应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答).pptx

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1、1 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-1 设3维随机向量XN3(,2I3)，已知试求Y=AX+d的分布.解:利用性质2,即得二维随机向量YN2(y,y),其中：第1页/共25页2 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-2 设X=(X1,X2)N2(,)，其中（1）试证明X1+X2 和X1-X2相互独立.（2）试求X1+X2 和X1-X2的分布.解:(1)记Y1 X1+X2(1,1)X,Y2 X1-X2 (1,-1)X，利用性质2可知Y1,Y2 为正态随机变量。又故X1+X2 和X1-X2相互独立.第2页/共25页3 第二章第二章

2、多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计或者记由定理2.3.1可知X1+X2 和X1-X2相互独立.第3页/共25页4 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计(2)因第4页/共25页5 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-3 设X(1)和X(2)均为p维随机向量,已知其中(i)(i1，2)为p维向量,i(i1，2)为p阶矩阵，(1)试证明X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.(2)试求X(1)+X(2)和X(1)-X(2)的分布.解:(1)令第5页/共25页6 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估

3、计 由定理2.3.1可知X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.第6页/共25页7 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计(2)因所以注意:由D(X)0,可知(1-2)0.第7页/共25页8 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-11 已知X=(X1,X2)的密度函数为试求X的均值和协方差阵.解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=12第8页/共25页9 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计类似地有第9页/共25页10 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计0第10页/共25页11 第

4、二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计所以故X=(X1,X2)为二元正态分布.第11页/共25页12 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计解二:比较系数法 设比较上下式相应的系数,可得:第12页/共25页13 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计故X=(X1,X2)为二元正态随机向量.且解三:两次配方法 第13页/共25页14 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计即设函数 是随机向量Y的密度函数.第14页/共25页15 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 (4)由于故

5、(3)随机向量第15页/共25页16 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-12 设X1 N(0,1),令(1)证明证明X2 N(0,1);(2)证明证明(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.证明(1):任给x,当x-1时当x1时,第16页/共25页17 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计当-1x1时,(2)考虑随机变量Y=X1-X2,显然有第17页/共25页18 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 若若(X1,X2)是二元正态分布是二元正态分布,则由性质则由性质4可知可知,它的任意线性组合必为一元正

6、态它的任意线性组合必为一元正态.但但Y=X1-X2 不是正态分布不是正态分布,故故(X1,X2)不是二元正态分布不是二元正态分布.第18页/共25页19 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计2-17 2-17 设XNp(,),(,),0,0,X的密度函数记为f(x;,).(1);,).(1)任给a0,0,试证明概率密度等高面 f(x;,)=;,)=a是一个椭球面.(2)(2)当p=2=2且 (0)0)时，概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.证明(1):任给a0,0,记第19页/共25页20 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态

7、分布及参数的估计令 ,则概率密度等高面为(见附录5 P390)第20页/共25页21 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计故概率密度等高面 f(x;,)=a是一个椭球面.(2)当p=2=2且 (0)0)时,由可得的特征值第21页/共25页22 第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计i(i=1,2)对应的特征向量为由(1)可得椭圆方程为长轴半径为 方向沿着l1方向(b0);短轴半径为 方向沿着l2方向.第22页/共25页23第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计 2-19 为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.解：第23页/共25页24第二章第二章 多元正态分布及参数的估计多元正态分布及参数的估计第24页/共25页25谢谢您的观看！第25页/共25页