用正交变换化二次型为标准形.pptx

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1、会计学1用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：(1)写出二次型的矩阵形式；写出二次型的矩阵形式；(2)求出求出A的全部特征值的全部特征值1,2,，n；(3)对每一个特征值对每一个特征值i,解方程解方程(i E-A)X=0,求出基础解系，求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一将所有经过正交化标准化的特征向量作为列

2、向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为，所求的正交变换为 XPY；(5)所求二次型的标准形为所求二次型的标准形为下页第1页/共12页例例1.1.用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形解解:二次型的二次型的 f 系数矩阵为系数矩阵为矩阵的特征方程为：矩阵的特征方程为：解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7下页第2页/共12页对于对于1 1=-2=-2，解方程组，解方程组 (-2E-A-2E-A)X X=0=0(7E-A)X=0得基础解系得基础解系将其正交化得将其正交化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得解

3、得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7得基础解系得基础解系例例1.1.用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形下页第3页/共12页 令则通过正交变换则通过正交变换例例1.1.用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形下页第4页/共12页例例2.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P解：解：f 的矩阵的矩阵A及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为由已知条件得由已知条件得即即 4(9-a2)=32解得解得 a=1,a=-1(舍去舍去)由由A相似于对角阵相似于对角阵，得，得

4、A的的 特征值为特征值为 1 1=2=2，2 2=3 3=4=4对于对于1 1=2=2，解方程组，解方程组 (2E-A)X=0得基础解系得基础解系下页故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A第5页/共12页把把单位化，得对应于单位化，得对应于1 1=2=2的单位特征向量的单位特征向量对于对于2 2=3 3=4=4，解方程组，解方程组 (4E-A4E-A)X X=0=0（注意求基础解系的过程）（注意求基础解系的过程）4E-A 4-4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0-11 01 -100 00 0100-1例例2.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X

5、=PY化为标准形化为标准形求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P下页第6页/共12页4E-A 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1 0 0 0 0-11 01 -100 01 00-10000 00 0100-1得得(4E-A)X 0 的一般解为的一般解为 x2 0 x1+x3其基础解系为其基础解系为例例2.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P下页第7页/共12页所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为例例2.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵P下页得

6、得(4E-A)X o的一般解为的一般解为 x2 0 x1+x3其基础解系为其基础解系为00 01 00-100第8页/共12页例例3.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形，求a,b的值及正交变换矩阵及正交变换矩阵P解：解：f 的矩阵的矩阵A及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为 由由A相似于对角阵相似于对角阵，得的，得的 特征值为特征值为 1 1=0=0，2 2=1,=1,3 3=4=4对于对于1 1=0=0，解方程组，解方程组 (0E-A)X=0得基础解系得基础解系下页由已知条件得由已知条件得故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A Tr(A)=Tr()解得解得即即第9页/共12页把把单位化，得对应于单位化，得对应于1 1=0=0的单位特征向量的单位特征向量类似可得对应于类似可得对应于=的单位的单位特征向量为特征向量为对应于对应于=的单位特征向量为的单位特征向量为所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为例例3.已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形，求，求a,b的值的值及正交变换矩阵及正交变换矩阵P下页第10页/共12页 作业作业：176页页 16(1)17(1)(2)19结束第11页/共12页