第3章 弹性地基梁理论精选PPT.ppt

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1、第3章 弹性地基梁理论第1页，本讲稿共42页3.1 概述概述弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。钢筋混凝土条形基础梁等。弹性地基梁与普通梁的区别弹性地基梁与普通梁的区别普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基梁是无穷多次超静定结构。普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。第2页，本讲稿共42页3.2 弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的计算模型局部弹性地基模型局部弹性地基模型温克尔假设温克尔假设：把地基模拟为刚

2、性支把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹座上一系列独立的弹簧。簧。缺点缺点：局部弹性地基模型没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。第3页，本讲稿共42页半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型弹性地基梁的受力和变形假设假设把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体。优点优点反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进行了简化。缺点缺点 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质；均质假设没有反映土壤的不均匀性；半无限体的假设没有反映地基的分层特点；数学处理上比较复杂。第4页，本讲稿共42页3.3 弹性地基梁

3、挠度曲线微分弹性地基梁挠度曲线微分方程式及其初参数解方程式及其初参数解基本假定基本假定地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。第5页，本讲稿共42页弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的微元分析考察 微段的平衡有：化简得：省略二阶微量化简得：合并二式得：第6页，本讲稿共42页根据材料力学有：代入化简得到挠曲微分方程：第7

4、页，本讲稿共42页对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解令挠曲微分方程中 ，得到对应齐次微分方程：且令：通解为：利用双曲函数关系：得到另一通解：第8页，本讲稿共42页初参数解初参数解初参数法初参数法把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。简化计算的途径。第9页，本讲稿共42页用初参数表示积分常数用初参数表示积分常数弹性地基梁作用的初参数梁左端边界条件：得到积分常数：其中：第10页，本讲稿共42页用初参数表示的齐次微分方程的解：其中：微分关系为：第11页，本讲稿共42页弹性地基梁已知初参数

5、A端边界条件 待求初参数自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P20y00y0简支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=00Q00Q0实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值第12页，本讲稿共42页固定端0=0y0=00=0y0=0A=0yA=0A=0yA=0M0Q0M0Q0弹性固定端y0=0yA=00=M00M0Q0第13页，本讲稿共42页弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解集中荷载作用下的特解项集中荷载作用下的特解项集中力作用于地基梁a.a.集中力集中力Pi作用下的特解项作用下的特解项O

6、A和AB段挠曲微分方程分别为：第14页，本讲稿共42页由A点的变形连续条件和受力情况有：当 时，特解项为零。当 时，第15页，本讲稿共42页b.b.集中力偶集中力偶Mi作用下的特解项作用下的特解项集中力偶作用于地基梁当 时，取特解项为零。第16页，本讲稿共42页分布荷载作用下的特解项分布荷载作用下的特解项分布荷载作用于地基梁分布荷载可分解成多个集中力，按分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。集中力求解特项。荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：第17页，本讲稿共42页a.a.均布荷载均布荷载荷载均布与ab段（积分限（积分限 ）第18页，本讲稿共42

7、页（积分限（积分限 ）第19页，本讲稿共42页当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：第20页，本讲稿共42页b.b.三角形分布荷载三角形分布荷载三角形荷载作用于地基梁微段上荷载引起的挠度附加项为：第21页，本讲稿共42页当 时，积分限是 ，第22页，本讲稿共42页当 时，积分限是 ，第23页，本讲稿共42页当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：第24页，本讲稿共42页c.c.梁全跨布满梯形荷载的特解项梁全跨布满梯形荷载的特解项梯形荷载作用于地基梁只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。第25页，本讲稿共42页 共同作用下挠曲微分方程的通解共同作用下挠曲微分方程的通解综合荷载

8、作用于地基梁第26页，本讲稿共42页当 时，项取值为零。第27页，本讲稿共42页3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基短梁、长梁及刚性梁弹性地基梁的分类弹性地基梁的分类（a）短梁 （b）无限长梁 （c）半无限长梁 （d）刚性梁换算长度换算长度第28页，本讲稿共42页长梁的计算长梁的计算无限长梁作用集中力无限长梁作用集中力Pi的计算的计算无限长梁作用集中力的计算采用梁挠曲方程齐次解式，即：由 有：由对称条件 有：考虑地基反力与外载的平衡条件：第29页，本讲稿共42页化简得到：其中：无限梁右半部分有：其中：对于梁的左半部分，只需将式中 和 改变负号即可。第30页，本讲稿共42页无限长梁在集中力

9、偶无限长梁在集中力偶mi作用下作用下的计算的计算无限长梁作用集中力偶的计算反对称条件：代入齐次微分方程通解得：第31页，本讲稿共42页无限长梁右半部分的变形及内力为：对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。第32页，本讲稿共42页半无限长梁半无限长梁作用初参数作用初参数的计算的计算半无限长梁作用的初参数将 代入：得到：再由：得到：第33页，本讲稿共42页如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系：最终有：第34页，本讲稿共42页半无限长梁在梯形荷载半无限长梁在梯形荷载作用下作用下的计算的计算故任一截面的变形与内力为：是齐次微分方程的一个特解。梯形荷载作用于半无限长梁第35页，本讲稿共42

10、页刚性梁的计算刚性梁的计算刚性梁的计算按静定梁的平衡条件，得到刚性梁的变形与内力为：第36页，本讲稿共42页3.5 算例算例两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩例子例子1 1(1)(1)判断梁的类型判断梁的类型考虑Pi集中载距右端为1m，故属于短梁。第37页，本讲稿共42页(2)(2)计算初参数计算初参数梁左端条件：梁右端条件：代入共同作用下挠曲微分方程的通解得：第38页，本讲稿共42页将各数值代入后得：解得：第39页，本讲稿共42页（3 3）计算各截面的弯矩）计算各截面的弯矩第40页，本讲稿共42页长度及弹性特征系数，作用荷载如图，如果 和 均 ，求i截面的例子例子2 2（1）由于故为无限长梁。（2）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，然后再叠加求总内力和变形。第41页，本讲稿共42页对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边还是右边，如所对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边还是右边，如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。第42页，本讲稿共42页