陕西省宝鸡市2022-2023学年高三第二次联考数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2、1已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）ABCD2已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）ABCD13已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD44已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）ABCD5已知集合，则等于( )ABCD6已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，则球的表面积为（ ）ABCD7如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A甲得分的平均数比乙大B

3、甲得分的极差比乙大C甲得分的方差比乙小D甲得分的中位数和乙相等8赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）ABCD9在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD10如图，正四面体的体积为，

4、底面积为，是高的中点，过的平面与棱、分别交于、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）A，B，C，D，11某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A，且B，且C，且D，且12过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为_14已知函数，且，使得，则实数m的取值范围是_.15某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，

5、则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为_16在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）中国古代数学经典数书九章中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18（12

6、分）如图，在三棱锥中，平面平面，、分别为、中点（1）求证：；（2）求二面角的大小19（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数

7、据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图 以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.

8、若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.20（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200（1）写

9、出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值附：0.100.0100.0012.7066.63510.82821（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.22（10分）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，是的中点.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题

10、5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积2、B【解析】先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当 时，则;当时，则.设 为函数图像上的两点，当 或时，不符合题意，故.则在 处的切线方程为；在 处的切线方程为.由两切线重合可知 ，整理得.不妨设则 ，由 可得则当时， 的最大值为.则在 上单调递减，则

11、.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.3、D【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4、B【解析】观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知，则，所以有， ，两边同时相加得，又因为，所以.故选：【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法

12、和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.5、B【解析】解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解【详解】由题意或，故选：B.【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型6、D【解析】由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以， 在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特

13、征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.7、B【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论【详解】对于甲，；对于乙，故正确；甲的极差为，乙的极差为，故错误；对于甲，方差.5，对于乙，方差，故正确；甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确故选：【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题8、A【解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在中，由余

14、弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题9、B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合

15、思想，属于中档题10、A【解析】设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.不妨设，延长到，使得，则，由余弦定理得，又，当平面平面时，排除B、D选项；因为，此时，当平面平面时，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题11、D【解析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，.故选：D.【点睛】本题考查三视图和

16、几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.12、D【解析】根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即则直线的斜率故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知可得AEF、PEF均为直角三角形，且AF2，由基本不等式可得当AEEF2时，AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值【详解】由PA平面ABC，得PABC，又ABBC，且PAABA，BC平面PAB，则BCAE，又PBAE，则AE平面PBC，于是AEE

17、F，且AEPC，结合条件AFPC，得PC平面AEF，AEF、PEF均为直角三角形，由已知得AF2，而SAEF（AE2+EF2）AF22，当且仅当AEEF=2时，取“”，此时AEF的面积最大，三棱锥PAEF的体积的最大值为：VPAEF故答案为【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题14、【解析】根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集；分别求值域即可得到结论.【详解】解：依题意，即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为（）或（），在上的值域为，故或，解得故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数的

18、值域求参数的取值范围，属于中档题.15、【解析】从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，故答案为：【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式16、3或-1【解析】设，分别令、，两式相减即可得，即可得解.【详解】设，令，则， 令，则，则-得，则，解得或.故答案为：3或-1.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，是，；（2）【解析】（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线

19、面垂直的判定定理得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.（2）以A为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）因为是球的直径，则，又平面， ，.平面，平面.根据证明可知，四面体是鳖臑. 它的每个面的直角分别是，. （2）如图，以A为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则，. M为中点，从而.所以，设，则. 由，得.由得，即.所以. 设平面的一个法向量为. 由.取，得到.记与平面所成角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查

20、了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18、 (1)证明见解析；(2)60.【解析】试题分析：（1）连结PD，由题意可得,则AB平面PDE，；（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量平面PAB的法向量为据此计算可得二面角的大小为.试题解析：（1）连结PD，PA=PB，PDAB，BCAB，DEAB又，AB平面PDE，PE平面PDE，ABPE（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,过D

21、做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC如图，以D为原点建立空间直角坐标系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，0)，=(1，0，)，=(0，）设平面PBE的法向量，令，得DE平面PAB，平面PAB的法向量为设二面角的大小为，由图知，所以即二面角的大小为.19、（1）0.024；（2）分布列见解析，；（3）【解析】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两

22、个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及数学期望；（3）由，且，可知若，则，或若，则，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.【详解】（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要

23、更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以.（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为8，9，10，11，12，从而，.所以的分布列为891011120.040.160.320.320.16（个）.或用分数表示也可以为89101112（个）.（3）解法一：记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）因为，且，1若，则，（元）；2若

24、，则，（元）.因为，故选择方案：.解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）1若，则，的分布列为128016800.60.488010800.840.16该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为（元）；2若，则，的分布列为800100012000.520.320.16（元）.因为所以选择方案：.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，【解析】（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.（

25、2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.（3）由已知条件计算出的分布列，进而求出的数学期望.【详解】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）（2）将列联表中的数据代入公式计算得所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”（3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为可取0，1，2，3，计算可得的分布列为：0123【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）求导，可得（1

26、），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；（2）利用导数可得，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证【详解】（1）函数的定义域为，则（1），（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为，又曲线在点，（1）处的切线方程为，；（2）证明：由（1）知，则，令，则，易知在单调递减，又，（1），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，由于，（1），（2），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，则，令，则，故在上单调递增，由于，故（2），即，【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题22、 ()

27、详见解析；()【解析】试题分析：（）连接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值试题解析：（）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG/BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG/面BEF；又EF/AC，AC在面BEF外，AC/面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG面BEF；（）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ， ，设面ABF的法向量为，依题意有，令，直线AD与面ABF成的角的正弦值是