应用概率统计.pptx

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1、一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量。推广第1页/共89页p到现在为止，我们只讨论了一维r.v.及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。p在打靶时，命中点的位置是由一对r.v.(两个坐标)来确定的。p飞机的重心在空中的位置是由三个r.v.(三个坐标)来确定的等等。p一般地，设随机试验E的样本空间是S=e，X1=X1(e)，X2=X2(e)，Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1，X2，Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量。第2页/共89页定义3.1 设随机

2、试验E的样本空间是S=e，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。定义3.2 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或联合分布函数。一、二维随机变量及其分布函数一维随机变量的分布函数为第3页/共89页 将二维随机变量(X，Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x，y)在点(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在下图所示的，以点(x，y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。分布函数函数值的几何解释第4页/共89页 随机点(X，Y)落在矩形域内的概

3、率为第5页/共89页分布函数F(x，y)的性质第6页/共89页(),0,=-yFRy对任意固定的(),1,0.2yxF且第7页/共89页3.F(x，y)关于x，y右连续，即4.随机点(x,y)落在矩形区域上的概率0 上述四条是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，如果某个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某个二维随机变量的分布函数。第8页/共89页解 由分布函数的性质得设(X,Y)的分布函数为求常数A,B,C的值及概率例3.1第9页/共89页称之为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y 的联合分布律。回忆一维离散型随机

4、变量X的相关知识设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值是(xi，yj)，i,j=1,2,记定义3.3 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量。二、二 维 离 散 型 随 机 变 量二维离散型随机变量(X,Y)的分布律具有性质第10页/共89页也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律。第11页/共89页解由古典概型求法得 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0 0 1 2 0 1 2 将两封信随机地投入到三个邮筒中去，X表示第一个邮筒中信的个数，Y表示第二个邮筒中信的个数，求(X,Y)的分布律。例3.2第

5、12页/共89页解：试验共有42种不同的等可能结果。p12=p21=p22=0 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。i 表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写出(1，2)的联合分布以及1，2的边缘分布。练一练第13页/共89页解 (X,Y)可取值(0，3)、(1，1)、(2，1)、(3，3)PX=0,Y=3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布律。例3.3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8第14页/共89页解：X,Y可能取值均为1,2,3。一袋中有四

6、个球，上面分别标有数字1,2,2,3。从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一个球，以X,Y分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求(X,Y)的分布律。例3.4第15页/共89页同理可得，所以(X,Y)的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3第16页/共89页解:X表示甲投中的次数，Y表示乙投中的次数，由题意可得Xb(3,0.6)，Yb(3,0.7)甲、乙两人投篮，每人投中的概率分别为0.6，0.7今各投三次，求两人投中次数相同的概率；甲投中次数比乙多的概率；甲投中次数比乙小一次的概率。例3.5第17页/共89页第18页/共89页定

7、义3.4 二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数为其中和式是对一切满足的i,j求和。第19页/共89页定义3.5 设二维随机变量的分布函数为F(x,y)，若存在f(x,y)0，使得对任意实数x,y总有则(X,Y)称为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X 和Y的联合概率密度。三三、二二 维维 连连 续续 型型 随随 机机 变变 量量f(x,y)的性质:第20页/共89页若f(x,y)在点(x,y)连续，则有，即连续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以 G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积。第21页/共8

8、9页解 由概率密度的性质得k=2，从而得 设二维随机变量(X,Y)的概率密度试求：常数k的值；分布函数F(x,y)；概率PYX；概率PX+Y1。例3.6第22页/共89页积分区域区域解 (2)当x0，y0时,第23页/共89页当x0，y 0时,故第24页/共89页 将(X,Y)看作平面上随机点的坐标，有第25页/共89页解 积分区域如右图所示 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求概率例3.7第26页/共89页解 由概率密度的性质知 已知(X,Y)的分布函数为试求:(1)(X,Y)的概率密度f(x,y)；(2)P0X3。例3.8(2)P0X3第27页/共89页解 由性质可得已知(X,Y)的概

9、率密度为(1)求常数A的值；(2)求(X,Y)的分布函数F(x,y)。例3.9第28页/共89页 当0 x1,xy时，如图 由于 当x0或y0时，F(x,y)=0 当0 x1,0yx时，如图 当1x1,0y1时，如图第29页/共89页故 当1x,0y时，如图第30页/共89页四四、两两 个个 重重 要要 分分 布布均匀分布(1)设平面区域D的面积为A，若随机向量（X，Y）的概率密度为则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。第31页/共89页 向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关，则质点的坐标(X,Y)在D上服从均

10、匀分布。（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有第32页/共89页二维正态分布记为 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为第33页/共89页 第二节 边缘分布第34页/共89页 二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律，而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布。那么要问：二者之间有什么关系呢?这一节里，我们就来探求这个问题。第35页/共89页一、边 缘 分 布 函 数 分别设(X,Y)的分布函数为记X,Y的分布函数为和的边缘分布函数。，称为关于X 和Y同理可得问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布?第36页/共89页 解：(X,Y)关于X的边缘分布函数

11、为同理，已知(X,Y)的分布函数为例3.10求(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y)。第37页/共89页二、离 散 型 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 设(X,Y)的分布律为则(X,Y)关于X的边缘分布律为记作记作同理第38页/共89页通常用以下表格表示(X,Y)的分布律和边缘分布律第39页/共89页解 (X,Y)的可能取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 X,Y 的边缘分布律。例3.11由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。第

12、40页/共89页三三、连连续续型型随随机机变变量量的的边边缘缘概概率率密密度度若(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，则：同理分别是(X,Y)关于X 和Y 的边缘概率密度。第41页/共89页解 已知例3.12第42页/共89页设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例3.13=5c/24,c=24/5.解 (1)故第43页/共89页解(2)当 时当 时,暂时固定第44页/共89页解(2)暂时固定第45页/共89页注意取值范围综上,在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分。当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积

13、分限。第46页/共89页 第四节 相互独立的 随机变量第47页/共89页独立性是概率论的一个重要概念，第一章中，若则称 A、B 相互独立。其意义是其中一个出现，不影响另一个出现的概率。在研究二维随机变量时，其中一个取值对另一个取值的概率是否有影响？第48页/共89页定义3.6 若二维随机变量(X,Y)对任意的实数x,y均有成立，则称随机变量X与Y是相互独立的。下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：用分布函数表示，即X与Y相互独立第49页/共89页.若(X,Y)是连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是几乎处处成立.若(X,Y)是离散型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是即第50

14、页/共89页 已知随机变量(X,Y)的分布律为下图，问X与Y是否相互独立？例3.14解由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为由于第51页/共89页因此X与Y相互独立。第52页/共89页 已知随机变量(X,Y)的分布律为下图，问X与Y是否相互独立？解 由已知的(X,Y)的联合分布律求其边缘分布律为因此X与Y不相互独立。注：只要有一个不成立就不独立。例3.15第53页/共89页 设随机变量X与Y相互独立，试确定 a,b,c 的值？例3.16解：因为X与Y相互独立所以又由归一性得第54页/共89页 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布。乙独立地

15、到达，而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布。求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率。又甲先到的概率是多少？解 设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位，依题意,XU(15,45),YU(0,60)例3.17第55页/共89页所求为P(|X-Y|5),甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率P(XY)第56页/共89页P(XY)解一=P(-5 X-Y 5)P(|X-Y|5)第57页/共89页P(X Y)解二被积函数为常数，直接求面积P(|X-Y|5)第58页/共89页类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达

16、，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率。第59页/共89页 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰。求发生两信号互相干扰的概率。第60页/共89页 第五节 二维随机变量 函数的分布第61页/共89页在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?第62页/共89页一、二维离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量(X,Y

17、)的分布律为设z=g(x,y)为二元函数，因为(X,Y)是离散的，故Z=g(X,Y)也是离散型随机变量，现在求Z=g(X,Y)的分布律。当X=xi，Y=yj时，Z 相应的值为z=g(xi，yj)且有第63页/共89页 假设随机变量(X,Y)的分布律为分别求Z1=X+Y，Z2=X-Y，Z3=XY的分布律，并判断Z1和Z2是否独立？解且例3.18同理可得下表第64页/共89页化简整理，得各函数的分布律为：因为而故Z1和Z2不相互独立。第65页/共89页 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从参数为1和2的泊松分布。求Z=X+Y的分布律。例3.19解 由题意可知故由独立性第66页/共89页

18、故泊松分布具有可加性思考：二项分布也具有可加性。思考：二项分布也具有可加性。第67页/共89页二、二维连续型随机变量的函数的分布 问题 已知(X,Y)的联合分布，求Z=g(X,Y)的分布。只讨论两种比较常见的函数：.第68页/共89页.Z=X+Y的分布引例（一般情况的推导）已知(X,Y)的概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度。解Z=X+Y的分布函数为将二重积分化成累次积分第69页/共89页由X与Y的对称性又可得特别地，当X 与Y 相互独立时，有上式称为fX 与fY的卷积公式，记为fX*fY。第70页/共89页书上82页例3，（以上结果可以推广到一般情况）定理3.7 正态分布的可加性若

19、随机变量X1，X2，Xn相互独立，并且(k=1,2,n)，则其中k为常数。例3.20第71页/共89页设随机变量(X,Y)的概率密度为求Z=X+Y的概率密度fZ(z);求随机变量 X 的概率密度fX(x);求概率PX+Y1。解 Z=X+Y的概率密度为例3.21由第72页/共89页当z0时，所以当z0时，或用另一个公式同样可解出来，但注意图形坐标是关于 z 和 x 的。第73页/共89页 关于 X 的边缘概率密度为由式可得第74页/共89页 最大最小分布有广泛的应用：在一个系统中要考虑元件组的最大最小寿命；建筑桥梁时，要考虑使用期内洪水最高水位；一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研

20、究极值分布具有重要的意义和实用价值。这些问题的解决对经济建设是有很大意义的。.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布第79页/共89页解M=max(X,Y)的分布函数为引例（一般情况的推导）已知X,Y 相互独立，已知FX(x)和FY(y)，M=max(X,Y),N=min(X,Y)，求M和N的分布函数。第80页/共89页推广 当X1,X2,Xn独立同分布时，随机变量M=max(X1,X2,Xn),N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为N=min(X,Y)的分布函数为所以第81页/共89页 设随机变量X 的概率密度为随机变量X1,X2,X3,X4相互独立且与X 有相同的分布，试求随

21、机变量M=max(X1,X2,X3,X4)的概率密度和PM0.5。解 X 的分布函数为例3.23M=max(X1,X2,X3,X4)的分布函数为第82页/共89页所以M 的概率密度为于是第83页/共89页解 由题意可得(1)Z=min(X,Y);(2)Z=max(X,Y);(3)Z=X+Y 设系统L 由两个相互独立的子系统L1,L2连结而成，连接的方式分别为 串联；并联；备用（当系统1损坏时，系统2开始工作）。设L1和L2的寿命分别为X,Y,并且试求系统 L 的寿命Z 的概率密度。例3.24第84页/共89页则 第85页/共89页 z0时z0时，f(z)=0所以第86页/共89页 设随机变量(X,Y)的概率密度为试求随机变量Z=X-Y的概率密度。解 结合概率密度的非零区域可得例3.25 z0时FZ(z)=0第87页/共89页 z0时FZ(z)=1 0z1时所以故 Z=X-Y 的概率密度为第88页/共89页感谢您的观看！第89页/共89页