研究生矩阵分析课程.pptx

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1、1教材教材 工程矩阵理论 张明淳，东南大学出版社参考书参考书 1.1.高等代数高等代数，北京大学，高等教育出版社 2.Matrix Analysis 2.Matrix Analysis,R.A.Horn and C.R.Johnson,Cambridge University Press,2004 (中译本，杨奇译，机械工业出版社）第1页/共354页2要 求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，理解概念；4.通过练习题，熟悉理论和方法。第2页/共354页3本课程大致内容第0章 复习与引深第1章 线性空间与线性变换第2章 内积空间、等距变换第3章 矩阵的相似标准

2、形第4章 Hermite二次型第5章 范数及矩阵函数第6章 矩阵的广义逆第3页/共354页4矩阵理论第4页/共354页5第0章 复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组和秩4.矩阵的秩第5页/共354页61.矩阵的乘法中应注意的问题(1)存在非零零因子 例1 第6页/共354页7(2)不可交换第7页/共354页8（3）由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立第8页/共354页9例3第9页/共354页10（4）分块矩阵设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，第10页/共354页11条件：上式有意义第11页/共354页12一些常见的分块形式

3、1.第12页/共354页13第13页/共354页14第14页/共354页15第15页/共354页16第16页/共354页172.线性方程组1.2.3.第17页/共354页18齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当第18页/共354页19例5第19页/共354页20简化阶梯形矩阵第20页/共354页21续例5第21页/共354页22Gauss消元法第22页/共354页23例6第23页/共354页24例7第24页/共354页253.向量组的极大无关组和秩第25页/共354页26例8第26页/共354页274.矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的

4、秩有关矩阵的秩的不等式：第27页/共354页28例9第28页/共354页29例10第29页/共354页30矩阵的等价标准形第30页/共354页31第31页/共354页32例12：第32页/共354页33线性空间和线性变换第一章 第33页/共354页34第一节 线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.第34页/共354页35如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。第35页/共354页36例1第36页/共354页37例1（续）第37页/共354页38线性空间的性质第38页/共354页39第二节 基、维数和坐标如：在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相

5、关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。第39页/共354页40一些重要结论第40页/共354页41第41页/共354页42例2第42页/共354页43定义（基，维数）第43页/共354页44注：第44页/共354页45例3第45页/共354页46定理1第46页/共354页47定义（坐标）：第47页/共354页48例5第48页/共354页49例6第49页/共354页50注1.线性空间的基是有序的。2.基相当于几何空间中的坐标系。第50页/共354页51定理2第51页/共354页52例7第52页/共354页53例8第53页/共354页54形式记号第54页/共354页55形式记号第55页/

6、共354页56形式记号的性质第56页/共354页57例9第57页/共354页58定义(过渡矩阵)第58页/共354页59过渡矩阵的性质第59页/共354页60例10第60页/共354页61定理3(坐标变换公式)第61页/共354页62例11第62页/共354页63第三节 子空间,交与和第63页/共354页64定理1第64页/共354页65两类重要的子空间第65页/共354页66命题：第66页/共354页67例12第67页/共354页68例13第68页/共354页69例14第69页/共354页70例15第70页/共354页71定理2第71页/共354页72子空间的交与和第72页/共354页73子

7、空间的交与和第73页/共354页74注：交与并的区别第74页/共354页75定理4（维数定理）第75页/共354页76例16第76页/共354页77例17第77页/共354页78例18第78页/共354页79直和第79页/共354页80定理5第80页/共354页81例19第81页/共354页82例20第82页/共354页83多个子空间的直和第83页/共354页84定理6第84页/共354页85第85页/共354页86第四节 线性映射第86页/共354页87第87页/共354页88定义：第88页/共354页89例21第89页/共354页90例22第90页/共354页91例23第91页/共354页

8、92注第92页/共354页93线性映射的性质：第93页/共354页94第94页/共354页95例24第95页/共354页96例25第96页/共354页97线性变换的运算它们都是线性映射。第97页/共354页98线性变换的运算的性质：第98页/共354页99线性映射（变换）的矩阵：第99页/共354页100例26第100页/共354页101例27第101页/共354页102定理8第102页/共354页103定理9第103页/共354页104例28第104页/共354页105定理10其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。第105页/共354页106第五节 线性映射的值域及核子空间第106页/共354

9、页107值域的计算第107页/共354页108核子空间的计算第108页/共354页109定理12（线性变换的维数定理）第109页/共354页110注：对无限维空间，推论不成立。（反例）第110页/共354页111例29第111页/共354页112定义（不变子空间）：第112页/共354页113为何要讨论不变子空间？第113页/共354页114为何要讨论不变子空间？第114页/共354页115例30第115页/共354页116线性空间的同构第116页/共354页117第117页/共354页118第118页/共354页119第119页/共354页120第二章内积空间、等距变换第120页/共354页

10、121第一节 基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C第121页/共354页122例1第122页/共354页123内积的性质第123页/共354页124度量矩阵第124页/共354页125向量的模（长度）第125页/共354页126C-B不等式第126页/共354页127三角不等式第127页/共354页128正交性第128页/共354页129标准正交基第129页/共354页130标准正交基下的内积第130页/共354页131Schmidt正交化方法第131页/共354页132例2第132页/共354页133例3第133页/共354页134酉矩阵第134页/

11、共354页135定理1第135页/共354页136Schmidt正交化方法的应用第136页/共354页137注第137页/共354页138矩阵的UT分解第138页/共354页139例4第139页/共354页140定理2第140页/共354页141第二节 正交补空间第141页/共354页142正交补空间第142页/共354页143正交补空间的计算第143页/共354页144正交补空间的计算第144页/共354页145例5第145页/共354页146一个几何问题空间中点到直线的距离：第146页/共354页147空间中向量到子空间的距离：第147页/共354页148第148页/共354页149例6第

12、149页/共354页150例7第150页/共354页151应用-Fourier系数第151页/共354页152最小二乘解第152页/共354页153第三节 等距变换第153页/共354页154例8第154页/共354页155定理7第155页/共354页156关于直线的反射第156页/共354页157欧氏空间中的反射第157页/共354页158镜像变换第158页/共354页159第159页/共354页160例9第160页/共354页161第三章 矩阵的相似标准形第161页/共354页162矩阵与线性变换本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的

13、一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第162页/共354页163第一节 特征值与特征向量第163页/共354页164矩阵的相似对角化第164页/共354页165线性变换的特征值、特征向量第165页/共354页166线性变换的可对角化问题第166页/共354页167例1第167页/共354页168线性变换的特征值、特征向量的计算第168页/共354页169例2第169页/共354页170定理1第170页/共354页171特征多项式的计算第171页/共354页172主子式与子式第172页/共354页173主子式与子式第173页/共354页174特征多项式的计算第174页/共354页175矩阵的迹第1

14、75页/共354页176例3第176页/共354页177化零多项式第177页/共354页178第二节 Hamilton-Cayley定理第178页/共354页179例4第179页/共354页180例5第180页/共354页181最小多项式第181页/共354页182定理5第182页/共354页183例6第183页/共354页184例7第184页/共354页185例8第185页/共354页186第三节 可对角化的条件目的：对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。第186页/共354页187已知的判别方法第187页/共354

15、页188线性变换的可对角化问题第188页/共354页189特征子空间第189页/共354页190可对角化的条件第190页/共354页191例9第191页/共354页192定理12第192页/共354页193定理13第193页/共354页194例10第194页/共354页195定理14第195页/共354页196例11第196页/共354页197例12第197页/共354页198第四节 Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第198页/共354页1

16、99Jordan形矩阵第199页/共354页200例13第200页/共354页201Jordan标准形的存在性、唯一性第201页/共354页202唯一性的证明思路第202页/共354页203定理15第203页/共354页204例14第204页/共354页205例15第205页/共354页206例16第206页/共354页207分块矩阵的最小多项式第207页/共354页208Jordan标准形与最小多项式第208页/共354页209例17第209页/共354页210例18第210页/共354页211例19第211页/共354页212例20第212页/共354页213例21第213页/共354页2

17、14存在性的证明思路第214页/共354页215存在性的证明思路第215页/共354页216存在性的证明思路第216页/共354页217存在性的证明思路第217页/共354页218存在性的证明思路第218页/共354页219存在性的证明思路第219页/共354页220存在性的证明思路第220页/共354页221存在性的证明思路第221页/共354页222第五节 特征值的分布第222页/共354页223定理20第223页/共354页224例22第224页/共354页225K-区第225页/共354页226例23第226页/共354页227定理21第227页/共354页228例24第228页/共3

18、54页229谱半径的估计第229页/共354页230例25第230页/共354页231例26第231页/共354页232 应用第232页/共354页233对角占优矩阵第233页/共354页234对角占优矩阵第234页/共354页235第四章Hermite二次型第235页/共354页236第一节 H阵、正规阵Hermite二次型与Hermite矩阵标准形惯性定理（唯一性）正定性第236页/共354页237Hermite矩阵、Hermite二次型第237页/共354页238Hermite矩阵、Hermite二次型第238页/共354页239实对称矩阵的性质第239页/共354页240H阵的性质第2

19、40页/共354页241正规阵第241页/共354页242上三角的正规阵定理4：第242页/共354页243定理5第243页/共354页244推 论第244页/共354页245例1第245页/共354页246例2第246页/共354页247第二节 Hermite二次型第247页/共354页248第248页/共354页249标准形第249页/共354页250标准形配方法（初等变换法）酉变换法：第250页/共354页251惯性定理第251页/共354页252惯性定理第252页/共354页253惯性定理第253页/共354页254规范形第254页/共354页255共轭合同的充分必要条件第255页/共

20、354页256例3第256页/共354页257正定性第257页/共354页258如何建立判别方法第258页/共354页259定理7第259页/共354页260例4第260页/共354页261例5第261页/共354页262例6第262页/共354页263其它有定性第263页/共354页264如何建立判别方法第264页/共354页265定理8第265页/共354页266例7第266页/共354页267定理9（奇值分解）第267页/共354页268奇值分解定理的证明第268页/共354页269奇值分解定理的证明第269页/共354页270奇值分解定理的证明第270页/共354页271奇值分解定理的

21、证明第271页/共354页272第三节 Rayleigh商第272页/共354页273定理10第273页/共354页274例8第274页/共354页275定理11第275页/共354页276定理12（Courant极大极小原理）第276页/共354页277第五章范数和矩阵函数第277页/共354页278本章的目的矩阵函数范数矩阵函数的应用第278页/共354页279第一节 范数的概念和例子第279页/共354页280内积与范数第280页/共354页281Cn中范数的例子第281页/共354页282更多的例子第282页/共354页283更多的例子第283页/共354页284范数与极限第284页/

22、共354页285范数的可比较性第285页/共354页286第二节 矩阵范数第286页/共354页287第287页/共354页288范数的相容性第288页/共354页289定理2第289页/共354页290算子范数第290页/共354页291算子范数第291页/共354页292定理3第292页/共354页293定理4第293页/共354页294例1第294页/共354页295例2第295页/共354页296例3第296页/共354页297第三节 收敛定理第297页/共354页298矩阵序列的收敛性第298页/共354页299幂序列第299页/共354页300谱半径与范数第300页/共354页30

23、1矩阵幂级数第301页/共354页302矩阵幂级数第302页/共354页303第四节 矩阵函数第303页/共354页304几个重要的矩阵函数第304页/共354页305利用定义计算第305页/共354页306例5第306页/共354页307Jordan形矩阵的函数第307页/共354页308Jordan形矩阵的函数第308页/共354页309Jordan块的函数第309页/共354页310Jordan块的函数第310页/共354页311Jordan块的函数第311页/共354页312例6第312页/共354页313利用Jordan标准形计算第313页/共354页314例7第314页/共354页

24、315定理11第315页/共354页316例8第316页/共354页317待定系数法第317页/共354页318待定系数法第318页/共354页319例9第319页/共354页320例10第320页/共354页321矩阵函数的性质第321页/共354页322例11第322页/共354页323例12第323页/共354页324注第324页/共354页325第四节 线性微分方程组第325页/共354页326性质第326页/共354页327常系数线性微分方程第327页/共354页328常系数线性微分方程组第328页/共354页329第329页/共354页330定理14第330页/共354页331矩阵

25、的广义逆第六章第331页/共354页332本章目的将“逆矩阵”推广到一般情形广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的性质应用：不相容线性方程组的求解第332页/共354页333第一节 广义逆矩阵的概念1903年，Fredholm，积分算子的广义逆1920年，Moore，矩阵的广义逆1955年，Penrose，证明了唯一性 所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore-Penrose方程，简称M-P方程。第333页/共354页334广义逆矩阵的定义第334页/共354页335例1第335页/共354页336定理1第336页/共354页337例2第337页/共354页338例3第338页/共354页339例4第339页/共354页340例5第340页/共354页341例6第341页/共354页342例6第342页/共354页343例7第343页/共354页344第二节 广义逆矩阵的性质第344页/共354页345定理2第345页/共354页346定理1（续）第346页/共354页347例8第347页/共354页348例9第348页/共354页349定理3第349页/共354页350第三节 广义逆矩阵的应用第350页/共354页351最小二乘解第351页/共354页352定理4第352页/共354页353定理5第353页/共354页354感谢您的观看！第354页/共354页