点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为，所以.因为，所以，又，所以，所以.14、【解析】由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果【详解】设，则，由，得，代入椭圆方程，得，化简得恒成立，由此得，即，故故答案为：【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 15、3000【解析】根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市

11、身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.16、【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值由同理，取最大值故答案为： 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求

12、最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；，.【解析】由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为，令，求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵，则，所以，解得，所以矩阵；矩阵的特征多项式为，令，解得，即矩阵的两个特征值为，.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由，故，所以四边形为菱形，再通过，证得，所以四边形为正方形，得到.（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面的法向量为，由求得，再由，利用线面角的向量法公式求解.【详解】（1）因为，故，所以四边形为菱形，而平面，故.因为，故，故，即四边形为正方形

13、，故.（2）依题意，.在正方形中，故以为原点，所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系；如图所示：不纺设，则，又因为，所以.所以.设平面的法向量为，则，即，令，则.于是.又因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.19、（）直线的方程为（）【解析】（1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标，求出直线的方程，从而求出，最后利用

14、以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.【详解】解：（）由椭圆，可得：由题意：设点，当为的中点时，可得：代入椭圆方程，可得：所以：所以.故直线的方程为.（）由题意，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为：令，得：，所以：.联立：，消，整理得：.因为直线与椭圆相切，所以.即.设，则，所以.又直线直线，所以设直线的方程为：.令，得，所以：.因为，所以直线的方程为：.令，得，所以：.所以.又因为.所以（当且仅当，即时等号成立）所以.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运

15、算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.20、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是【解析】（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同又因为，所以当时，即；当或时，即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得， ，所以因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和

16、.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.21、（1）；（2）证明见详解.【解析】（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1），因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，等号成立【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.22、（）（）（2，+）【解析】试题分析：()由题意零点分段即可确定不等式的解集为；()由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为 试题解析：（I）当时，化为， 当时，不等式化为，无解； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得 所以的解集为 （II）由题设可得， 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为 由题设得，故 所以a的取值范围为