随机过程第二章幻灯片.ppt

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1、随机过程 第二章第1页，共166页，编辑于2022年，星期三2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义 在许多实际问题中在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点不仅需要对随机现象做特定时间点 上的一次观察上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察且需要做多次的连续不断的观察,以观察研以观察研 究对象随时间推移的演变过程究对象随时间推移的演变过程.例例2.12.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定它在任一确定 时刻的

2、值是随机变量，记为时刻的值是随机变量，记为 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量在无上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进为此，我们通过某种

3、装置对电阻两端的热噪声电压进第2页，共166页，编辑于2022年，星期三行长时间的测量，并把结果自动记录下来，这作为一次试行长时间的测量，并把结果自动记录下来，这作为一次试验结果，便得到一个电压验结果，便得到一个电压-时间函数（即电压关于时间时间函数（即电压关于时间的函数）的函数）,如下图如下图 ，这个电压这个电压-时间函数是不可能预先确知的，只有通过测量时间函数是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量，则得如在相同条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的，事实上，由于热骚动的随机性，在相到的记录是不同的，事实上，由于热骚动的随机性，在相同条

4、件下每次测量都将产生不同的电压同条件下每次测量都将产生不同的电压-时间函数这样时间函数这样不断地独立重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压不断地独立重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压时间函数，这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压时间函数，这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压 第3页，共166页，编辑于2022年，星期三第4页，共166页，编辑于2022年，星期三 称为参数集或参数空间称为参数集或参数空间,称为参数称为参数,一般表示时间一般表示时间或空间或空间.参数集通常有以下形式:当参数集为形式当参数集为形式时时,随机过程随机过程 也称为也称为随机序列随机序列第5页，共166页，编辑于20

5、22年，星期三则2）若 3）若 则 中的中的 是指事件域或是指事件域或 域域即即 满足：满足：第6页，共166页，编辑于2022年，星期三说明:设 为一S.P.1.,实质上为定义在 上的二元单值函数.2.对每一个固定的 为一随机变量时.该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的状态空间.记为 中的元素称为状态.3.对每一个确定的 是定义在 上的普通函数.记为 ,称为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线第7页，共166页，编辑于2022年，星期三它的样本曲线与状态如下图所示 考察考察 时间内某电话交换台收时间内某电话交换台收到的呼叫次数到的呼叫次数 ，则，则 是与

6、是与有关系的随机变量有关系的随机变量此时此时 是与时间有关系的随机变量是与时间有关系的随机变量,于是于是 是随机过程是随机过程如果要长时间内考察电话台的呼叫次数如果要长时间内考察电话台的呼叫次数,则需要则需要让让 变化起来，即变化起来，即 趋于无穷大，则趋于无穷大，则 是一族是一族随机变量随机变量例例2.2:第8页，共166页，编辑于2022年，星期三 tX(t)tt0状态X(t0)=4状态X(t0)=5样本曲线x1(t)x1(t)x2(t)样本曲线x2(t)状态空间S=0,1,2,.,T=0,+)第9页，共166页，编辑于2022年，星期三例例例例.3.3 具有随机初位相的简谐波具有随机初位

7、相的简谐波具有随机初位相的简谐波具有随机初位相的简谐波其中其中 为常数，为常数，服从服从 上的均匀分布上的均匀分布.由于初位相的随机性，在某时刻由于初位相的随机性，在某时刻 是一是一个随机变量个随机变量若要观察任一时刻若要观察任一时刻 的波形，则需要用一族随机的波形，则需要用一族随机变量变量 描述描述.则称则称 为随机过程为随机过程第10页，共166页，编辑于2022年，星期三tX(t)样本曲线样本曲线x1(t)样本曲线x2(t)t0状态X(t0)状态X(t0)例例2.4样本曲线与状态样本曲线与状态状态空间 ,参数集第11页，共166页，编辑于2022年，星期三1 1 1 1状态空间离散，参数

8、集离散的随机过程，称状态空间离散，参数集离散的随机过程，称状态空间离散，参数集离散的随机过程，称状态空间离散，参数集离散的随机过程，称为随机序列为随机序列为随机序列为随机序列状态空间离散，参数集连续的随机过程状态空间离散，参数集连续的随机过程状态空间离散，参数集连续的随机过程状态空间离散，参数集连续的随机过程状态空间连续，参数集离散的随机过程状态空间连续，参数集离散的随机过程状态空间连续，参数集离散的随机过程状态空间连续，参数集离散的随机过程状态空间连续，参数集连续的随机过程状态空间连续，参数集连续的随机过程状态空间连续，参数集连续的随机过程状态空间连续，参数集连续的随机过程 2.2 2.2

9、随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例第12页，共166页，编辑于2022年，星期三一维分布函数一维分布函数二维分布函数二维分布函数4 4有限维分布函数族有限维分布函数族2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族 维分布函数第13页，共166页，编辑于2022年，星期三1.一维分布函数2.二维分布函数对任意tT,X(t)为一随机变量.称其分布函数 F(t;x)=P(X(t)x),x R为随机过程X(t),tT的一维分布函数.对任意固定的t1,t2T,X(t1),X(t2)为两个随机变量.称其联合分布函数 F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)x1,X(t2)x

10、2),x1 x2R为随机过程X(t),tT的二维分布函数.设X(t),tT是S.P.第14页，共166页，编辑于2022年，星期三3.n维分布函数 对任意固定的t1,t2,tnT,X(t1),X(t2),X(tn)为 n个随机变量.称其联合分布函数 F(t1,t2,tn;x1,x2,xn)=P(X(t1)x1,X(t2)x2 X(tn)xn)x1 x2,xn R为随机过程X(t),tT的n维分布函数.定义 称随机过程X(t),tT的一维分布函数,二维分布函数,n维分布函数,的全体 为随机过程的有限维分布函数族.注注:有限维分布函数族能够描述随机过程的有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性

11、统计特性.第15页，共166页，编辑于2022年，星期三5性质(1)对称性设 是 的任一排列，则第16页，共166页，编辑于2022年，星期三(2)(2)相容性相容性设 ,则第17页，共166页，编辑于2022年，星期三柯尔莫歌洛夫定理柯尔莫歌洛夫定理以设满足对称性和相容性,则存在及定义在上的随机过程且随机过程为其有限为分布族第18页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.52.5设，其中相互独立同服设，其中相互独立同服从正态分布，求的一维和二维分布从正态分布，求的一维和二维分布第19页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.62.6设，设，其中是，其中是，而且具有概率分布而且具有

12、概率分布 求求 (1)(1)一维分布函数一维分布函数 (2)(2)二维分布函数二维分布函数A1 2 3P1/3 1/3 1/3第20页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.72.7 设随机过程设随机过程 X(t)=Vcos X(t)=Vcost,t(-,+),t,t(-,+),其中其中为常数为常数,V V服从服从0,10,1上的均匀分布上的均匀分布.确定确定X(t),X(t),t(-,+)的两个样本函数的两个样本函数.求求t=0,t=3t=0,t=3/4/4时时,随机变量的概率密度函数随机变量的概率密度函数.求求t=t=22 时时X(t)的分布函数的分布函数.第21页，共166页，编辑

13、于2022年，星期三例例2.82.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 已知出现正面与反面的概率相等.求X(t)的一维分布函数F(1/2;F(1/2;x),F(1;),F(1;x).).求X(t)的二维分布函数F(1/2,1;x1,x2).第22页，共166页，编辑于2022年，星期三六有限维特征函数1.准备 （Stieltjes)积分 定义1 设f(x),g(x)是定义在a,b上的两个有界函数,对a,b 的任一划分 a=x0 x1xn=b,记=maxxk，任取 kxk-1,xk,k=0,1,n.作和第23页，共166页，编辑于2022年，星期三若极限若极限存在存在,且与且与a,b的分法及的

14、分法及则称此极限为则称此极限为f(x)对函数对函数g(x)在在a,b上的上的Stieltjes积分积分.简称简称S积分积分.也称也称f(x)对对g(x)在在a,b上上S可积可积.记记注：注：S积分与积分与R积分仅在作积这一步不同，积分仅在作积这一步不同，R积分是积分是S积分的特例积分的特例k的取法无关的取法无关.第24页，共166页，编辑于2022年，星期三定义定义2 设设f(x),g(x)是定义在是定义在(-,+)上上的两个函数的两个函数,若在任意有限区间若在任意有限区间a,b f(x)对对 g(x)在在a,b 上上S可积可积,且存在且存在则称此极限为则称此极限为f(x)对对g(x)在无穷区

15、间在无穷区间(-,+)上的上的Stieltjes积分积分.记记第25页，共166页，编辑于2022年，星期三关于关于Stieltjes积分有如下性质积分有如下性质当当g(x)为跳跃函数为跳跃函数,且在且在xi(i=1,2,)具有具有跃度跃度p pi i时有时有当当g(x)存在导数存在导数g(x)时时,有有利用利用Stieltjes积分可以统一离散型积分可以统一离散型r.v.与连续型与连续型r.v.(或随机或随机变量函数变量函数)的数学期望定义的数学期望定义.如下如下 第26页，共166页，编辑于2022年，星期三定义定义 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),若若则则X的期望

16、为的期望为并有以下结论并有以下结论第27页，共166页，编辑于2022年，星期三(1)设设 v.r.X的分布函数为的分布函数为F(x),y=g(x)是连是连 续函数续函数,若若则则v.r.Y=g(X)的期望为的期望为第28页，共166页，编辑于2022年，星期三(2)一般设一般设v.r.(X1,Xn)的联合的联合分布函数为分布函数为F(x1,x2,xn),g(x1,x2,xn)为为连续函数连续函数.若若则则v.r.Y=g(X1,X2,Xn)的数学期望存在的数学期望存在.且且第29页，共166页，编辑于2022年，星期三定义定义1 设随机变量的设随机变量的X的分布函数的分布函数F(x),则称则称

17、为随机变量为随机变量X的的特征函数特征函数.几点说明几点说明(2)一些重要分布的特征函数一些重要分布的特征函数因为对任意因为对任意tT,T,有有|e|ejtxjtx|=1,|=1,故故EEejtx总存在总存在.单点分布单点分布(1)特征函数总是存在的特征函数总是存在的.P(X=c)=1,c常数常数.则则2.随机变量的特征函数随机变量的特征函数第30页，共166页，编辑于2022年，星期三则特征函数则特征函数二项分布二项分布k=0,1,n.0p0则特征函数则特征函数第32页，共166页，编辑于2022年，星期三均匀分布均匀分布r.v.XU(a,b,密度函数为密度函数为则特征函数则特征函数正态分布

18、正态分布r.v.XN(,2),密度函数为密度函数为第33页，共166页，编辑于2022年，星期三则特征函数则特征函数特别特别XN(0,1)时时第34页，共166页，编辑于2022年，星期三指数分布指数分布r.v.X服从参数为服从参数为(0)(0)的指数分布的指数分布,概率密度为概率密度为则特征函数则特征函数第35页，共166页，编辑于2022年，星期三(3)特征函数的性质特征函数的性质a.设设a,b,为常数，为常数，Y=aX+b,则则b.若若X与与Y相互独立，则相互独立，则c.若若r.v.X的的n阶矩存在，则它的特征函数阶矩存在，则它的特征函数n次可次可导，且对导，且对第36页，共166页，编

19、辑于2022年，星期三(4)随机变量的分布函数与其特征函数相随机变量的分布函数与其特征函数相互唯一确定互唯一确定唯一性定理：在特征函数绝对可积的条件下，概率密唯一性定理：在特征函数绝对可积的条件下，概率密度函数与特征函数构成一对度函数与特征函数构成一对Fourier变换变换Bochner-辛钦：特征函数的充要条件是辛钦：特征函数的充要条件是特征函数连续非负定且特征函数连续非负定且f(0)=1.第37页，共166页，编辑于2022年，星期三定义定义2 设设n维随机变量维随机变量X=(X1,X2,Xn)的的联合分布函数为联合分布函数为F(x1,x2,xn),则称则称为为n维随机变量维随机变量X的特

20、征函数的特征函数.也称也称多元特征函数多元特征函数多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质第38页，共166页，编辑于2022年，星期三定义定义3 (S.P.的有限维特征函数的有限维特征函数)设设X(t),tT是一个是一个S.P.对于固定的对于固定的t1,t2,tn T,X(t1),X(t2),X(tn)是是n个随机变量个随机变量,称称为为S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的的n n维特征函数维特征函数.(ui R,i=1,2,n)第39页，共166页，编辑于2022年，星期三3 S.P.的有限维特征函数族的有限维特征函数族称称为随机过程为随机

21、过程的有限维特征函数族的有限维特征函数族第40页，共166页，编辑于2022年，星期三特征函数应用举例特征函数应用举例:第41页，共166页，编辑于2022年，星期三第42页，共166页，编辑于2022年，星期三随机过程的数字特征随机过程的数字特征有限维分布函数族虽然能够完整描述随机有限维分布函数族虽然能够完整描述随机过程的统计特征过程的统计特征,但是在实际中很难得到但是在实际中很难得到.因此因此,如同随机变量一样如同随机变量一样,也用数字特征来也用数字特征来表征随机过程表征随机过程.即将随机变量的数字特征即将随机变量的数字特征推广到随机过程中推广到随机过程中.但要注意其区别但要注意其区别:随

22、机过程的数字特征随机过程的数字特征不再是确定的数不再是确定的数,而是确定的时间的函数而是确定的时间的函数.第43页，共166页，编辑于2022年，星期三4 4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 在实际应用中在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函很难确定出随机过程的有限维分布函数族数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质过程的数字特征能反映其局部统计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律需确定各类数字特征随时间的变化规律.设设是一是一是一个是一个如果如果存在，记为存在，记为则称则称为为的的均值函数均值函数即即第44页，共166页，编辑于2022年，星期三随机过程的方差函数随机过程的

23、方差函数设设是一是一是一个是一个如果如果存在，记为存在，记为则称则称为的的方差函数方差函数称称 为过程为过程 的的均方差函数均方差函数.第45页，共166页，编辑于2022年，星期三随机过程的协方差函数随机过程的协方差函数设设是一是一是两个是两个如果如果存在，记存在，记为则称则称为的的协方差函数协方差函数第46页，共166页，编辑于2022年，星期三随机过程的相关函数随机过程的相关函数为为设设是一是一是两个是两个如果如果存在，记存在，记则称则称为为的的相关函数相关函数随机过程的均方值函数随机过程的均方值函数设设是一是一是一个如果如果存在，记为存在，记为则则称为的的均方值函数均方值函数第47页，

24、共166页，编辑于2022年，星期三随机过程的数字特征的关系随机过程的数字特征的关系 随机过程的协方差函数、相关函数和随机过程的协方差函数、相关函数和均方值函数的关系为均方值函数的关系为 由此可以看出由此可以看出,随机过程的随机过程的均值函数和相关函数均值函数和相关函数是我是我们重点要掌握的数字特征们重点要掌握的数字特征重点重点研究研究内容内容第48页，共166页，编辑于2022年，星期三 设设 ，其中，其中 是常数，是常数，相互独立，同服从相互独立，同服从 ，试求，试求 数字特征数字特征例例2.9第49页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.10设设其中其中是常数是常数，试求试求的数

25、字特征的数字特征第50页，共166页，编辑于2022年，星期三解解第51页，共166页，编辑于2022年，星期三第52页，共166页，编辑于2022年，星期三 例例2.11利用抛硬币的试验定义一个随机过程利用抛硬币的试验定义一个随机过程求该过程的均值函数求该过程的均值函数,方差函数方差函数,相关函数相关函数,协方差函协方差函数数.第53页，共166页，编辑于2022年，星期三 例例2.12 设随机过程设随机过程 其中其中是正常数是正常数,随机变量随机变量A 与与相互独立相互独立,AN(0,1),U(0,2).试求过程的均值函数和相关试求过程的均值函数和相关函数函数.第54页，共166页，编辑于

26、2022年，星期三解解 随机变量函随机变量函数的数学期数的数学期望公式望公式第55页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.13 设S.P.X(t)=Acost+Bsint t0,为常数.A,B相互独立,同服从正态分布N(0,2)求该过程的数字特征.解解第56页，共166页，编辑于2022年，星期三五五 两个随机过程的联合分布和两个随机过程的联合分布和 数字特征数字特征在实际问题中在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者有时需要同时考虑两个或者两个以上的随机过程两个以上的随机过程.例如例如:一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能同为随机过程同为随机

27、过程.同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出的关系等的关系等.第57页，共166页，编辑于2022年，星期三5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征 二维二维S.P.是是设设和和 两个两个为二为二 维维称称第58页，共166页，编辑于2022年，星期三定义对于任意的定义对于任意的是是m+n维随机变量，称维随机变量，称为二维随机过程为二维随机过程的的m+n维分布维分布函数函数第59页，共166页，编辑于2022年，星期三定义称定义称分别为二维随机过程分别为二维随机过程关于关于和关于和关于的的维边缘分布维边缘分布函数和函数和维边

28、缘分布函数维边缘分布函数第60页，共166页，编辑于2022年，星期三定义如果对任意的定义如果对任意的那么称随机过程那么称随机过程有有和和相相互独立互独立第61页，共166页，编辑于2022年，星期三二维随机过程的数字特征二维随机过程的数字特征互相关函数互相关函数定义设定义设是二维是二维S.P.,对对是两个是两个r.v.为的的互相互相关函数关函数存在存在，记为记为则称则称如果如果第62页，共166页，编辑于2022年，星期三互协方差函数互协方差函数关系关系如果如果存在，记为存在，记为则称则称为为的的互协方差函数互协方差函数第63页，共166页，编辑于2022年，星期三和和是两个是两个S.P.，

29、如果，如果或或则称则称定义定义 设设和和不相关不相关第64页，共166页，编辑于2022年，星期三66复随机过程复随机过程 定义设定义设和和是定义在同一是定义在同一概率空间上的两个实随机过程，令概率空间上的两个实随机过程，令则称则称为复随机过程为复随机过程第65页，共166页，编辑于2022年，星期三1 均值函数均值函数则则 方差函数方差函数则则定义设定义设为复随机过程为复随机过程的均值函数的均值函数为复随机过程为复随机过程为复随机过程为复随机过程的方差函数的方差函数第66页，共166页，编辑于2022年，星期三（自）协方差函数（自）协方差函数则则为随机过程为随机过程（自）相关函数（自）相关函

30、数则则为随机过程为随机过程的自协方差函数的自协方差函数的自相关函数的自相关函数第67页，共166页，编辑于2022年，星期三均方值函数均方值函数则则为随机过程为随机过程的均方值函数的均方值函数第68页，共166页，编辑于2022年，星期三复随机过程数字特征之间的关系：复随机过程数字特征之间的关系：第69页，共166页，编辑于2022年，星期三定义设定义设和和是两个复是两个复S.P.，称，称为为和和的互协方差函数的互协方差函数.称称为为和和的互相关函数的互相关函数第70页，共166页，编辑于2022年，星期三例例2.14设设，其中是正常数，其中是正常数，为固定的正整数，是相互独立的随为固定的正整

31、数，是相互独立的随机变量，且机变量，且，求的均值函数与相关函数求的均值函数与相关函数第71页，共166页，编辑于2022年，星期三第72页，共166页，编辑于2022年，星期三 例例2.15已知已知实随机过程实随机过程X(t)具有自相关函数具有自相关函数RX(s,t),令令 Y(t)=X(t+a)X(t)求求RY(s,t).第73页，共166页，编辑于2022年，星期三取取s=t,则有则有 解解 先求出先求出X(t)与与Y(t)的互相关函数的互相关函数将将(1)式代入式代入(2)式式,得得第74页，共166页，编辑于2022年，星期三七七 几类重要的随机过程几类重要的随机过程之前按照参数和状态

32、对随机过程进行了简单的分类之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类.随机过程可以按照不同的标准进行分类随机过程可以按照不同的标准进行分类.本讲按照随机过程所具有的一些性质本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要介绍几类重要的随机过程的随机过程:二阶矩过程二阶矩过程 正态过程正态过程 正交增量过程正交增量过程 独立增量过程独立增量过程 Wiener过程过程 Poisson过程过程第75页，共166页，编辑于2022年，星期三7 7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程 1 二阶矩过程二阶矩过程定义定义 设设是随机过程，是随机过程，如果如果则称则称是二阶矩过程是二阶矩过程.第76页，共1

33、66页，编辑于2022年，星期三(1)相关理论相关理论:只考虑只考虑S.P.的均值函数与相的均值函数与相关函数，而不考虑关函数，而不考虑S.P.的有限维分布函数的有限维分布函数的理论的理论(2)二阶矩过程的均值函数和相关函数必然存二阶矩过程的均值函数和相关函数必然存在在说明：说明：第77页，共166页，编辑于2022年，星期三Cauchy-Schwarz不等式不等式第78页，共166页，编辑于2022年，星期三第79页，共166页，编辑于2022年，星期三（1）共轭对称性：）共轭对称性：（2）非负定性：即对）非负定性：即对定理定理 设设是二阶矩过程，则相关是二阶矩过程，则相关函数函数具有以下性

34、质：具有以下性质：和和有：第80页，共166页，编辑于2022年，星期三证明证明第81页，共166页，编辑于2022年，星期三证明证明第82页，共166页，编辑于2022年，星期三第83页，共166页，编辑于2022年，星期三2.正态过程正态过程补充补充:n维正态随机变量分布及性质维正态随机变量分布及性质第84页，共166页，编辑于2022年，星期三第85页，共166页，编辑于2022年，星期三2 正态过程正态过程如如定义定义 设设是一随机过程是一随机过程，果对果对和和是是 n维正态随机变量，则称维正态随机变量，则称为正态过程或高斯过程为正态过程或高斯过程第86页，共166页，编辑于2022年

35、，星期三 2 正态过程是二阶矩过程正态过程是二阶矩过程3 正态过程的有限维分布由它的均值正态过程的有限维分布由它的均值函数和协方差函数完全确定函数和协方差函数完全确定说明说明1 若若是一族正态随机变量是一族正态随机变量,但但不一定是正态过程不一定是正态过程.第87页，共166页，编辑于2022年，星期三4正态过程在随机过程的重要性，正态过程在随机过程的重要性，类似于正态随机变量在概率论中的类似于正态随机变量在概率论中的地位地位第88页，共166页，编辑于2022年，星期三例2.16设，其中相互独立，且都服从正态分布 是正态过程，并求它的有限维分布是正态过程，并求它的有限维分布的随机变量，的随机

36、变量，是常数是常数.试证明试证明第89页，共166页，编辑于2022年，星期三3 正交增量过程正交增量过程定义定义设设是二阶矩过程，如果对是二阶矩过程，如果对任意的任意的有有则称则称为一正交增量过程为一正交增量过程.第90页，共166页，编辑于2022年，星期三注：注：若若T取为有限区间取为有限区间则对则对有有特别的，当特别的，当时，有时，有第91页，共166页，编辑于2022年，星期三 性质性质是单调不减函数是单调不减函数.设设是正交增量过程，是正交增量过程，且且则则第92页，共166页，编辑于2022年，星期三4 独立增量过程（独立增量过程（I.I.p.)定义定义设设是一随机过程，如果对是

37、一随机过程，如果对和和是相互独立的随机变量，则称是相互独立的随机变量，则称是独立增量过程是独立增量过程第93页，共166页，编辑于2022年，星期三如果对于如果对于 的分布仅依赖的分布仅依赖于于而与而与本身取值无关，则称本身取值无关，则称为平稳增量过程为平稳增量过程如果如果 既是平稳增量过程，既是平稳增量过程，则称则称为平稳的为平稳的独立增量过程独立增量过程独立增量过程，独立增量过程，又是又是第94页，共166页，编辑于2022年，星期三 性质性质定理定理 独立增量过程的有限维分布函独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确数由其一维分布函数和增量分布函数确定定 第95页，共

38、166页，编辑于2022年，星期三 证明思路证明思路 由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应.只需证只需证 独立增量过程的有限维独立增量过程的有限维特征函数特征函数由其一维特征由其一维特征 函数和增量特征函数确定函数和增量特征函数确定第96页，共166页，编辑于2022年，星期三的特征函数的特征函数作变换作变换证明证明：第97页，共166页，编辑于2022年，星期三则则相互独立，且相互独立，且于是于是第98页，共166页，编辑于2022年，星期三第99页，共166页，编辑于2022年，星期三第100页，共166页，编辑于2022年，星期三不相重叠的时间

39、区间上随机过程增量的统计相不相重叠的时间区间上随机过程增量的统计相依性来定义的，前者增量是互不相关，后者增依性来定义的，前者增量是互不相关，后者增量是相互独立量是相互独立关系关系正交增量过程不是独立增量过程，而独立增正交增量过程不是独立增量过程，而独立增量过程只要有二阶矩存在，且均值函数恒为量过程只要有二阶矩存在，且均值函数恒为零的条件下是正交增量过程零的条件下是正交增量过程正交增量过程与独立增量过程都是正交增量过程与独立增量过程都是根据根据注注第101页，共166页，编辑于2022年，星期三Wiener过程过程 定义定义是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程称实随机过程称实随机过程是参数为

40、是参数为的的Wiener过程，如果过程，如果第102页，共166页，编辑于2022年，星期三定理定理设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则则证明证明(1)由定义由定义,显然成立显然成立.(2)由由(1)易知有易知有第103页，共166页，编辑于2022年，星期三对对s0,0,t 0,0,不妨设不妨设 st,t,则则独立性第104页，共166页，编辑于2022年，星期三定理二定理二Wiener过程是正态过程过程是正态过程第105页，共166页，编辑于2022年，星期三证明证明设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则对任意的则对任意的n1,1,

41、以及任意的以及任意的W(t1),W(t2),W(tn)是是n维随机变量维随机变量由由Wiener过程的定义知过程的定义知相互独立相互独立所以所以是是n维正态随机变量维正态随机变量.第106页，共166页，编辑于2022年，星期三又由于又由于所以所以是是n维正态变量维正态变量.所以所以W(t),t0是正态过程是正态过程.第107页，共166页，编辑于2022年，星期三6 6、PoissonPoisson过程过程交通中事故流；交通中事故流；定义：定义：如果如果 表示直到表示直到t t时刻为止发生的随机事件数时刻为止发生的随机事件数,称称实随机过程实随机过程 是计数过程是计数过程(Counting

42、process)(Counting process)。在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题计数问题如：如：电话交换机上的呼唤流；电话交换机上的呼唤流；编码（密码）中的误码流；编码（密码）中的误码流；均构成以时间顺序出现的事件流均构成以时间顺序出现的事件流A A1 1,A,A2 2,第108页，共166页，编辑于2022年，星期三计数过程应满足：计数过程应满足：(1)(1)(2)(2)是非负整数是非负整数(3)(3)(4)(4)表示时间间隔表示时间间

43、隔 发生的随发生的随机事件数机事件数)t)s一类很重要的计数过程是一类很重要的计数过程是PoissonPoisson过程过程.第109页，共166页，编辑于2022年，星期三(2)Poisson(2)Poisson过程过程是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程服从参数是服从参数是分布，即分布，即的的PoissonPoisson定义：定义：称计数过程称计数过程 是参数（强度，比率）为是参数（强度，比率）为 的的PoissonPoisson过程，如果过程，如果第110页，共166页，编辑于2022年，星期三性质性质:设设 是参数为是参数为 的的PoissonPoisson过过程，则程，则第111

44、页，共166页，编辑于2022年，星期三称称为为事件的到事件的到达率达率是单位时间内事件出现的平均次数是单位时间内事件出现的平均次数.因泊松过程因泊松过程N(t),t0)是平稳独立增量过程，是平稳独立增量过程，不妨设不妨设 t s 0 R(s,t)=EN(t)N(s)=EN(s)N(t)N(s)+N(s)N(t)P(t).证：证：第112页，共166页，编辑于2022年，星期三=EN(s)N(t)N(s)+E N2(s)=EN(s)EN(t)N(s)+E N2(s)C(s,t)=min(s,t)R(s,t)=min(s,t)+2st.一般地有一般地有第113页，共166页，编辑于2022年，星

45、期三平稳性平稳性由定义由定义第114页，共166页，编辑于2022年，星期三Poisson过程的等价定义过程的等价定义称计数过程称计数过程 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过过程，如果：程，如果：等价性证明见教材等价性证明见教材page55-56第115页，共166页，编辑于2022年，星期三平稳增平稳增量量1o 由条件由条件(2)(4)，得：，得：Po(t+h)=PN(t+h)=0=PN(t)=0,N(t+h)N(t)=0=PN(t)=0 P N(t+h)N(t)=0增量增量独立独立=Po(t)1h+o(h)第116页，共166页，编辑于2022年，星期三2o 当当n1,

46、根据全概率公式有根据全概率公式有 t(t+h第117页，共166页，编辑于2022年，星期三两边同乘以两边同乘以et 后移项整理得后移项整理得 当当n=1,则则第118页，共166页，编辑于2022年，星期三代入代入(2)式有式有第119页，共166页，编辑于2022年，星期三利用初始条件利用初始条件 对一切对一切n0均成立均成立.定理证明反之亦然定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：得泊松过程的等价定义：定义定义2设计数过程设计数过程 N(t),t0 满足下述条件：满足下述条件：(1)N(0)=0；(2)N(t)是独立增量过程是独立增量过程；第120页，共166页，编辑于2022年，星期三

47、(3)对一切对一切0st,N(t)N(s)P(ts),即即注注特别有特别有第121页，共166页，编辑于2022年，星期三 例例2.17 设设N(t),t0)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程,事件事件A在在(0,)时间区间内出现时间区间内出现n次，试求次，试求:PN(s)=k N()=n,0kn,0s0,求求X(t)的均值函数的均值函数和相关函数和相关函数.2)证明证明 X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为是强度为1+2的泊松过程的泊松过程.3)证明证明 X(t)=N1(t)N2(t)，t0,不是泊松过程不是泊松过程.例例2.18 设设N1(t)和和N2(t)分别分别是强度为是

48、强度为1和和2的相互独立的泊松过程的相互独立的泊松过程,第124页，共166页，编辑于2022年，星期三第125页，共166页，编辑于2022年，星期三 2)根据泊松分布的可加性知根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)X(t)=N1(t)N2(t)的特征函数为的特征函数为独立和的特独立和的特征函数征函数 由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知定理知X(t)不是泊松过程不是泊松过程.是强度为是强度为1+2的泊松过程的泊松过程.第126页，共166页，编辑于2022年，星期三Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分过程的到

49、达时间与到达时间间隔分布布设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，过程，则则N(t)表示时间区间表示时间区间0,t)内到达的随机点数内到达的随机点数.到达时间到达时间(序列序列)表示第表示第i个随机点的到达时刻个随机点的到达时刻,则称则称为Poisson过程的过程的到达时间序列到达时间序列.第127页，共166页，编辑于2022年，星期三到达时间间隔到达时间间隔(序列序列)它表示第它表示第n-1个随机点与第个随机点与第n个个随机点的到达时间间隔随机点的到达时间间隔,则称则称为为Poisson过程的过程的到达时间间隔到达时间间隔(序列序列)第128页，共166页，编辑于2

50、022年，星期三显然有关于关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论有以下结论第129页，共166页，编辑于2022年，星期三定理定理 (到达时间间隔分布到达时间间隔分布)设设N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程，过程，是其到达时间间隔序列，则是其到达时间间隔序列，则是相互独立同服从参数为是相互独立同服从参数为的指数分布的指数分布证明证明独立性独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程所以相互独立.第130页，共166页，编辑于2022年，星期三下证同分布下证同分布T1,T2的独立性的独立性平稳性平稳性第131页，共166页