小波变换h双正交小波.pptx

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1、会计学1小波变换小波变换h双正交小波双正交小波正交小波的性质正交小波的性质n n对称性（对称性（），紧支撑（），紧支撑（）n n对称性对称性 （），紧支撑（），紧支撑（）n n对称性对称性 （），紧支撑（），紧支撑（）光滑性（光滑性（）Harr小波紧支撑且线性相位(对称性)？双正交小波！第1页/共45页5.1滤波器的相位特滤波器的相位特性性n n在线性系统理论中在线性系统理论中,滤波器的传递函数可表达为滤波器的传递函数可表达为 为幅频特性，为幅频特性，为相频特性。为相频特性。n n如果如果 可以表示为可以表示为 式中式中 和和 为常数，那么称为为常数，那么称为 具有具有线性相位特线性相位特性性

2、 第2页/共45页n n输出信号的相位特性，除了常数外，与延时为的输入信号 的相位特性完全一致hf(x)g(x)第3页/共45页当滤波器具有线性相位特性时,输出信号将不产生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因为视觉对于相位畸变非常敏感 线性相位，振幅畸变非线性相位，振幅无畸变滤波器如何具有线性相位特性？第4页/共45页 定理5.1 滤波器 具有线性相位的必要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如下关于 的共轭对称性：证明：必要性：充分性：第5页/共45页 推论5.1 如果限定脉冲响应 为实函数，那么由式(5.1.3)可知，这时 必为实数,即 所以实脉冲响函数具有线性相位的必要与充分条件是 任何实

3、值脉冲响应的数字滤波器具有线性相位的必充条件是 第6页/共45页正交小波：紧支撑线性相位？正交小波：紧支撑线性相位？n n定理5.2 紧支撑正交小波，除Haar小波之外，不可能是线性相位的。第7页/共45页5.2 双正交小波的基本性质双正交小波的基本性质n n如果有两对函数如果有两对函数 与与 ，其中，尺度，其中，尺度函数函数 和和 分别生成分别生成MRA MRA 和和MRA MRA ，而而 和和 则分别张成在下述意义上的补空间则分别张成在下述意义上的补空间 和和 ：并且它们之间还满足如下正交关系：并且它们之间还满足如下正交关系：那么这两对函数称为互为对偶的那么这两对函数称为互为对偶的双正交小

4、波双正交小波。第8页/共45页5.2.2 5.2.2 双正交小波的二尺度关系双正交小波的二尺度关系双正交小波的二尺度关系双正交小波的二尺度关系n n二尺度关系第9页/共45页令则双正交基本条件若令则正交基本条件第10页/共45页5.2.35.2.3紧支撑线性相位双正交小波的紧支撑线性相位双正交小波的紧支撑线性相位双正交小波的紧支撑线性相位双正交小波的 和和和和 之间的长度关系之间的长度关系之间的长度关系之间的长度关系定理5.3 序列 ，除 之外，所有下标为偶数的元素取值为0。证明：利用双正交基本条件第11页/共45页 和和和和 的长度的长度的长度的长度 和和和和 之间的关系之间的关系之间的关系

5、之间的关系（1）n n两者长度均为奇数，并且长度相差的奇数倍，因而两者不可能等长。n n小波 和 是一对偶对称双正交小波。第12页/共45页（2）；n n 两者长度均为偶数，并且长度相差的偶数倍，两者等长是可能的。n n小波 和 是一对反对称双正交小波。第13页/共45页（3）L为奇数,为偶数或为L偶数,为奇数 序列 的终点下标和起点下标关于奇偶性出现矛盾，故此种情况不存在 第14页/共45页5.3 构造双正交小波的构造双正交小波的CDF方法方法Step1 给定2M，根据下式计算Step2Step3 当 和 均为偶数，当 和 均为奇数，Step4 第15页/共45页n nfunction y,

6、t=biofilter1(n)function y,t=biofilter1(n)n nt(1)=sym(1);%symst(1)=sym(1);%syms是定义符号变量是定义符号变量 ；symsym则是将字则是将字符或者数字转换为字符。符或者数字转换为字符。n nfor i=1:nfor i=1:nn n t(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;t(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;n nendendn nfor i=1:nfor i=1:nn n t=t/2;t=t/2;n nendendn ny=sym(0);y=sym(0);n nsyms z;syms z;n nn2=fl

7、oor(n/2);%n2=floor(n/2);%朝负无穷方式舍入朝负无穷方式舍入n nfor i=-n2:n-n2for i=-n2:n-n2n n y=y+t(n2+i+1)*zi;y=y+t(n2+i+1)*zi;n nendend第16页/共45页n nfunction y=biofilter2(n,m)function y=biofilter2(n,m)n nk=(n+m)/2;k=(n+m)/2;n nt(1)=sym(1);t(1)=sym(1);n nfor p=2:kfor p=2:kn n t(p)=sym(1);t(p)=sym(1);n n for j=1:p-1 fo

8、r j=1:p-1n n t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;n n end endn n end endn nm0=sym(0);m0=sym(0);n nsyms z;syms z;n nfor j=1:kfor j=1:kn n m0=m0+t(j)*(z(-1/2)-z(1/2)/(2*i)(2*(j-1);m0=m0+t(j)*(z(-1/2)-z(1/2)/(2*i)(2*(j-1);n nendendn nif n/2=fix(n/2)%fix(n)if n/2=fix(n/2)%fix(n)的意义是取小于的意义

9、是取小于n n的整数的整数(是向零点舍入）是向零点舍入）n n m0=m0*(z(1/2)+z(-1/2)/2)m;m0=m0*(z(1/2)+z(-1/2)/2)m;n nelseelsen n m0=m0*z(1/2)*(z(1/2)+z(-1/2)/2)m;m0=m0*z(1/2)*(z(1/2)+z(-1/2)/2)m;n nendendn n y=collect(m0);%y=collect(m0);%返回系数整理后的多项式返回系数整理后的多项式n n 第17页/共45页n n biofilter2(2,4)biofilter2(2,4)n nans=ans=n n1/4/z+1/2

10、+1/4*z 1/4/z+1/2+1/4*z n nans=ans=n n3/128*z4-3/64*z3-3/128*z4-3/64*z3-1/8*z2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z2-1/8*z2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z2-3/64/z3+3/128/z43/64/z3+3/128/z4n n n n biofilter2(4,2)biofilter2(4,2)n n n nans=ans=n n1/16/z2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z2 1/16/z2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z2 n nan

11、s=ans=n n3/32*z3-3/8*z2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/32*z3-3/8*z2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z2+3/32/z33/8/z2+3/32/z3第18页/共45页n n biofilter2(3,3)n nans=n n1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z2n n ans=n n3/64*z4-9/64*z3-7/64*z2+45/64*z+45/64-7/64/z-9/64/z2+3/64/z3第19页/共45页nn biofilter2(1,5)biofilter2(1,5)n nans=ans=n n1/2+1/2*z

12、1/2+1/2*z n nans=ans=n n3/256*z5-3/256*z4-3/256*z5-3/256*z4-11/128*z3+11/128*z2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z2-11/128*z3+11/128*z2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z2-3/256/z3+3/256/z43/256/z3+3/256/z4n n n n biofilter2(5,1)biofilter2(5,1)n nans=ans=n n1/32/z2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z2+1/32*z3 1/32/z2+5/32/

13、z+5/16+5/16*z+5/32*z2+1/32*z3 n nans=ans=n n3/16*z3-15/16*z2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z23/16*z3-15/16*z2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z2nn 第20页/共45页5.4 基于双正交小波的分解与重构基于双正交小波的分解与重构n n任给重构基 分解基 在双正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基 第21页/共45页 (a)分解 (b)重构第22页/共45页第23页/共45页第24页/共45页5.5 小波函数的消失矩性质小波函数的消失矩性质n n定义5.1 当小波函数 满足如下条

14、件时 称 具有N阶消失矩 n n定理 5.4 具有N阶消失矩，则 以 为其N重零点。n n推论5.2 具有N阶消失矩，则 以 为其N重零点。第25页/共45页5.5.2 5.5.2 小波函数的光滑性与消失矩的关系小波函数的光滑性与消失矩的关系小波函数的光滑性与消失矩的关系小波函数的光滑性与消失矩的关系n n数学上用函数 的频谱 在 足够大时的衰减快慢来刻画 的光滑程度 n n定义5.2 如果存在尽可能大的正常数 ，使 成立，则称 具有光滑指数 ，并记为 越大，则表明 衰减愈快，因而 的 频域定域性愈好 第26页/共45页5.6 5.6 提升方案提升方案提升方案提升方案n n19941994年年

15、Wim SweldensWim Sweldens提出了一种新的小波构造方法提出了一种新的小波构造方法提升方案提升方案(lifting scheme)(lifting scheme)，也叫第二代小波变换，也叫第二代小波变换(second generation wavelet transform,SGWT)(second generation wavelet transform,SGWT)或或 整数整数到到 整数小波变换整数小波变换(integer-to-integer wavelet(integer-to-integer wavelet transform,ITIWT)transform,ITI

16、WT)。n n第二代小波变换构造方法的特点是：第二代小波变换构造方法的特点是：1 1、继承了第一代小波的多分辨率的特性；、继承了第一代小波的多分辨率的特性；2 2、不依赖傅立叶变换、不依赖傅立叶变换,直接在时域完成小波变换；直接在时域完成小波变换；3 3、小波变换后的系数可以是整数；、小波变换后的系数可以是整数；4 4、图象的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方式、图象的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方式无关。无关。第27页/共45页n n定理5.6 对于一对给定的双正交尺度函数 和 ，其相应的二尺度系数序列为 和 ，那么所有满足如下条件 的序列 将与序列 也满足双正交关系。式中 是一个三角函

17、数多项式。提升方案的基本公式第28页/共45页简单的提升步骤：已知：任何一对双正交尺度函数 和 (对应于 和 )，步骤：选择合适的三角多项式 并根据下式获得新的 和新的 用户定制（用户定制（custom_design)第29页/共45页从haar小波出发的提升n n已知：n n要求：提升后小波具有二阶消失矩n n提升：依据定理5.4，提升后的小波所对应的 在 应具有二重零点，由此获得三角多项式 的具体表达式，并代入提升方案的基本公式即可。将Lazy小波提升到具有二阶消失矩的过程与此相同第30页/共45页n n交替提升：第一次提升：（和 不变）第二次提升：（和 不变）第31页/共45页 Swel

18、densSweldens分解和重构算法分解和重构算法分解和重构算法分解和重构算法 1、分解算法推导第32页/共45页n n按照（5.6.3）提升 则对应的序列 根据标准分解算法有（5.6.3）（4.1.5）第33页/共45页n n一次提升的分解步骤 关于 （提升 和 ）：第一步：用 和 对输入信号按标准算法作一次分解得 第二步：更新 第34页/共45页一次提升的分解步骤 关于 （提升 和 ）第一步：用 和 对输入信号按标准算法作一次分解得 第二步：更新 第35页/共45页n n交替提升的分解步骤第36页/共45页2、重构算法针对图示的分解算法，推导其重构过程第37页/共45页按照（5.6.4）

19、提升 则对应的序列 根据标准重构算法有（5.6.4）（4.2.4）第38页/共45页n n一次提升的重构步骤 第一步：计算 （去提升）第二步：计算第39页/共45页一次提升的Sweldens 重构算法 交替提升的Sweldens 重构算法 第40页/共45页作业作业n n利用Sweldens算法实现信号的分解与重构n n可参考第四章示例程序的信号和模式给出图形结果n n使用haar小波或lazy小波的一次提升第41页/共45页整型小波变换整型小波变换整型小波变换整型小波变换n n提升方案为扩展小波变换的应用领域提供了更多的灵活性。n n常规的小波变换都是采用浮点运算的，但利用提升方案所带来的便

20、利，可十分方便地构造整数到整数的小波变换。n n将整数小波变换用于图像压缩就可以用小波变换进行无失真的图像压缩。第42页/共45页n n即位算法（即位算法（In_PlaceIn_Place）以以LazyLazy小波为例，进行分解。小波为例，进行分解。在同一数组在同一数组 中，偶数下标的单元存放中，偶数下标的单元存放 ，奇数下标的单元存放，奇数下标的单元存放 ，即，即 进行交替提升时，先更新细节序列：进行交替提升时，先更新细节序列：如果同样将细节序列乘以如果同样将细节序列乘以 ，并存入数组，并存入数组y.y.的奇数下标元素中，则的奇数下标元素中，则 细节序列更新细节序列更新近似序列更新近似序列更新第43页/共45页n n重构（同址运算）n n整型提升(3,5)小波变换 第44页/共45页