浙江省三校2023届高三第四次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）AB复数的共轭复数是CD2已知函数的图像上

2、有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）ABCD3已知椭圆：的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，成等差数列，则的离心率为（ ）ABCD4下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位5已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A45B42C25D366若函数（其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度7如图，正方体的棱长为1，动

3、点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）A，B存在点，使得平面平面C平面D三棱锥的体积为定值8设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D1209在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD11若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）ABCD12在等差数列中，若，则（ ）A8B12C14D10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，其中，为正的常数，且，则的值为_.14 (xy

4、)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.15在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内若，则_16如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是_；最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.18（12分）设的内角、的对边长分别为、.设为的面积，满足.(1)求；(2)若，求的最大值.19（

5、12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.20（12分）在四边形中，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：（1）平面平面；（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.21（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将，中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：（

6、1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22（10分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量 (件)已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.参

7、考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.2、A【解析】可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值

8、范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为，当时，当时，则当时，单减，当时，单增；当时，当，,当时，单减，当时，单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当与（）相切时，得，解得；当与（）相切时，满足，解得，结合图像可知，即，故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题3、C【解析】根据等差数列的性质设出，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，成等差数列，设，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，离心率.故选：C

9、【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.4、D【解析】根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为，根据图像：，故，即，取，得到，函数向右平移个单位得到.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.5、D【解析】由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.6、B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的

10、图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】根据已知函数其中，的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题7、B【解析】根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；在C

11、中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8、B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9、C【解析】讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否

12、成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，若 时，要使得恒成立，则 ，即 .所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.10、C【解析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.11、D【解析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部

13、.【详解】由zi1i，z ，所以共轭复数=-1+，虚部为1故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题12、C【解析】将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得解得，所以故选C【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值【详解】解：由，得，即，又，解得：为正的常数，故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方

14、法，属于中档题14、40【解析】先求出的展开式的通项，再求出即得解.【详解】设的展开式的通项为，令r=3,则，令r=2,则，所以展开式中含x3y3的项为.所以x3y3的系数为40.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解：连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：设 得,解得,或,显然得出的是定值,取则,故答案为：【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.16、(或写成

15、)【解析】试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据题意，设直线方程为，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；（2）根据题意，设的方程为，联立方程得，同理可得，进而得到，再利用点差法得直线的斜率，利用切线与导数的关系得直线的斜率，进而可得与互补.【详解】（1）由题意设直线的方程为，令、，联立，得，根据抛物线的定义得，又，故所求抛物线方程为.（2）依题意，设，设的方程为，与联立消去得，同理，直线的斜率=切线的斜率，由

16、，即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题18、 (1)；(2).【解析】(1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出，即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值【详解】(1)，即，变形得：，整理得：，又，；(2)，由正弦定理知，当且仅当时取最大值故的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题19、（1）；

17、（2）.【解析】（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；（2）利用导数求得最大值即可.【详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，所以，同理，.（2）设，则，令，则，即.设，且，则当时，所以单调递减；当时，所以单调递增，所以当时，取得极小值，所以.因为，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.20、（1）证明见详解；（2）【解析】（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面

18、垂直的判定定理，可证平面平面.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.【详解】证明：（1）在中，为正三角形，且在中，为等腰直角三角形，且取的中点，连接，平面平面平面.平面平面（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.则设平面的一个法向量为.则，令，解得与平面所成角的正弦值为，整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量，二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，

19、向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.21、（1）；（2）.【解析】若补充根据已知可得平面，从而有，结合，可得平面，故有，而，得到，成立与相同，成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以作为条件分析;（1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论；（2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.【详解】第一种情况：若将，作为已知条件，解答如下：（1）设平面为平面.，平面，而平面平面，又为中点.设，则.在三角形中，由知平面，梯形的面积，平面，故，.（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）得

20、为平面的一个法向量，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.第二种情况：若将，作为已知条件，则由知平面，又，所以平面，又，故为中点，即，解答如上不变.第三种情况：若将，作为已知条件，由及第二种情况知，又，易知，解答仍如上不变.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.22、（1）乙同学正确（2）分布列见解析， 【解析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表： “理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.，于是“理想数据”的个数的分布列【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.