弦切角的性质与圆有关的比例线段.pptx

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1、会计学1弦切角的性质与圆有关的比例线段弦切角的性质与圆有关的比例线段圆心角和圆周角。圆心角和圆周角。问题问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的：在前面我们共同研究过与圆有关的两种什么角？两种什么角？回顾回顾 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角的一半。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。问题问题2：圆周角定理圆周角定理圆心角定理圆心角定理第1页/共44页观察：观察：在在图图1中，以点中，以点D为中心旋转直线为中心旋转直线DE，同，同时保证直线时保证直线BC与与DE的交点落在圆周上的交点落在圆周上.在在图图1中中

2、,根据圆内接四边形的性质根据圆内接四边形的性质,有有BCE=A.OC CA AB BD D图图1EO(C)A AB BD图图2E当当DE变为圆的切线时变为圆的切线时(如图如图2),你能发现什么现象你能发现什么现象?在在图图2中中,DE是切线是切线,BCE=A仍然成立吗仍然成立吗?第2页/共44页猜想：猜想：ABCABC是是是是 OO的内接三角形，的内接三角形，的内接三角形，的内接三角形，CECE是是是是 OO的切线，则的切线，则的切线，则的切线，则BCE=BCE=A.A.OCOCCCCCCCCOCOCOCOC第3页/共44页1.弦切角弦切角:O(C)A AB BD图图2E顶点在圆上，一边和顶点

3、在圆上，一边和圆相交，另一边和圆圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。相切的角叫做弦切角。第4页/共44页AAAABBBBBCCCCC下面五个图中的下面五个图中的BAC是不是弦切角？是不是弦切角？练一练练一练A第5页/共44页(1)顶点在圆上；顶点在圆上；(2)一边和圆相交；一边和圆相交；(3)一边和圆相切。一边和圆相切。弦切角的特征：弦切角的特征：ABC第6页/共44页几何语言几何语言:BA切切 O于于AAC是圆是圆O的弦的弦2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。DBAC=ADCm第7页/共44页(1)指出图中所有的弦切角指出图中所有的弦

4、切角;弦切角有：弦切角有：APC、APD 、APE BPC 、BPD 、BPE(2)指出这些弦切角所夹的弧。指出这些弦切角所夹的弧。APC(弧弧PC)APD(弧弧PCD)APE(弧弧PCE)BPC(弧弧PEC)练一练练一练如图，直线如图，直线AB和和 O相切于点相切于点P，PC、PE是弦，是弦，PD是直径。是直径。ABOPDCEBPD(弧弧PED)BPE(弧弧PE)练一练练一练练一练练一练第8页/共44页例例1.如图已知如图已知AB是是 O的直径的直径,AC是弦是弦,直线直线CE和和 O切于点切于点C,ADCE,垂足为垂足为D.求证求证:AC平分平分BAD.OABCDE12思路一思路一:第9页

5、/共44页思路二思路二:连结连结连结连结OC,OC,由切线性质由切线性质由切线性质由切线性质,可得可得可得可得OCOCAD,AD,于于于于是有是有是有是有2=2=3,3,又由于又由于又由于又由于1=1=3,3,可证得可证得可证得可证得1=1=2 2OABCDE312第10页/共44页例例2:如图如图,AD是是ABC中中BAC的平分线的平分线,经过经过点点A的的 O与与BC切于点切于点D,与与AB、AC分别相交于分别相交于E、F.求证：求证：EFBC.BAEDCFO第11页/共44页1.如图，如图，AC是是O O的弦，的弦，BD切切O O于于C，则图中弦切角有，则图中弦切角有 个个.4若若AOC

6、=1200,则则 ACD=.OBDAC6002.如图，直线如图，直线MN切切 O于于C，AB是是 O的的直径直径,若若 BCM=400,则则 ABC等于（等于（）A.400 B.500 C.450 D.600MCNBAO3.已知已知O O是是ABC的内切圆的内切圆,D,E,F为切点为切点,若若 A:B:C=4:3:2,则则DEF=,FEC=.B500700练习：练习：ABFEDCO第12页/共44页弦切角弦切角-顶点在圆上，一边和圆相顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。交，另一边和圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们角都是通过它们

7、所夹的（或所对的）同一所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知联系起来，因此，当已知有切线有切线时时常添线构建弦切角常添线构建弦切角或或添切点添切点处的半径处的半径应用切线的性质求解。应用切线的性质求解。弦切角定理弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.注意：注意：内容总结内容总结第13页/共44页方法归纳方法归纳定理的证明定理的证明(化归思想、分类思想化归思想、分类思想)化归化归化归化归COCOOC第14页/共44页第15页/共44页分析：延用从特殊到一般的思路。先分析分析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABC为直角三角形

8、时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。第16页/共44页(1)圆心圆心O在在 ABC的边的边BC上上证明证明:ABOCE第17页/共44页(2)圆心圆心0在在ABC的内的内部部OC第18页/共44页(3)圆心圆心0在在ABC的外的外部部,OC第19页/共44页第20页/共44页探究探究1:AB是直径是直径,CDAB交点交点P.线段线段PA,PB,PC,PD之间有何关系之间有何关系?CABPDOACBPDOACBPDOPAPB=PCPD1.相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被圆内的两条

9、相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。交点分成的两条线段长的积相等。第21页/共44页A(C.P)BD探究探究2:把两条相交弦的交点把两条相交弦的交点P从圆内从圆内运动到圆上运动到圆上.再到圆外，再到圆外，结论结论 是否还能成立是否还能成立?PAPB=PCPDP在圆外:易证PADPCB 故故PAPB=PCPDP在圆上:PA=PC=0,仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC第22页/共44页 2.割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等段长的积相等.A(B)PODCPAPB=PCPD

10、探究探究3:使割线使割线PB绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,是否还能成立是否还能成立?APBODC第23页/共44页A(B)PODC连接AC,AD易证PACPDA 上式可变形为上式可变形为PA=PCPD3.3.切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切从圆外一点引圆的切线和割线，线和割线，切线长切线长是这点到割线与圆是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项.故故PAPB=PCPD仍成立仍成立因为因为A,B重合，重合，第24页/共44页探究探究4:使割线使割线PD绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,可以得出什么结论可以得出什么结论?A(B)PODC易

11、证易证Rt OAPRt OCP.PA=PC4.4.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长条切线，它们的切线长相等相等,圆心和圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC(D)PA=PCPD第25页/共44页思考思考:1.由切割线定理能证明切线长定由切割线定理能证明切线长定理吗理吗?如图由如图由P向圆任作一条割线向圆任作一条割线EF试试试试.A(B)POC(D)EF思考思考:2.你能将切线长定理推广到空间你能将切线长定理推广到空间的情形吗的情形吗?O第26页/共44页例例1.圆内的两条弦圆内的两条弦AB,CD交于圆内一

12、点交于圆内一点P,已知已知PA=PB=4.PC=PD,求求CD的长的长.CDABP解:设CD=x,则PD=,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD 44=求得 x=10,CD=10第27页/共44页例例例例2.2.E E是圆内的两条弦是圆内的两条弦是圆内的两条弦是圆内的两条弦AB,CDAB,CD的交点的交点的交点的交点,直线直线直线直线EF/CB,EF/CB,交交交交ADAD的延长线于的延长线于的延长线于的延长线于F,FGF,FG切圆于切圆于切圆于切圆于G.G.求证求证求证求证:(1):(1)DFEDFEEFA;EFA;(2)EF=FG(2)EF=FG ABCOFGED321 DFEEFAE

13、F=FAFD又又GF=FAFDGF=EFEF=FG第28页/共44页例例3.如图如图,两两圆相交于圆相交于A,B两两点点,P是两圆公共弦是两圆公共弦AB上的上的任一点任一点,从从P引两圆的切线引两圆的切线PC,PD.求证求证:PC=PDPABDC析：析：PC=PAPB又又PD=PAPBPC=PDPC=PD第29页/共44页例例4.如图如图,AB是是 O的直径的直径,过过A,B引两引两条弦条弦AD和和BE,相交于点相交于点C,求证求证:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析分析:A,F,C.E四点共圆四点共圆BCBE=BFBA.F,B,D,C四点共圆四点共圆ACAD=AFAB.ACAD+B

14、CBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB第30页/共44页例例5.如图如图,AB,AC是是 O的切线的切线,ADE是是 O的割线的割线,连接连接CD,BD,BE,CE.BAECOD问题问题1 由上述条件能推出哪些结论由上述条件能推出哪些结论?探究探究1:ACD=AEC ADC ACE CDAE=ACCE 同理同理 BDAE=ABBE 因为因为AC=AB,由由 可得可得 BECD=BDCE 图图第31页/共44页探究探究2:猜想并可证明猜想并可证明问题问题2 在图在图(1)中中,使使线段线段AC绕绕A旋转旋转,得到图得到图(2),其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F,此时

15、又能推出哪些此时又能推出哪些结论结论?BAECOD图图BAECODFG图图 ADC ACE 同样可得同样可得第32页/共44页证明如下证明如下:BAECODFG图图 AB=ADAE,而而AB=AC,AC=ADAE,即即CAD=EAC,(对应边成比例且夹角相等对应边成比例且夹角相等).ADC ACE 另一方面另一方面连接连接FG由于由于F,G,E,D四点共圆四点共圆 CFG=AEC,又又ACF=AEC,CFG=ACF,FG/AC 第33页/共44页BAECODFG图图问题问题3 在图在图(2)中中,使线段使线段AC继续绕继续绕A旋转旋转,使割使割线线CFD变成切线变成切线CD,得到图得到图(3)

16、,此时又能推出哪此时又能推出哪些结论些结论?BAECODFG图图P探究探究3:可以推出（可以推出（1）（6）的所有结论。）的所有结论。第34页/共44页BAECODQG图图P此此外外 AC/DG.ADCE=AECG ACD AEC ACCD=ADCE 由由可得：可得：ACCD=AECG 连接连接BD,BE,延长延长GC到到P,延长延长BD交交AC于于Q,则则 PCQ=PGD=DBE,故故C,E,B,Q四点共圆四点共圆 第35页/共44页习题习题2.55.如图如图,O与与 O 相交与点相交与点A,B.A,B.PQ是是 O的切的切线线,求证求证:PN=NMNQQNPOOABM第36页/共44页6.

17、如图如图,PA是是 O的切线的切线,M是是PA的中点的中点,求证求证:MPB=MCP MA=MBMC=PMMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思路思路：习题习题2.5第37页/共44页习题习题2.57.如图如图,AD,BE,CF分别是分别是ABC三边的高三边的高,H是垂心是垂心,AD延长线交延长线交ABC外接圆于点外接圆于点G,求证求证:DH=DGACEGBFHD132第38页/共44页AECDPBFO习题2.58.如图如图,O直径直径AB的延长线与弦的延长线与弦CD的延长线的延长线交于点交于点P,AE=AC.求证求证:PFPO=PAPB12 POCPDFPFPO=PDPC又又PDPC=PB

18、PAPFPO=PBPA思路思路：第39页/共44页习题习题2.5 9.将例将例5的图的图(1)作如下变化作如下变化:以以A为中心为中心,把线段把线段AC绕绕A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度,连接连接EC并延长与圆相交于并延长与圆相交于F,连接连接DC并延长与圆相交于并延长与圆相交于G,连接连接FG,其他条件同例其他条件同例5,能推出哪些结论能推出哪些结论?如果如果BAD=CAD,又有什么结论又有什么结论?BAECOD图图BAECODFG第40页/共44页习题习题2.5 9题题 将例将例5的图的图(1)作如下变化作如下变化:以以A为中心为中心,把线段把线段AC绕绕A逆时针旋转一个角度逆时针

19、旋转一个角度,连接连接EC并延长与圆相交于并延长与圆相交于F,连接连接DC并延长与圆相交于并延长与圆相交于G,连接连接FG,其他条件同例其他条件同例5,你能推出哪些结论你能推出哪些结论?如果如果BAD=CAD,又有什么结论又有什么结论?BAECODFGAB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD=EAC,ADC ACE ACD=AEC=G AC/FG 第41页/共44页如果如果BAD=CAD,如图如图,BAECDFG2134 ABD ACD (?)=BD=CD ABD=ACDACD=1 ABD=2 1=2 BD=FD ABE ACE =BE=CE AE BC 四边形四边形ABEC各边中点各边中点共圆共圆 第42页/共44页习题习题2.41.1.如图，经过圆上的点如图，经过圆上的点如图，经过圆上的点如图，经过圆上的点T T的切线和弦的切线和弦的切线和弦的切线和弦ABAB的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点的延长线相交于点C C。求证：求证：求证：求证：ATC=ATC=TBCTBC2.如图，如图，O和和 O都经过都经过A,B两点，两点，AC是是 O的切线，交的切线，交 O于点于点C,AD是是 O的切线，交的切线，交 O于点于点D,求证：求证：AB=BCBDACTBBACOOD第43页/共44页