应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答.pptx

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1、1第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3-1 3-1 设XNn(,2 2In),),A为对称幂等阵,且rk(rk(A)=)=r(rn),证明 证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0 0即1,1,且只有r个非0 0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使第1页/共46页2第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第2页/共46页3其中非中心参数为第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第3页/共46页43-2 3-2 设XN Nn n(,2In),),A，B为n阶对称阵.若AB 0 0,证明XAX与XBX相

2、互独立.证明的思路：记rk(rk(A)=)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得 A=diag(diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0)令YX，则YNn(,2In),),第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验且第4页/共46页5 又因为 XBX=YB Y=YHY其中H=B。如果能够证明XBX可表示为Yr+1+1，,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。则XAX 与XBX相互独立。第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第5页/共46页6 证明 记rk(rk(A)=)=r.若r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX与XBX独立；若r=0=0时,

3、则A0,0,则两个二次型也是独立的.以下设0 0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第6页/共46页7 其中i00为A的特征值(i=1,=1,r).).于是令r第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 由ABO可得DrH1111O ，DrH1212O.因Dr为满秩阵,故有H1111Orr，H1212Or(n-r).由于H为对称阵，所以H2121O(n-r)r.于是第7页/共46页8 由于Y1 1，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故XAX与XBX相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令Y

4、X，则Y N Nn(,2In),),且第8页/共46页9 设XN Np(,),0,0,A和B为p阶对称阵,试证明 (X-)A(X-)与(X-)B(X-)相互独立 AB0 0pp.第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-3第9页/共46页10由“1.1.结论6 6”知与相互独立 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第10页/共46页11 性质4 4 分块Wishart矩阵的分布:设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中又已知随机矩阵则第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5)

5、.3-4第11页/共46页12第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验证明:设记,则即第12页/共46页13第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验当12=O 时,对1,2,n,相互 独立.故有W11与W22相互独立.由定义3.1.4可知第13页/共46页14 性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X()(1,n)是来自p元总体Np(,)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令其中C是p p非退化常数矩阵，d是p 1常向量。则第14页/共46页1

6、5第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以第15页/共46页16第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布.解:总体XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),设X()(=1,(=1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为P66当=0已知的检验第16页/共46页17第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第17页/共46页18第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第18页/共

7、46页19第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因所以由3“一2.的结论1”可知第19页/共46页20第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验)设总体XN Np p(,)(,)(0),0),X()(1,1,n)()(np)为来自p维正态总体X X的样本，记(1 1,p).).C为kp常数(k p),rank(),rank(C)=)=k,r为已知k维向量.试给出检验H H0 0:C:Cr的检验统计量及分布.解：令则Y()(1,1,n)为来自k维正态总体Y的样本，且第20页/共46页21第三章第三章 多元正态总体参数的

8、检验多元正态总体参数的检验检验这是单个k维正态总体均值向量的检验问题.利用3.2当y=CC未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量:第21页/共46页22第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-7 设总体XNp(，)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记(1 1,p p).为检验H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p至少有一对不相等.令则上面的假设等价于H0 0：C=0p-1,H1 1：C 0p-1试求检验H0 的似然比统计量和分布.解：至少有一对不相等.第22页/共46页23第三章

9、第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分布为：其中(注意:3-6中的k在这里为p-1)第23页/共46页24第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-8 假定人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是6 4 1.假设X()(1,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)的随机样本.并设XN3(,)，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律(写出假设H0,并导出检验统计量).解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题.因为其中注意

10、:第24页/共46页25第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验的假设H0为 利用3-6的结论，取检验统计量为：由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得 T2=47.1434,F=18.8574,p值=0.0091950未知.检验H0似然比统计量为记其中第29页/共46页30第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中 A=A1+A2称为组内离差阵.B称为组间离差阵.第30页/共46页31第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因为似然比统计量第31页/共46页32第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以第32页/

11、共46页33第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由定义3.1.5可知由或由于第33页/共46页34第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验可取检验统计量为检验假设H0的否定域为第34页/共46页35第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-11 表3.5给出15名2周岁婴儿的身高(X1)，胸围(X2)和上半臂围(X3)的测量数据.假设男婴的测量数据X()(1,6)为来自总体N3(1)，)的随机样本.女婴的测量数据Y()(1,9)为来自总体N3(2)，)的随机样本.试利用表3.5中的数据检验H0:(1)=(2)(=0.05).解:这是两

12、总体均值向量的检验问题.检验统计量取为(p=3,n=6,m=9):第35页/共46页36第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中故检验统计量为用观测数据代入计算可得:故H0相容.显著性概率值第36页/共46页37 第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 3-12 3-12 在地质勘探中，在A A、B B、C C三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表3.6.3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从N N3 3(i i)，i i)()(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05).(1)(1)检验H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1

13、,2 2,3 3不全等;(2)(2)检验H0H0：(1)(1)(2)(2),H1,H1：(1)(1)(2)(2);(3)(3)检验H0:H0:(1)(1)(2)(2)(3)(3),H1:,H1:存在ij,ij,使(i)(i)(j)(j);(4)(4)检验三种化学成分相互独立.解解:(4):(4)设来自三个总体的样本为设来自三个总体的样本为(p=3,=3,k=3)=3)检验H0的似然比统计量为第37页/共46页38第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为第38页/共46页39第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验称为合并组内离差阵.第39

14、页/共46页40第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验第40页/共46页41第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为第41页/共46页42第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验H0的似然比统计量可化为:第42页/共46页43第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 Box证明了，在H0成立下当n时，=-blnV2(f)，其中 V=0.7253,=-blnV=3.2650,因 p=0.35250.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.第43页/共46页44第三章第三章 多

15、元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验 或者利用定理3.2.1,当n充分大时，=-2ln2(f)，其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因 p=0.24320.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.第44页/共46页45第三章第三章 多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-13 对表3.3给出的三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.(1)对每个分量检验是否一维正态?(2)利用2图检验法对三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.第45页/共46页46谢谢您的观看！第46页/共46页