随机变量数学期望幻灯片.ppt

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1、随机变量数学期望第1页，共31页，编辑于2022年，星期三(1)(1)均值均值 称称E E(X X)=_)=_为随机变量为随机变量X X的均的均值或值或_,_,它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_._.x x1 1p p1 1+x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n数学期望数学期望平均平均水平水平2.2.均值的性质均值的性质(1)(1)E E(aXaX+b b)=_.)=_.3.3.两点分布与二项分布的均值两点分布与二项分布的均值(1)(1)若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=_.)=_.(2)(2)若若XB

2、XB(n n,p p),),则则E E(X X)=_,)=_,4.4.若若X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几何分布的超几何分布,则则E(X)=_.E(X)=_.aEaE(X X)+)+b b第2页，共31页，编辑于2022年，星期三1.1.若随机变量若随机变量X X的分布列如表的分布列如表,则则E(X)E(X)等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由分布列的性质由分布列的性质,可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+x x=1,=1,E E(X X)=02)=02x x+13+13x x+27+27x x+32+32

3、x x+43+43x x+5+5x x=40=40 x x=X012345P2x3x7x2x3xxC C第3页，共31页，编辑于2022年，星期三2.2.已知某一随机变量已知某一随机变量 的概率分布列如下的概率分布列如下,且且 =6.3,=6.3,则则a a的值为的值为 ()()A.5 B.6 C.7 D.8 A.5 B.6 C.7 D.8 解析解析 由分布列性质知：由分布列性质知：0.5+0.1+0.5+0.1+b b=1,=1,b b=0.4.=0.4.=40.5+=40.5+a a0.1+90.4=6.3.0.1+90.4=6.3.a a=7.=7.4a9P0.50.1bC C第4页，共

4、31页，编辑于2022年，星期三3.3.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中有放从中有放 回地任取回地任取3 3件件,若若X X表示取到次品的次数表示取到次品的次数,则则E E(X X)=)=_._.第5页，共31页，编辑于2022年，星期三(2008(2008湖北理，湖北理，17)17)袋中有袋中有2020个大小相个大小相 同的球同的球,其中记上其中记上0 0号的有号的有1010个个,记上记上n n号的有号的有n n个个(n n=1,2,3,4).=1,2,3,4).现从袋中任取一球现从袋中任取一球,表示所取球的标表示所取球的标 号号.求求的分布

5、列、期望；的分布列、期望；解解 (1)(1)的分布列为的分布列为 01234P第6页，共31页，编辑于2022年，星期三 某中学组建了某中学组建了A A、B B、C C、D D、E E五个不同五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好的社团组织，为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生要求每个学生 必须参加，且只能参加一个社团必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的.(1)(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法 种数；种数；(2)(2)求甲、乙

6、、丙三人中至少有两人参加同一社团的求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率；概率；(3)(3)设随机变量设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加为甲、乙、丙这三名学生参加A A社社 团的人数团的人数,求求的分布列与数学期望的分布列与数学期望.第7页，共31页，编辑于2022年，星期三解解 (1)(1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方 法数是法数是5 5种种,故共有故共有555=125(555=125(种种).).(2)(2)三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为三名学生中至少有两

7、人选择同一个社团的概率为(3)(3)由题意由题意=0,1,2,3.=0,1,2,3.第8页，共31页，编辑于2022年，星期三的分布列为的分布列为的数学期望的数学期望0123P第9页，共31页，编辑于2022年，星期三题型三题型三 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用 【例例3 3】(12(12分）分）(2008(2008广东理广东理,17),17)随机抽取某厂的随机抽取某厂的某种产某种产 品品200200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126126件、二件、二等品等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件件.已知生产已知生产1 1件一、件一、二、三等

8、品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元万元,而而1 1件次品亏损件次品亏损2 2万元万元.设设1 1件产品的利润件产品的利润(单位单位:万元万元)为为.(1)(1)求求的分布列；的分布列；(2)(2)求求1 1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的数学期望的数学期望)；(3)(3)经技术革新后经技术革新后,仍有四个等级的产品仍有四个等级的产品,但次品率降但次品率降 为为1%,1%,一等品率提高为一等品率提高为70%.70%.如果此时要求如果此时要求1 1件产品的件产品的 平均利润不小于平均利润不小于4.734.73万元万元,则三等品率最多是

9、多少？则三等品率最多是多少？第10页，共31页，编辑于2022年，星期三思维启迪思维启迪 确定随机变量确定随机变量写出随机变量的分布列写出随机变量的分布列计算数学期望计算数学期望列不等式求解列不等式求解.解解 (1)(1)的所有可能取值有的所有可能取值有6,2,1,-2.6,2,1,-2.故故的分布列为的分布列为(2)(2)E E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(=4.34(万元万元).).621-2P0.630.250.10.02第11页，共31页，编辑于2022年，星期三(3)(3)设技术革新后的三等品

10、率为设技术革新后的三等品率为x x，则此时，则此时1 1件产品的件产品的 平均利润为平均利润为E E()=60.7+2(1-0.7-0.01-)=60.7+2(1-0.7-0.01-x x)+)+x x+(-2)0.01=4.76-(-2)0.01=4.76-x x(0(0 x x0.29),0.29),依题意依题意,知知E E()4.73,)4.73,即即4.76-4.76-x x4.73,4.73,解得解得x x0.03.0.03.所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%.3%.解决此类题目的关键是正确理解随机变解决此类题目的关键是正确理解随机变 量取每一个值所表示的具体事件量取每一个值所

11、表示的具体事件,求得该事件发生的求得该事件发生的概率概率,本题第本题第(3)(3)问充分利用了分布列的性质问充分利用了分布列的性质p p1 1+p p2 2+p pi i+=1.+=1.探究提高探究提高第12页，共31页，编辑于2022年，星期三知能迁移知能迁移3 3 现有甲、乙两个项目现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资对甲项目每投资 10 10万元，一年后利润是万元，一年后利润是1.21.2万元、万元、1.181.18万元、万元、1.171.17 万元的概率分别为万元的概率分别为 已知乙项目的利润与已知乙项目的利润与 产品价格的调整有关产品价格的调整有关,在每次调整中在每次调整中,价格下降的

12、概价格下降的概 率都是率都是p p(0(0p p1).1).设乙项目产品价格在一年内进行设乙项目产品价格在一年内进行 2 2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下 降次数为降次数为,对乙项目投资对乙项目投资1010万元万元,取取0 0、1 1、2 2时时,一年后相应利润是一年后相应利润是1.31.3万元、万元、1.251.25万元、万元、0.20.2万元万元.随机变量随机变量1 1、2 2分别表示对甲、乙两项目各投资分别表示对甲、乙两项目各投资 10 10万元一年后的利润万元一年后的利润.第13页，共31页，编辑于2022年，星期三(1)(1)求求

13、1 1、2 2的概率分布和数学期望的概率分布和数学期望E E(1 1)、E E(2 2););(2)(2)当当E E(1 1)E E(2 2)时时,求求p p的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)方法一方法一 1 1的概率分布列为的概率分布列为1.21.181.17P第14页，共31页，编辑于2022年，星期三由题设得由题设得BB(2,(2,p p),),即即的概率分布列为的概率分布列为故故2 2的概率分布列为的概率分布列为所以所以2 2的数学期望是的数学期望是E E(2 2)=1.3(1-)=1.3(1-p p)2 2+1.252+1.252p p(1-(1-p p)+0.2)+0.2p

14、p2 2=1.3(1-2=1.3(1-2p p+p p2 2)+2.5()+2.5(p p-p p2 2)+0.2)+0.2p p2 2=-=-p p2 2-0.1-0.1p p+1.3.+1.3.012P(1-p)22p(1-p)p21.31.250.2P(1-p)22p(1-p)p2第15页，共31页，编辑于2022年，星期三方法二方法二 1 1的概率分布列为的概率分布列为 设设A Ai i表示事件表示事件“第第i i次调整次调整,价格下降价格下降”(”(i i=1,2),=1,2),则则 1.21.181.17P第16页，共31页，编辑于2022年，星期三故故2 2的概率分布列为的概率分

15、布列为 所以所以2 2的数学期望为的数学期望为E E(2 2)=1.3(1-)=1.3(1-p p)2 2+1.252+1.252p p(1-(1-p p)+0.2)+0.2p p2 2=1.3(1-2=1.3(1-2p p+p p2 2)+2.5()+2.5(p p-p p2 2)+0.2)+0.2p p2 2=-=-p p2 2-0.1-0.1p p+1.3.+1.3.(2)(2)由由E E(1 1)1.18,+1.31.18,整理得整理得(p p+0.4)(+0.4)(p p-0.3)0,-0.3)0,解得解得-0.4-0.4p p0.3.0.3.因为因为00p p1,1,所以当所以当E

16、 E(1 1)E E(2 2)时时,p p的取值范围是的取值范围是00p p0.3.0.3.1.31.250.2P(1-p)22p(1-p)p2第17页，共31页，编辑于2022年，星期三3.3.设随机变量的分布列如表所示且设随机变量的分布列如表所示且E E()=1.6,=1.6,则则a a-b b 等于等于 ()()A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 0123P0.1ab0.1第18页，共31页，编辑于2022年，星期三5.5.某街头小摊某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到在不下雨的日子一天可赚到100100元元,在在 下雨

17、的日子每天要损失下雨的日子每天要损失1010元元,若该地区每年下雨的若该地区每年下雨的 日子约为日子约为130130天，则此小摊每天获利的期望值是天，则此小摊每天获利的期望值是 (一年按一年按365365天计算天计算)()()A.60.82A.60.82元元 B.68.02 B.68.02元元C.58.82C.58.82元元 D.60.28 D.60.28元元 解析解析 选选A.A.A A第19页，共31页，编辑于2022年，星期三6.6.一个篮球运动员投篮一次得一个篮球运动员投篮一次得3 3分的概率为分的概率为a a，得，得2 2分分 的概率为的概率为b b,不得分的概率为不得分的概率为c

18、c(a a、b b、c c(0,1),(0,1),已已 知他投篮一次得分的数学期望为知他投篮一次得分的数学期望为2(2(不计其他得分情不计其他得分情 况况),),则则abab的最大值为的最大值为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 设投篮得分为随机变量设投篮得分为随机变量X X,则则X X的分布列为的分布列为 当且仅当当且仅当3 3a a=2=2b b时时,等号成立等号成立.X320PabcD D第20页，共31页，编辑于2022年，星期三二、填空题二、填空题7.7.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中任取从中任取 3 3件件,若若表

19、示取到次品的个数表示取到次品的个数,则则E E()=_.)=_.解析解析 的取值为的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,则则第21页，共31页，编辑于2022年，星期三8.8.(2009(2009上海理，上海理，7)7)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望则数学期望 E E()=_()=_(结果用最简分数表示结果用最简分数表示).).解析解析 的可能取值为的可能取值为0,1,2,0,1,2,第22页，共31页

20、，编辑于2022年，星期三三、解答题三、解答题 10.10.袋中有相同的袋中有相同的5 5个球个球,其中其中3 3个红球个红球,2,2个黄球个黄球,现从现从 中随机且不放回地摸球中随机且不放回地摸球,每次摸每次摸1 1个，当两种颜色的个，当两种颜色的 球都被摸到时球都被摸到时,即停止摸球即停止摸球,记随机变量记随机变量为此时已为此时已 摸球的次数摸球的次数,求求:(1)(1)随机变量随机变量的概率分布列；的概率分布列；(2)(2)随机变量随机变量的数学期望与方差的数学期望与方差.第23页，共31页，编辑于2022年，星期三解解 (1)(1)随机变量随机变量可取的值为可取的值为2,3,4,2,3

21、,4,所以随机变量所以随机变量的概率分布列为：的概率分布列为：234P第24页，共31页，编辑于2022年，星期三(2)(2)随机变量随机变量的数学期望的数学期望随机变量随机变量的方差的方差第25页，共31页，编辑于2022年，星期三11.11.某地区试行高考考试改革某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行在高三学年中举行5 5次次 统一测试统一测试,学生如果通过其中学生如果通过其中2 2次测试即可获得足够次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试不用参加其余的测试,而每而每 个学生最多也只能参加个学生最多也只能参加5 5次测试次测试.假设某学生每次通假设

22、某学生每次通 过测试的概率都是过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当每次测试时间间隔恰当,每次每次 测试通过与否互相独立测试通过与否互相独立.(1)(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5 5次测试就结束次测试就结束,记该生参记该生参 加测试的次数为加测试的次数为X X,求求X X的分布列及的分布列及X X的数学期望的数学期望.第26页，共31页，编辑于2022年，星期三解解 (1)(1)记记“该学生考上大学该学生考上大学”为事件为事件A A，其对立事，其对立事 件为件为 (2)(2)参加测试次数参加测试次数X X的可能取值为

23、的可能取值为2,3,4,5.2,3,4,5.第27页，共31页，编辑于2022年，星期三故故X X的分布列为：的分布列为：答答 该生考上大学的概率为该生考上大学的概率为 所求数学期望是所求数学期望是X2345P第28页，共31页，编辑于2022年，星期三12.12.(2009(2009陕西理，陕西理，19)19)某食品企业一个月内被消费某食品企业一个月内被消费 者投诉的次数用者投诉的次数用表示表示,据统计据统计,随机变量随机变量的概率的概率 分布列如下表：分布列如下表：(1)(1)求求a a的值和的值和的数学期望；的数学期望；(2)(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影假设一月份与二

24、月份被消费者投诉的次数互不影 响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概次的概 率率.0123P0.10.32aa第29页，共31页，编辑于2022年，星期三解解 (1)(1)由概率分布列的性质有由概率分布列的性质有0.1+0.3+20.1+0.3+2a a+a a=1,=1,解得解得a a=0.2.=0.2.的概率分布列为的概率分布列为E E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.)=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.0123P0.10.30.40.2第30页，共31页，编辑于2022年，星期三(2)(2)设事件设事件

25、A A表示表示“两个月内共被投诉两个月内共被投诉2 2次次”；事件事件A A1 1表示表示“两个月内有一个月被投诉两个月内有一个月被投诉2 2次次,另一个月另一个月被投诉被投诉0 0次次”；事件事件A A2 2表示表示“两个月均被投诉两个月均被投诉1 1次次”.”.则由事件的独立性得则由事件的独立性得P P(A A1 1)=)=P P(=2)=2)P P(=0)=20.40.1=0.08,=0)=20.40.1=0.08,P P(A A2 2)=)=P P(=1)=1)2 2=0.3=0.32 2=0.09.=0.09.P P(A A)=)=P P(A A1 1)+)+P P(A A2 2)=0.08+0.09=0.17.)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉故该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概率为次的概率为0.17.0.17.返回返回 第31页，共31页，编辑于2022年，星期三