无穷级数摘要.pptx

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1、会计学1无穷级数摘要无穷级数摘要 内容结构内容结构 正项级正项级数数 常数项级数常数项级数 交错交错级数级数n n无穷级数无穷级数 任意任意项级数项级数 函数项级数函数项级数 幂级幂级数数 傅里叶傅里叶级数级数第1页/共25页内容摘要内容摘要一一一一.常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数1.1.收敛的充要条件：收敛的充要条件：特别地特别地,正项正项 有有(上上)界界.2.2.收敛的必要条件：收敛的必要条件：逆否命题成立逆否命题成立:发散发散.第2页/共25页3.3.性质性质:(1)(1)线性性线性性:反之不行反之不行,但对于正项级数可以成立但对于正项级数可以成立.第3页/共25页(2)(2

2、)改变级数任意有限项的值不影响级数的敛散性改变级数任意有限项的值不影响级数的敛散性.(3)(3)重组重组(加括号加括号):):收敛级数加上括号后形成收敛级数加上括号后形成级数仍然收敛级数仍然收敛.加上括号后形成的级数发散加上括号后形成的级数发散 原级数发散原级数发散.加上括号后形成的级数收敛加上括号后形成的级数收敛 原级数收敛原级数收敛.第4页/共25页4.4.正项级数的判敛法正项级数的判敛法:(1)(1)比较判别法比较判别法:若若 ,则则比较法的极限形式比较法的极限形式:若若第5页/共25页(2)(2)比值判别法比值判别法:若若 则则(3)(3)根值判别法根值判别法:若若 则则第6页/共25

3、页（4 4）积分判别法：）积分判别法：设设 上单调减少的连续函数，且上单调减少的连续函数，且 则正项级数则正项级数 的敛散性的敛散性相同相同。例如例如 第7页/共25页5.5.交错级数的莱布尼兹判别法交错级数的莱布尼兹判别法:若交错级数若交错级数则则注意注意:此法是充分条件此法是充分条件,只能判定交错级数收敛只能判定交错级数收敛,不能不能据此判定发散据此判定发散.第8页/共25页6.6.任意项级数任意项级数(1)(1)绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛（2 2）判别方法：）判别方法：n n判别收敛：判别收敛：n n判别发散：判别发散：第9页/共25页7 7记住常见级数的敛散性：记住常见级数的

4、敛散性：等比级数等比级数8 8求数项级数的和：求数项级数的和：方法一：方法一：；方法二方法二:利用幂级数的和函数在某点的函数值。利用幂级数的和函数在某点的函数值。第10页/共25页二幂级数二幂级数形式：形式：幂级数必有收敛点，至少幂级数必有收敛点，至少 第11页/共25页1.幂级数的收敛半径和收敛区间n n阿贝尔定理说明：(1)幂级数必存在收敛半径R，且是唯一的(2)幂级数在（-R,R）内（绝对）收敛，在（-R,R）之外发散；在区间端点处，可能收敛（只可能条件收敛）也可能发散。n n称（-R,R）为幂级数的收敛区间。第12页/共25页2.收敛区间的求法：对于 ，由公式：（若极限存在的话）；对于

5、缺项的情况，用比值或根值判别法来讨论。第13页/共25页3.性质(1)和函数的连续性(2)和函数的可导性：在收敛区间（-R,R)内，可逐项求导，(3)和函数的可积性：在收敛区间（-R,R）内，可逐项积分，第14页/共25页4.函数展开成幂级数(1)直接展开：必须验证 ；(2)间接展开：需要利用（记住）几个常见的 展开式。第15页/共25页5.幂级数求和n n幂级数求和与函数展开成幂级数是互逆问题。n n利用常见的基本展开式和幂级数的性质，借助逐项求导、逐项积分等性质以及恒等变形和变量代换的方法即可。第16页/共25页6.6.常用的展开式常用的展开式第17页/共25页第18页/共25页三、傅里叶

6、级数（三角级数）三、傅里叶级数（三角级数）周期为 的函数的傅里叶级数：设 的周期为 ，且在 可积，则其中系数 第19页/共25页2.2.傅里叶级数的收敛性（狄里克雷定理）傅里叶级数的收敛性（狄里克雷定理）设函数设函数 是周期为是周期为 的周期函数，的周期函数，（1 1）在区间）在区间 上连续或只有有限个第一类间断上连续或只有有限个第一类间断点；点；（2 2）函数在区间）函数在区间 上连续或只有有限个极大值上连续或只有有限个极大值点和极小值点。点和极小值点。则则 的傅里叶级数收敛，且傅里叶级数的和的傅里叶级数收敛，且傅里叶级数的和第20页/共25页3.周期为 的函数的傅里叶级数 其中 第21页/

7、共25页n n当函数 只在 或 上有定义时，可对其进行周期延拓后再展开，然后将自变量限定在 或 内，端点处由收敛定理确定,便得 在 或 上的傅里叶级数.第22页/共25页4.函数展开成正弦级数或余弦级数函数展开成正弦级数或余弦级数 设设 的周期为的周期为 (或或 )，且在一个周期上可积，且在一个周期上可积,则则(1)(1)当当 为奇函数时，系数为奇函数时，系数 正弦级数正弦级数 (或或 )(2)(2)当当 为偶函数时，系数为偶函数时，系数余弦级数余弦级数 (或或 )第23页/共25页n n当函数 只在 (或 )上有定义时,可对其进行奇延拓（偶延拓）后，便得到 正弦级数（余弦级数）。第24页/共25页