酉变换与正交变换幻灯片.ppt

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1、酉变换与正交变换2023/4/16第1页，共23页，编辑于2022年，星期三上节回顾：酉变换数域数域F F上内积空间上内积空间V V上的上的保长变换保长变换 数域数域F F上内积空间上内积空间V V上的上的保内积变换保内积变换 数域数域F F上内积空间上内积空间V V上保长变换与保内积变换等价性上保长变换与保内积变换等价性2023/4/16第2页，共23页，编辑于2022年，星期三上节回顾：酉变换数域数域F F上内积空间上内积空间保长同构保长同构 数域数域F F上有限上有限n n维内积空间保长同构性质及判定方法维内积空间保长同构性质及判定方法 V Fn 两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相

2、两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相同。同。2023/4/16第3页，共23页，编辑于2022年，星期三上节回顾：酉变换酉变换定义酉变换定义复数域上内积空间复数域上内积空间V V到到V V自身上的保长线性变换自身上的保长线性变换酉变换判定定理酉变换判定定理定理定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 U是一个酉变换;U把标准正交基变为标准正交基;U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2023/4/16第4页，共23页，编辑于2022年，星期三定定理理U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1)U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)证

3、明证明(续续)5)1):5)1):定理定理 U是是n维酉空间维酉空间V上的线性变换上的线性变换,则下列等价则下列等价 1)1)U是一个酉变换是一个酉变换;3)3)4)4)U U把标准正交基变为标准正交基把标准正交基变为标准正交基;5)5)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)2023/4/16第5页，共23页，编辑于2022年，星期三2023/4/16第6页，共23页，编辑于2022年，星期三定定理理U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1)U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)定理定理 U是n维酉空间V上的

4、线性变换,则下列等价 1)U是一个酉变换;3)4)U把标准正交基变为标准正交基;5)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.2)2023/4/16第7页，共23页，编辑于2022年，星期三正交变换正交变换正交变换定义正交变换定义实数域上内积空间实数域上内积空间V V到到V V自身上的保长线性变换自身上的保长线性变换定理定理 O是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列等价 1)O是一个正交变换;3)4)O把标准正交基变为标准正交基;5)O在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2)2023/4/16第8页，共23页，编辑于2022年，星期三正交变换正交变换 性质性质1 正交矩阵的行列式只可能为正交矩阵的行列式只可能

5、为1或或-1.正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换第二类正交变换.2023/4/16第9页，共23页，编辑于2022年，星期三正交变换正交变换性质性质2 2 正交矩阵的特征值的绝对值等于正交矩阵的特征值的绝对值等于1.1.2023/4/16第10页，共23页，编辑于2022年，星期三正交变换正交变换性质3 正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.2023/4/16第11页，共23页，编辑于2022年，星期三作业作业Page294 9.4.2,9.4.32023/4/16第12页，共23页，

6、编辑于2022年，星期三第五节第五节 实对称矩阵相似对角化实对称矩阵相似对角化一一.实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量 二二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 2023/4/16第13页，共23页，编辑于2022年，星期三特征值、特征向量特征值、特征向量A =(EA)=0|EA|=0 特征方程特征方程(characteristic equation)(characteristic equation)|EA|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式(characteristic polynomia

7、l)(characteristic polynomial)E E A A 特征矩阵特征矩阵 特征值特征值 特征向量特征向量 2023/4/16第14页，共23页，编辑于2022年，星期三一一.实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量证明证明 定理定理定理定理1 1.实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数.2023/4/16第15页，共23页，编辑于2022年，星期三一一.实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理定理定理2 2.设设设设 1 1,2 2是实对称矩阵是实对称矩阵是实对称矩阵是实

8、对称矩阵A A的两个不同的两个不同的两个不同的两个不同 的特征值的特征值的特征值的特征值,p p1 1,p p2 2是对应与它们的是对应与它们的是对应与它们的是对应与它们的特征向量特征向量特征向量特征向量,则则则则p p1 1与与与与p p2 2正交正交正交正交.事实上事实上事实上事实上,1 1 p p1 1T T=(=(A Ap p1 1)T T =p p1 1T TA AT T =p p1 1T TA A,于是于是于是于是(1 1 2 2)p p1 1T Tp p2 2=0,=0,但是但是但是但是 1 1 2 2,故故故故p p1 1T Tp p2 2=0.=0.从而从而从而从而 1 1p

9、 p1 1T Tp p2 2=p p1 1T TA Ap p2 2 =p p1 1T T(2 2p p2 2)=)=2 2p p1 1T Tp p2 2.2023/4/16第16页，共23页，编辑于2022年，星期三定理定理定理定理3 3.对于任意对于任意对于任意对于任意n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A,存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵存在正交矩阵Q Q,使使使使得得得得 Q Q 11AQ AQ=diag(=diag(1 1,2 2,n n),),其中其中其中其中 1 1,2 2,n n为为为为A A的全部特征值的全部特征值的全部特征值的全部特征值,Q Q=(=

10、(q q1 1,q q2 2,q qn n)的列向量组是的列向量组是的列向量组是的列向量组是A A的的的的对应于对应于对应于对应于 1 1,2 2,n n的标准正交的标准正交的标准正交的标准正交特征向量特征向量特征向量特征向量.求正交矩阵的一般步骤求正交矩阵的一般步骤求正交矩阵的一般步骤求正交矩阵的一般步骤-三步三步三步三步求求求求A A的特征值的特征值的特征值的特征值-求每个特征值的特征向量并化求每个特征值的特征向量并化求每个特征值的特征向量并化求每个特征值的特征向量并化为标准正交向量组为标准正交向量组为标准正交向量组为标准正交向量组-写出正交阵写出正交阵写出正交阵写出正交阵QQ与对角阵与对

11、角阵与对角阵与对角阵 二二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 2023/4/16第17页，共23页，编辑于2022年，星期三55实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例1.把把A=正交相似对角化正交相似对角化.解解解解:|:|E E A A|=(|=(2)(2)(4)4)2 2.所以所以所以所以A A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为 1 1=2 2,2 2=3 3=4.=4.(2(2E E A A)x x=0 0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系 1 1=(0,1,1)=(0,1,1)T T.(4 (4

12、E E A A)x x=0 0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系 2 2=(1,0,0)=(1,0,0)T T,3 3=(0,1,1)=(0,1,1)T T.由于由于由于由于 1 1,2 2,3 3已经是正交的了已经是正交的了已经是正交的了已经是正交的了,将它们单位化即将它们单位化即将它们单位化即将它们单位化即 可得可得可得可得4 0 00 3 10 1 3 Q 1AQ=QTAQ=2 0 2 0 0 00 4 00 4 00 0 40 0 4 .Q=,0 1 0 1 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/21/2 0 1/2 2023/4/16第18页，共23页

13、，编辑于2022年，星期三5 5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 注注:对于对于 2=3=4,若取若取(4EA)x=0的基础解系的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化则需要将它们正交化.取取 1=2,再单位化再单位化,即得即得=1 1 1 1 3 1 1 1=2 32 1 1;Q=(q1,q2,q3)=.0 1/3 0 1/3 2/62/6 1/2 1/3 1/6 1/2 1/3 1/6 1/2 1/3 1/61/2 1/3 1/6 2=3 3,2|2|2 2023/4/16第19页，共23页，编辑于

14、2022年，星期三5 5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例2.设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征多项式为的特征多项式为(1)2(10),且且 3=(1,2,2)T是对应于是对应于 =10的特征向量的特征向量.(1)证明证明:是对应于是对应于=1的特征向量的特征向量 与与 3正交正交;(2)求求A.证明证明证明证明(1):(1):由定理由定理由定理由定理3 3可知可知可知可知()成立成立成立成立.()因为因为因为因为 =1=1是是是是A A的二重特征值的二重特征值的二重特征值的二重特征值,所以所以所以所以A A有两个有两个有两个有

15、两个 线性无关的特征向量线性无关的特征向量线性无关的特征向量线性无关的特征向量 1 1,2 2对应于对应于对应于对应于 =1.=1.注意到注意到注意到注意到 1 1,2 2,3 3线性无关线性无关线性无关线性无关,而而而而 ,1 1,2 2,3 3线性相关线性相关线性相关线性相关,可设可设可设可设 =k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k k3 3 3 3,故故故故 =k k1 1 1 1+k k2 2 2 2是对应于是对应于是对应于是对应于 =1=1的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量.由由由由 3 3,=3 3,1 1=3 3,2 2=0=0得得得得k k3 3=0,=0,20

16、23/4/16第20页，共23页，编辑于2022年，星期三5 5 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 解解解解(2):(2):由由由由(1)(1)可知对应于可知对应于可知对应于可知对应于 =1=1两个线性无关的两个线性无关的两个线性无关的两个线性无关的 将正交向量组将正交向量组将正交向量组将正交向量组 1 1,2 2,3 3单位化得正交矩阵单位化得正交矩阵单位化得正交矩阵单位化得正交矩阵 例例2.设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征多项式为的特征多项式为(1)2(10),且且 3=(1,2,2)T是对应于是对应于 =10的特征向量的特征向

17、量.(1)证明证明:是对应于是对应于=1的特征向量的特征向量 与与 3正交正交;(2)求求A.特征向量可取为特征向量可取为特征向量可取为特征向量可取为x x1 1+2+2x x2 2 2 2x x3 3=0=0的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系:1 1=(2,1,2)=(2,1,2)T T,2 2=(=(2,2,1)2,2,1)T T,Q=,2/3 2/3 2/3 2/3 1 1/3/31/3 2/3 2/31/3 2/3 2/32/3 1/3 2/3 1/3 2/32/3 2023/4/16第21页，共23页，编辑于2022年，星期三由此可得由此可得A=Q QT 它满足它满足QTAQ=Q 1AQ=,1 0 00 1 00 0 10.2 2 2 2 5 42 4 5=Q=,2/3 2/3 2/3 2/3 1 1/3/31/3 2/3 2/31/3 2/3 2/32/3 1/3 2/3 1/3 2/32/3 2023/4/16第22页，共23页，编辑于2022年，星期三作业Page 252 1,2,3.2023/4/16第23页，共23页，编辑于2022年，星期三