陕西省咸阳彩虹中学2023年高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的部分图像大致为（ ）ABCD2在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A2B3CD4在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是（ ）A

2、BCD5已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）ABCD62019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )A18种B20种C22种D24种7如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（）ABCD大小关系不能确定8在平面直角坐标系中

3、，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD9设集合，若，则（ ）ABCD10已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）A4B3C2D111设，则复数的模等于( )ABCD12已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为_.14如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、以及、一只蚂蚁欲从点出

4、发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为_参考数据：；）15已知为椭圆上的一个动点，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为_.16从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；（2）已知数列满足：（）对任意的；（）对任意的，且.若，求数列是等比数列的充要条件.求证：数列是等比数列，其中.18（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.（1）若，求直线AP与平面所成角；（2）在线段

5、上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论.19（12分）已知，设函数(I)若，求的单调区间：(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：为自然对数的底数.20（12分）选修45；不等式选讲已知函数(1)若的解集非空，求实数的取值范围；(2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：21（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线 （1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明22（10分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.参考答案一、选择

6、题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案.【详解】解：因为，所以的定义域为，则，为偶函数，图象关于轴对称，排除选项，且当时，排除选项，所以正确.故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.2、C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】解：复数i（2+i）2i1对应的点的坐标为（1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几

7、何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3、B【解析】运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有，第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，第四次循环后，所有后面的循环具有周期性，周期为3，当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.4、B【解析】取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取的中点，连接、，由和都是正三角形，得，则，则，由勾股定理的逆定理，得.设球心为，和的中

8、心分别为、.由球的性质可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5、A【解析】根据x的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可【详解】当时，当时，当时，当时，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，

9、即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.6、B【解析】分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不

10、同分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.7、B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为又，故故选B【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何

11、意义，属于中档题8、B【解析】由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，.故选：【点睛】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.9、A【解析】根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而

12、可求.【详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.10、A【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.11、C【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.12、B【解析】由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x, AC=y,由球0

13、的表面积为20，可得R2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为，由，得如图：设三角形的外心为，连接，可得，则在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，则三棱锥的体积的最大值为故选：【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于，当时，函数图象如

14、图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.14、【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋

15、转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；因为，且由诱导公式可得，所以最短距离为，故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.15、【解析】先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得【详解】如图，设，由，得，由得，解得，又在椭圆上，故答案为：【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示16、【解析】先求

16、出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.【详解】解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的事件数为9个，即为，其中满足的有，共有8个，故的概率为.【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；证明见解析.【解析】（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；（2）若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；当，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论【详解】解：（1）

17、，且为非零常数，可得，可得数列的首项为，公差为的等差数列，可得，前项和为；（2）若，可令，且，即，对任意的，可得，可得，数列是等比数列，则，可得，即，又，即有，即，数列是等比数列的充要条件为；证明：对任意的，当，可得，即以为首项、为公比的等比数列；同理可得以为首项、为公比的等比数列；对任意的，可得，即有，所以对，可得，即且，则，可令，故数列，是以为首项，为公比的等比数列，其中【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题18、（1）；（2）存在， Q为线段中点【解析】解法一：（1）作出平面与平面的交线，可证平面，

18、计算，得出，从而得出的大小；（2）证明平面，故而可得当Q为线段的中点时.解法二，以为原点，以为建立空间直角坐标系：（1）由，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设上存在一定点Q，设此点的横坐标为，可得，由向量垂直，数量积等于零即可求解.【详解】（1）解法一：连接交于，设与平面的公共点为，连接，则平面平面，四边形是正方形，平面，平面，又，平面，为直线AP与平面所成角，平面，平面，平面平面，又为的中点，直线AP与平面所成角为.（2）四边形正方形，平面，平面， ，又,平面，又平面， ，当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有. 解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以， 又由，则为平面的

19、一个法向量，设直线AP与平面所成角为，则，故当时，直线AP与平面所成角为.（2）若在上存在一定点Q，设此点的横坐标为，则，依题意，对于任意的实数要使， 等价于，即，解得，即当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.19、 (I)详见解析；(II) 【解析】(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.(II) ，故，取，求导得到单调性，得到，得到答案.【详解】(I) ，当时，恒成立，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.(

20、II) 在上恒成立；，故，现在证明存在，使的最小值为0.取，（此时可使），故当上时，故，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，故.综上所述：的最大值为.【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、 (1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，所以，因为，要证，只需证，即证，只需证 即可得结果.试题解析：（1）去绝对值符号，可得所以，所以，解得，所以实数的取值范围为（2）由（1）知，所以因为，所以要证，只需证，即证，即证.因为，所以只需证，因为，成立，所以解法二：

21、x2+y2=2，x、yR+，x+y2xy 设：证明：x+y-2xy= =令， 原式= = = = 当时， 21、（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.【解析】（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即，恒过点将代入直线方程，得考虑方程即，等价于记，则于是函数在上单调递增，又所以函数在区间上存在唯一零点， 即函数存在唯一零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.22、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证【详解】（1），分别是，的中点平面，平面平面.（2）为正三角形，且D是的中点平面平面，且平面平面，平面平面平面且，平面，且平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题