陕西省西安交通大学附中2023年高三适应性调研考试数学试题含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABC

2、D2如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，则与面所成角的正弦值等于（ ）ABCD3的内角的对边分别为，若，则内角（ ）ABCD4若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）ABC4D55从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为ABCD6已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当时，函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）ABCD7已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）ABCD8已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的

3、投影为（ ）ABCD9如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）ABCD10已知函数，的零点分别为，则（ ）ABCD11如图1，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ABCD12已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数的最大值为3，的图象与y轴

4、的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则14已知x，y0，且，则x+y的最小值为_15已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是_16已知数列满足：，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程；（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形；（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.1

5、8（12分）设函数.（1）时，求的单调区间；（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.19（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况

6、男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.20（12分）已知函数，其

7、导函数为，（1）若，求不等式的解集；（2）证明：对任意的，恒有.21（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.22（10分）在中，为边上一点，.（1）求；（2）若，求.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【详解】由，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同由此

8、易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.2、A【解析】首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，设中点为，连接，可知，同时易知，所以面，故即为与面所成角，有，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.3、C【解析】由正弦定理化边为角，由三角

9、函数恒等变换可得【详解】，由正弦定理可得，三角形中，故选：C【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键4、D【解析】根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长【详解】解：复数za+bi，a、bR；2z，2（a+bi）（abi），即，解得a3，b4，z3+4i，|z|故选D【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题5、C【解析】由题可得，解得，则，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C6、A【解析】根据奇偶性的定义可判断出正确；由周期函数特点知错误；函数定义域为，最值点即为极值点

10、，由知错误；令，在和两种情况下知均无零点，知正确.【详解】由题意得：定义域为，为奇函数，图象关于原点对称，正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，错误；，不是最值，错误；令，当时，此时与无交点；当时，此时与无交点；综上所述：与无交点，正确.故选：.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.7、A【解析】先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率【详解】解：抛物线经过点，故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.8、D【解析】设非零向量与的夹角为，在等式

11、两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.9、B【解析】列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】，不成立，；不成立，；不成立，；成立，输出的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.10、C【解析】转化函数，的零点为与，的交点，数形结合，即得解.【详解】函数，的零点，即为与，的交点，作出与，的图象，如图所示，可知故选：C【点睛】本

12、题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.11、B【解析】如图，已知，解得， ，解得.折断后的竹干高为4.55尺故选B.12、A【解析】点的坐标为，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，所以双曲线的方程为故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【

13、解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.14、1【解析】处理变形x+yx（）+y结合均值不等式求解最值.【详解】x，y0，且，则x+yx（）+y1，当且仅当时取等号，此时x4，y2，取得最小值1故答案为：1【点睛】此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.15、【解析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.16、2【解析】根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参

14、数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明：对任意的正整数都有.当时, 成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.【解析】（1）根据两个曲线的焦点相同，得到，

15、再根据与的公共弦长为得出，可求出和的值，进而可得出曲线的方程；（2）设点，根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，利用向量的数量积得出，则问题得以证明；（3）设直线，直线，、，推导出以及，求出和，通过化简计算可得出为定值，进而可得出结论.【详解】（1）由知其焦点的坐标为，也是椭圆的一个焦点，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，联立，得，故的方程为；（2）如图，由得，在点处的切线方程为，即，令，得，即，而，于是，因此是锐角，从而是钝角.故直线绕点旋转时，总是钝角三角形；（3）设直线，直线，、，则，设向量和的夹角为，则的面积为，由，可得，同

16、理可得，故有.又，故，则，因此，的面积为定值.【点睛】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题18、（1）的增区间为，减区间为；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点【详解】解：（1）解：， 当时，解得的增区间为，解得的减区间为. （2）解：若，由得，由得，所以函数的减区间为，增区间为；， 因为，所

17、以，令，则恒成立，由于，当时，故函数在上是减函数，所以成立； 当时，若则，故函数在上是增函数，即对时，与题意不符；综上，为所求【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细19、（1）；（2）见解析.【解析】事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能

18、取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.， ， ， ，.则的分布列为： 40060080010001200 故 (元).【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.20、（1） （2）证明见解析【解析】（1）求出的导数，根据导函数的性质判断函数的单调性，再利用函数单调性解函数型不等

19、式；（2）构造函数，利用导数判断在区间上单调递减，结合可得结果.【详解】（1）若，则.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增.又当时，；当时，；当时，所以所以在上单调递增，又，所以不等式的解集为.（2）设，再令，在上单调递减，又，.即【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯

20、形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,又,为等边三角形,则,设平面的法向量为,则，即,令,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,设平面与平面的夹角为,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.22、（1）；（2）4【解析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1），所以， .（2），设，在中，由正弦定理得，.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.