模糊集理论及其应用第二章.pptx

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1、会计学1模糊集理论及其应用第二章模糊集理论及其应用第二章22.1 2.1 一元模糊映射及其性质一元模糊映射及其性质一元模糊映射及其性质一元模糊映射及其性质2.1.1 2.1.1 一元经典扩展原理一元经典扩展原理一元经典扩展原理一元经典扩展原理 定义定义定义定义2.1.12.1.1 设设U U,V V 为两个论域为两个论域,则由映射则由映射 f f:U UV V 可诱导出如下两个集值映射可诱导出如下两个集值映射 (i)(i)f f:P P(U)U)P P(V)V)A A f f(A A)=)=f f(u u)u u A A.用特征值表示用特征值表示,有有 f f(A A)(v v)=)=f f(

2、u u)=)=v v A A (u u),),v v V .V .(2-1-1)(2-1-1)(ii)(ii)f f -1-1:P P(V)V)P P(U)U)B B f f -1-1(B B)=)=u u U U f f(u u)B B.用特征函数表示用特征函数表示 ,有有 f f-1(-1(B B)(u u)=)=B B (f f(u u),),u u U .U .(2-1-2)(2-1-2)我们称由我们称由(2-1-1)(2-1-1)确定的集值映射确定的集值映射 f f 和由和由(2-1-2)(2-1-2)确定的集值映射确定的集值映射 f f -1-1 为普通映射为普通映射 f f :U

3、 UV V 的的经典诱导映射经典诱导映射经典诱导映射经典诱导映射;而称式而称式(2-1-1)(2-1-1)和式和式(2-1-2)(2-1-2)为为一元经典扩展原理一元经典扩展原理一元经典扩展原理一元经典扩展原理;称称 f f(A A)为为A A在在 f f 下的下的像像像像,而而 f f-1-1(B B)称为称为 B B 在在 f f 下的下的原像原像原像原像,如下图所示如下图所示 目 录第1页/共54页3第2页/共54页4 例例2.1.1 设U=V=(,),映射 f :UV u f(u)=sin u .A=-1,1 P(U),B=0,1 P(V),则由式(2-1-1)得 f(A)=f(-1,

4、1)=-sin 1,sin 1 而由式(2-1-2)f-1(B)=f-1(0,1)=2n,(2n+1/2),(n=0,1,2,)目 录第3页/共54页52.1.2 2.1.2 一元模糊扩展原理一元模糊扩展原理一元模糊扩展原理一元模糊扩展原理 定义定义定义定义2.1.22.1.22.1.22.1.2 设设U U,V V 为两个论域为两个论域,f f:U UV V 为普通映射，则由为普通映射，则由 f f 可可诱导出如下两个模糊映射：诱导出如下两个模糊映射：(i i)f f:F F(U)U)F F(V)V)A A f f(A A)其中其中 v v V V ，有，有 目 录第4页/共54页6 通常称

5、由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射为Zadeh型函数.f(A)称为U 上的模糊集A 在 f 下的像像,而称f-1(B)为V上的模糊集B在f 下的原像原像.如下图所示 第5页/共54页7 例例例例2.1.22.1.2 设设U U=u u1 1,u u2 2,u u3 3,u u4 4,u u5 5,V V=a a,b b,c,dc,d,映射映射 f f :U UV V 定义为定义为 (1)(1)当当 u u u u1 1,u u3 3 时时,f f(u u)=)=a a;(2)(2)当当 u u u u2 2,u u4 4,u u5 5 时时,f f(u u)=)=c c;又设

6、又设 A=A=(0.9,0.3,0.8,0.6,0.7)(0.9,0.3,0.8,0.6,0.7)F F(U U),),试求试求B=B=f f(A A),),f f-1-1(B B).).目 录第6页/共54页8 解解解解:因为因为f f-1-1(a a)=)=u u1 1,u u3 3,f f-1-1(c c)=)=u u2 2,u u4 4,u u5 5,f f-1-1(b b)=)=f f-1-1(d d)=)=,所以由式所以由式(2-1-3)(2-1-3)得得 f f(A A)()(a a)=)=u u f f-1(-1(a a)A A(u u)=)=A A(u u1 1)A A(u

7、u3 3)=)=0.90.90.8=0.9.0.8=0.9.f f(A A)()(b b)=0,)=0,f f(A A)()(d d)=0,)=0,f f(A A)()(c c)=)=u u f f-1(-1(c c)A A(u u)=)=A A(u u2 2)A A(u u4 4)A A(u u5 5)=0.30.30.6 0.6 0.7=0.7.0.7=0.7.从而得从而得 B B=f f(A A)=(0.9,0,0.7,0).)=(0.9,0,0.7,0).而由式而由式(2-1-4)(2-1-4)得得 f f-1-1(B B)()(u u1 1)=)=B B(f f(u u1 1)=)=

8、B B(a a)=0.9)=0.9 f f-1-1(B B)()(u u2 2)=)=B B(f f(u u2 2)=)=B B(c c)=0.7)=0.7 f f-1-1(B B)()(u u3 3)=)=B B(f f(u u3 3)=)=B B(a a)=0.9)=0.9 f f-1-1(B B)()(u u4 4)=)=B B(f f(u u4 4)=)=B B(c c)=0.7)=0.7 f f-1-1(B B)()(u u5 5)=)=B B(f f(u u5 5)=)=B B(c c)=0.7)=0.7第7页/共54页9所以 f-1(B)=(0.9,0.7,0.9,0.7,0.7

9、).由此可见,A f-1(f(A).此结论对于任一模糊映射都成立,即 定理定理2.1.1 设f:F(U)F(V)为模糊映射,则 (1)A f-1(f(A),且 f 为单射时,等号成立;(2)f(f-1(B)B ,且 f 为满射时,等号成立.目 录第8页/共54页10 下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几种其它形式.定理定理2.1.2(扩展原理)设U,V 为两个论域,f 和 f-1 为由f:UV诱导的模糊映射,AF(U),BF(V),则 (1)f(A)=0,1 f(A);(2)f-1(B)=0,1 f-1(B);第9页/共54页11 定理定理定理定理2.1.3 2.1.3(扩展原理扩展原理)

10、设设U U,V V为两个论为两个论域域,f f 和和 f f-1-1 为由为由f f:U UV V诱导的模糊映射诱导的模糊映射,A AF F(U U),),B BF F(V V),),则则 (1)(1)f f(A A)=)=0,1 0,1 f f (A As s););(2)(2)f f-1-1(B B)=)=0,1 0,1 f f -1-1(B Bs s).).目 录第10页/共54页12 定理定理定理定理2.1.4 2.1.4 (扩展原理扩展原理 )设设U U,V V为两个论为两个论域域,f f 和和 f f-1-1 为由为由f f:U UV V诱导的模糊映射诱导的模糊映射,A AF F(

11、U U),),B BF F(V V),),则则 (1)(1)f f(A A)=)=0,1 0,1 f f (H HA A(),其中其中 H HA A()满足满足 A As s H HA A()A A ,0,1 ;0,1 ;(2)(2)f f-1-1(B B)=)=0,1 0,1 f f -1-1(H HB B(),其中其中 H HB B()满足满足 B Bs s H HB B()B B ,0,1 .0,1 .第11页/共54页132.1.3 模糊映射的基本性质模糊映射的基本性质 定理定理2.1.5 设f:F(U)F(V)为模糊映射,At|tT F(U),则 (1)f(tT At)=tT f(A

12、t);(2)若A,B F(U)且A B,则 f(A)f(B);(3)f()=;(4)f(tT At)tT f(At).目 录第12页/共54页14 证明证明:(1)vV,若f-1(v)=,由定义2.1.2知 f(tT At)(v)=0,且 tT,f(At)(v)=0,从而(tT f(At)(v)=tT f(At)(v)=0.于是等式成立.若f-1(v),则由式(2-1-3)知 f(tT At)(v)=f(u)=v(tT At)(u)=f(u)=v tT At(u)=tT f(u)=v At(u)=tT f(At)(v)=(tT f(At)(v)从而有f(tT At)=tT f(At).第13页

13、/共54页15 定理定理定理定理2.1.6 2.1.6 设设f f:F F(U U)F F(V V)为模糊映射为模糊映射,A AF F(U U),),0,1,0,1,则则 (1)(1)f f (A As s)=f f(A A)s s ;(2)(2)f f (A A)=f f(A A)当且仅当当且仅当 v v V V,u u0 0 U U,s.t.,s.t.f f(A A)()(v v)=)=A A(u u0 0).).证明证明证明证明:(1)(1)v v V V,有有 v v f f(A A)s s iffiff f f(A A)()(v v)iffiff u uf f-1-1(v v)A A

14、(u u)iff iff u u0 0 U U,s.t.,s.t.f f(u u0 0)=)=v v 且且 A A(u u0 0)iff iff u u0 0 U U,s.t.,s.t.f f(u u0 0)=)=v v 且且 u u0 0 A As s iffiff v v f f (A As s).).f f (A As s)=f f(A A)s s 目 录第14页/共54页16 注注2.1.1:2.1.1:一般说来一般说来,f f (A A)=f f(A A)不成立不成立.例例例例2.1.32.1.3 设设U U=V V=0,1,=0,1,f f:U UV V定义为定义为取取A AF F

15、(U U),),使使A A(u u)=1)=1u u(u u U U),),则则 v v V V,由定义由定义2.1.22.1.2知知取取 =1=1,则则f f(A A)=0,1,=0,1,但但f f (A A1 1)=f f (0)(0)=0,=0,故故 f f(A A)1 1 f f(A A1 1).).第15页/共54页17 定理定理2.1.7 设f-1:F(V)F(U)为由f:UV诱导的模糊映射,Bt|tT F(V),则 (1)保空性:f-1()=;(2)保序性:若B,G F(V)且B G,则 f-1(B)f-1(G);(3)保并性:f-1(tT Bt)=tT f-1(Bt);(4)保

16、交性:f-1(tT Bt)=tT f-1(Bt);(5)保逆合性:若BF(V),(f-1(B)=f-1(B).目 录第16页/共54页18 定理定理2.1.8 设f-1:F(V)F(U)为由f:UV诱导的模糊映射,BF(V),则 (1)f-1(B)=f-1(B);(2)f-1(B)s =f-1(Bs);证明证明:uU,有 u f-1(B)f-1(B)(u)B(f(u)f(u)B u f-1(B)f-1(B)=f-1(B)即(1)成立.同理可证(2)也成立.第17页/共54页192.2 多元模糊映射及其性质多元模糊映射及其性质2.2.1 二元扩展原理二元扩展原理 定义定义2.2.1 设AiF(U

17、i)(i=1,2,n),则A1,A2,An的Descartes乘积,记作目 录第18页/共54页20定义定义定义定义2.2.22.2.2 设设U U1 1,U U2 2,V V为三个论域为三个论域 ,f f:U U1 1 U U V V为二元普通映射为二元普通映射,则由则由 f f 诱导的二元模糊诱导的二元模糊映射映射f f:F F(U U1 1)F F(U U2 2)F F(V V)(A A1 1,A,A2 2)f f(A A1 1,A,A2 2)的隶属函数为的隶属函数为 v v V V第19页/共54页21定理定理定理定理2.2.12.2.1(二元扩展原理二元扩展原理)设设 f f:F F

18、(U U1 1)F F(U U2 2)F F(V V)为二元模糊映射为二元模糊映射,则则 (A,BA,B)F F(U U1 1)F F(U U2 2),),有有f f(A,BA,B)=)=0,1 0,1 f f (A A,B,B););第20页/共54页22定理定理定理定理2.2.22.2.2(二元扩展原理二元扩展原理)设设 f f:F F(U U1 1)F F(U U2 2)F F(V V)为二元模糊映射为二元模糊映射,则则 (A,BA,B)F F(U U1 1)F F(U U2 2),),有有f f(A,BA,B)=)=0,1 0,1 f f (A AS S,B,BS S););目 录第2

19、1页/共54页23定理定理定理定理2.2.32.2.3(二元扩展原理二元扩展原理)设设 f f:F F(U U1 1)F F(U U2 2)F F(V V)为二元模糊映射为二元模糊映射,则则(A,BA,B)F F(U U1 1)F F(U U2 2),),有有f f(A,BA,B)=)=0,1 0,1 f f (H H1 1(),H,H2 2()其中其中H Hi i()()(i i=1,2)=1,2)满足条件满足条件A AS S H H1 1()A A ,B BS S H H2 2()B B 第22页/共54页24定理定理定理定理2.2.42.2.4 设设f f:F F(U U1 1)F F(

20、U U2 2)F F(V V)为由为由f f:U U1 1 U U2 2V V诱导的模糊映射诱导的模糊映射,0,1 0,1 则则 (1)(1)f f(A,B A,B)S S =f f (A AS S,B,BS S););(2)(2)f f(A,BA,B)=f f (A A,B,B),),当且仅当当且仅当 v v V V,(u u1 1,u u2 2)f f-1-1(v v),s.t.,s.t.f f(A,BA,B)()(v v)=)=A A(u u1 1)B B(u u2 2).).第23页/共54页252.2.2 2.2.2 实数论域上模糊集的二元运算实数论域上模糊集的二元运算实数论域上模糊

21、集的二元运算实数论域上模糊集的二元运算 下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的加加,减减,乘乘,除除,取大和取小六种二元运算取大和取小六种二元运算.为此为此,设设L L=,为算子集为算子集,为为 L L的任一算符的任一算符,则则 可视为二元映可视为二元映射射 :R R R R R R (x,yx,y)x x y y 根据二元扩展原理根据二元扩展原理,可将算符可将算符 扩展到扩展到 F F(R R)中去中去,即即定义定义定义定义2.2.32.2.3 设设 :F F(R R)F F(R R)F F(R R)为由为由 :R R R R R R

22、诱导的二元模糊运算诱导的二元模糊运算,A,BA,BF F(R R),),则则A A B B=0,1 0,1 (A A B B)其中其中A A B B=x x y y x xA A ,y y B B ,特别地特别地目 录第24页/共54页26(1)(1)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,2)2)A-B=0,1(A-B),其隶属函数为z R,第25页/共54页27(3)(3)A A B B=0,1 0,1 (A A B B),),其隶属函数为其隶属函数为 z z R R,(4)(4)A A B B=0,1 0,1 (A A B B),),其隶属函数为其隶属函数为 z z R R,(,(其中

23、其中B BF F(/(/R R)-0)-0)目 录第26页/共54页28(5)(5)A AB B=0,1 0,1 (A A B B),),其隶属函数为其隶属函数为 z z R R,(6)(6)A AB B=0,1 0,1 (A A B B),),其隶属函数为其隶属函数为 z z R R,目 录第27页/共54页29例例例例 2.2.12.2.1 设设U U=0,1,4=0,1,4,A,BA,BF F(U U),),且且A A=(0.4,0.2,1,0,0)=(0.4,0.2,1,0,0),B B=(0,0.3,=(0,0.3,0.5,0.7,0)0.5,0.7,0),求求(A A+B B)(2

24、),()(2),(A A-B B)(2),()(2),(A A B B)(2),()(2),(A A B B)(2),)(2),(A AB B)(2),()(2),(A AB B)(2).)(2).解解解解:(A A+B B)(2)=)(2)=x x+y y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(0)(0)B B(2)(2)(A A(1)(1)B B(1)(1)(A A(2)(2)B B(0)(0)=(0.4 =(0.40.5)0.5)(0.2(0.20.3)0.3)(1(10)0)=0.4 =0.40.20.20=0.40=0.4 (A A-B B)(2)=)(2)=x x

25、-y y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(2)(2)B B(0)(0)(A A(3)(3)B B(1)(1)(A A(4)(4)B B(2)(2)=(1 =(10)0)(0(00.3)0.3)(0(00.5)=00.5)=0 (A A B B)(2)=)(2)=x x y y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(1)(1)B B(2)(2)(A A(2)(2)B B(1)(1)=(0.2 =(0.20.5)0.5)(1(10.3)=0.20.3)=0.20.3=0.30.3=0.3第28页/共54页30 (A A B B)(2)=)(2)=x x y

26、 y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(2)(2)B B(1)(1)(A A(4)(4)B B(2)(2)=(1 =(10.2)0.2)(0(00.5)=0.20.5)=0.2 (A AB B)(2)=)(2)=x xy y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(0)(0)B B(2)(2)(A A(1)(1)B B(2)(2)(A A(2)(2)B B(2)(2)(A A(2)(2)B B(1)(1)(A A(2)(2)B B(0)(0)=(0.4 =(0.40.5)0.5)(0.2(0.20.5)0.5)(1(10.5)0.5)(1(10.3)0.3

27、)(1(10)0)=0.4 =0.40.20.20.50.50.30.30=0.50=0.5 (A AB B)(2)=)(2)=x xy y=2=2(A A(x x)B B(y y)=(=(A A(2)(2)B B(2)(2)(A A(2)(2)B B(3)(3)(A A(2)(2)B B(4)(4)(A A(3)(3)B B(2)(2)(A A(4)(4)B B(2)(2)=(1 =(10.5)0.5)(1(10.7)0.7)(1(10)0)(0(00.5)0.5)(0(00.5)=0.70.5)=0.7可以计算出可以计算出 (A A+B B)=(0,0.3,0.4,0.4,0.5).)=(

28、0,0.3,0.4,0.4,0.5).注注注注:一般说来一般说来,A A-A A=不一定成立不一定成立,A A+A A=2 2 A A也不一定成立也不一定成立.由此可见由此可见,模糊集合模糊集合的四则运算与实数的四则运算有着本质的区别的四则运算与实数的四则运算有着本质的区别(参见书中参见书中P P3737例例2.2.2).2.2.2).目 录第29页/共54页312.3 2.3 模糊数及其运算模糊数及其运算模糊数及其运算模糊数及其运算2.3.1 凸模糊集及其性质凸模糊集及其性质 定义定义2.3.1 设R为实数集,AF(R),如果对R中满足xyz的任意实数x,y和z都有A(y)min(A(x),

29、A(z)则称A为R上的凸模糊集凸模糊集.目 录第30页/共54页32 例如例如:正态模糊集AF F(R),是是R上的凸模糊集上的凸模糊集,其隶属函数曲线如图其隶属函数曲线如图2.3.12.3.1所示所示,而由图而由图2.3.22.3.2所确定的模糊集是非凸的所确定的模糊集是非凸的.第31页/共54页33 性质性质性质性质2.3.12.3.1 A AF F (R R)为凸模糊集当且仅当为凸模糊集当且仅当 0,1 0,1,A A 为区间为区间.证明证明:必要性必要性:设设A A为凸模糊集为凸模糊集,0,1 0,1,x x,z z A A 且且x x z z,则则 y y x x,z z ,有有A

30、A(y y)min(min(A A(x x),),A A(z z),故故y y A A.这说明若两点在这说明若两点在A A 中中,则以这两点为端点的整个区间包含在则以这两点为端点的整个区间包含在A A 中中.因此因此,A A 是一个区间是一个区间.充分性充分性:设设 0,1 0,1,A A 为区间为区间,对任意实数对任意实数x x y y z z,取取=min(min(A A(x x),),A A(z z),则则x x A A 且且z z A A.因为因为A A 为区间为区间,故故y y A A,即即A A(y y)=min(min(A A(x x),),A A(z z)于是于是,由定义由定义

31、2.3.1 2.3.1 知为凸模糊集知为凸模糊集.第32页/共54页34 性质性质性质性质2.3.22.3.2 若若A A,B BF(R R )均为凸模糊集均为凸模糊集,则则A A B B也是凸模糊集也是凸模糊集.证明证明:由定理由定理1.4.2(2)1.4.2(2)知知,0,1 0,1,(A A B B)=A A B B.因为因为A A,B B均为凸模糊集均为凸模糊集,所以由性质所以由性质2.3.12.3.1知知A A 和和B B 均为区间均为区间.而区间的交仍为区间而区间的交仍为区间,故故(A A B B)为区间为区间.于是由性质于是由性质2.3.12.3.1知知A A B B为凸模为凸模

32、糊集糊集.目 录第33页/共54页352.3.2 2.3.2 凸模糊集表现定理凸模糊集表现定理凸模糊集表现定理凸模糊集表现定理 定义定义定义定义2.3.2 2.3.2 若映射若映射I:0,1 I:0,1 P P(R R)满足满足 (i)(i)0 0 1 1 2 2 1 1 I(I(2 2)I(I(1 1););(ii)(ii)0,1 0,1,I(I()为为R R的子区间的子区间;.;.则称则称I I为为R R的的区间套区间套区间套区间套.记记I I(R R)为为R R的全体区间套的全体区间套之集之集.显然显然,区间套必为集合套区间套必为集合套,故故I I(R R)u u u u(R R).目

33、录第34页/共54页36 定理定理定理定理2.3.12.3.1(凸模糊集表现定理凸模糊集表现定理)设设I II I(R R),=0,0,1 1 I(I(),则则 (1)(1)A A=0,1 0,1 I(I()为凸模糊集为凸模糊集;(2)(2)x x R R ,A A(x x)=)=0,0,x x I(I().第35页/共54页372.3.3 模糊数及其性质模糊数及其性质 定义定义2.3.3 设AF F(R),若(0,1,A为R中有限闭区间,则称A为R上的一个模糊数模糊数;若A为模糊数,且A1=kerA=a,则称A是关于a的严格模严格模糊数糊数.记R-为R上的全体有限闭区间(称为区间数)所成之集

34、,而记R为R上的全体模糊数所成之集.显然,如果我们把实数a与单点集a等同看待,则实数 区间数 模糊数 凸模糊集即RR-Rc(R)(这里c(R)表示R上的全体凸模糊集所成之集).目 录第36页/共54页38 下面给出两个判别凸模糊集成为模糊数的充分必要条件.定理定理2.3.2 AF(R)为模糊数 iff 存在a,b ,使得 (1)在a,b上,A(x)1;(2)在(-,a)中,A(x)为右连续的增函数,且 0 A(x)1;(3)在(b,+)中,A(x)为左连续的减函数,且 0 A(x)0,d0)(5)a,b c,d=a c,b d (6)a,b c,d=a c,b d 第41页/共54页43例例例

35、例2.3.12.3.1 设设 a,ba,b=2,2 2,2,c,dc,d=1,4,=1,4,则则 2,2+12,2+1,4=4=2+1,2+4=2+1,2+4=1,6,1,6,2,2 2,2 1,4=1,4=2 24,24,21=1=6,6,1,1,2,2 2,2 1,4=1,4=8,8,8,8,其中其中 p p=min=min2,2,8,2,8,8,2,8,q q=max =max 2,2,8,2,8,8,2,8,2,2 2,2 1,4=1,4=2/4,2/1=2/4,2/1=1/2,2,1/2,2,2,2 2,2 1,4=1,4=2 21,21,24=1,4,4=1,4,2,2 2,2 1

36、,4=1,4=2 21,2 4=1,2 4=2,2.2,2.第42页/共54页44 注意注意注意注意:对于区间数的除法运算对于区间数的除法运算,若若0 0 c,dc,d,则则 a,ba,b c,dc,d 不一定是一个区间数不一定是一个区间数,如如 -1,1 -1,1 -1,1 =-1,1-1,1 =-1,1-1,0 -1,0 -1,1 -1,1 0,1 0,1 =(-=(-,-1,-1-1,+-1,+)=(-=(-,+,+)不是有限闭区间不是有限闭区间,故不是区间数故不是区间数.目 录第43页/共54页45(ii)模糊数的运算法则 定义定义2.3.5 设 p,qR,L=,则根据分解定理可定义模

37、糊数的运算为 (1)p q=0,1 (p q)其隶属函数为(p q)(z)=xy=z p(x)q(y)其中x,y,zR (2)设 k为非负实数,则r R,k与r的乘积为k r=0,1 (k r)其隶属函数为(k r)(x)=k y=x r(y)x,yR第44页/共54页47 例例例例2.3.22.3.2 设设 T T(a a,),),T T(a a1 1,1 1),),和和T T(a a2 2,2 2)均为均为 三角模糊数三角模糊数,k k 0,0,求求T T(a a1 1,1 1)+)+T T(a a2 2,2 2),),k k T T(a a,).).目 录第46页/共54页48 解解解解

38、:因为因为 0,1 0,1,有有 T T(a a,)=a a (1(1),),a a+(1(1).所以由定义所以由定义2.3.52.3.5知知 (1)(1)T T(a a1 1,1 1)+)+T T(a a2 2,2 2)=)=0,1 0,1 T T(a a1 1,1 1)+T T(a a2 2,2 2)=0,1 0,1 a a1 1 1 1(1(1),),a a1 1+1 1(1(1)+a a2 2 2 2(1(1),),a a2 2+2 2(1(1)=0,1 0,1 a a1 1+a a2 2(1 1+2 2)(1)(1),),a a1 1+a a2 2+(+(1 1+2 2)(1)(1)

39、=T T(a a1 1+a a2 2,1 1+2 2).).(2)(2)k k T T(a a,)=)=0,1 0,1 k k a a (1(1),),a a+(1(1)=0,1 0,1 k k a ak k (1(1),),k k a a+k k (1(1)=T T(k k a a,k k )第47页/共54页49 定理定理2.3.5 设k0,p,q,rR,则L=,p*q R,k*r R.这说明模糊数关于“,”这六种运算和数乘运算都是封闭的.证明证明:因为(0,1,p,q和r都是区间数,故有区间数的运算知 p*q R-,k*r R-,从而由模糊数的表现定理知,p*q R,k*r R.第48页

40、/共54页502.3.6 2.3.6 模糊数运算性质模糊数运算性质 (i)(i)模糊数的截集运算性质模糊数的截集运算性质 首先介绍一些将在证明模糊数的截集运算性质需用到的概念首先介绍一些将在证明模糊数的截集运算性质需用到的概念 定义定义定义定义2.3.6 2.3.6 设设A AF F(U U),记记 则称则称 和和 分别为模糊集分别为模糊集A A的的 高高高高 和和 底底底底 .(1)(1)若若 u u,v vU U,s.t.,s.t.A A(u u)=1,)=1,A A(v)v)=0=0 则称则称A A为为正则模糊集正则模糊集正则模糊集正则模糊集 ;(2)(2)若若 ,则称则称A A为为拟正

41、则模糊集拟正则模糊集拟正则模糊集拟正则模糊集 ;(3)(3)若若 u u0 0U U,s.t.,s.t.A A(u u0 0)=)=,则称则称 是是可达的可达的可达的可达的 定理定理定理定理2.3.6 2.3.6 设设A AF F(R R ),若若 0,1 0,1,A A 为为R R中的有限闭区间或空集中的有限闭区间或空集,则则 是可达是可达的的.证明证明:记记 ,则由数学分析中的确界定理知则由数学分析中的确界定理知 x xn nR R,n nN N 使使 ,且且 A A(x xn n)|)|n nN N 是严格递增数列是严格递增数列,令令A A(x xn n)=)=n n,则由定理则由定理1

42、.4.41.4.4得得由由 n n 0,(0,1,则 (1)(p+q)=p+q;(2)(pq)=p q;(3)(pq)=pq;(4)(pq)=p q;(5)(pq)=pq;(6)(pq)=pq;(7)(kp)=kp;目 录第50页/共54页52 证明证明证明证明:(1)(1)根据定理根据定理2.2.4(2),2.2.4(2),欲证结论欲证结论(1)(1)成立成立,只需证只需证 z zR R,x x0 0R R,s.t.s.t.(p p+q q)(z z)=p p(x x0 0)q q(z zx x0 0)即可即可.事实上事实上,由模糊数的加法运算知由模糊数的加法运算知 (p p+q q)(z

43、z)=x x+y y=z z p p(x x)q q(y y)=)=x xR R p p(x x)q q(z-xz-x)令令r r(x x)=)=q q(z-xz-x),则则 (0,1(0,1,由定理由定理1.4.21.4.2知知 (p p r r)=p p r r.由由于于p p 和和r r 都是有限闭区间都是有限闭区间,故故(p p r r)为有限闭区间或空集为有限闭区间或空集,从从而由定理而由定理2.3.62.3.6知知 x x0 0R R使使p p(x x0 0)q q(z zx x0 0)=)=x xR R p p(x x)q q(z-xz-x)于是得证于是得证 z zR R,x x

44、0 0R R,s.t.s.t.(p p+q q)(z z)=p p(x x0 0)q q(z zx x0 0).).同理可证同理可证(2)(7).(2)(7).第51页/共54页53(ii)模糊数的代数运算性质 定理定理 2.3.7 设p,q,rR,k,k1,k2 0,则 (1)交换律:p+q=q+p,pq=qp;(2)结合律:(p+q)+r=p+(q+r),(pq)r=p(qr);(3)数乘与加法分配律:k(p+q)=kp+kq ,(k1+k2)p=k1p+k2p;(4)p(q+r)pq+pr,但反之一般不成立,这说明模糊数的运算一般不满足分配律.目 录第52页/共54页54 例如例如例如例如:设设p p=0,1,=0,1,q q=-1,1,=-1,1,r r=1,2=1,2R R,则则 p p(q q+r r)=0,3,=0,3,p p q q+p p r r=-1,3,-1,3,故故 p p(q q+r r)p p q q+p p r r.第53页/共54页