应用随机过程 .pptx

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1、 教材教材 应用随机过程应用随机过程 主要教学参考书主要教学参考书 张波张波 张景肖张景肖 编编 中国人民大学 出版社1第1页/共60页参考书参考书1.1.应用随机过程应用随机过程林元烈林元烈 编著编著 清华大学出版社清华大学出版社 2.随机过程及应用随机过程及应用陈良均陈良均 朱庆棠朱庆棠 编著编著 高等教育出版社高等教育出版社2第2页/共60页课程导引为什么会有随机过程这门课程？哲学观点：世界是运动和变化的世界变化现象确定性现象非确定性现象混沌现象过去现在将来被时间参数t唯一(精确)确定，写成数学函数y=f(t)可由时间参数t精确记录，但不是唯一确定的不可精确预测过去现在将来非确定性现象随

2、机现象概率论研究对象 但概率论在研究随机现象时，没有考虑时间要素，或只考虑一个静态时间点的随机现象，重点是随机性(随机机理)的规律认识。而绝大多数随机现象，是随时间因素动态变化的，即：每个不同时刻，其随机性规律有本质变化，由此产生随机过程的相关理论(1930年代建立起来)。随机过程应用领域：信号处理、算法、生物、经济、气象、控制、3第3页/共60页随机过程-简介 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此xn,n=1,2,便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客

3、数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。4第4页/共60页随机过程-研究历史 一些特殊的随机过程早已引

4、起注意 例如1907年前后，.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法；三年后，.辛钦发表了平稳过程的相关理论。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。195

5、1年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。5第5页/共60页随机过程-研究方法 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一类是分析方法，工具是测度论、微分方

6、程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物

7、中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。6第6页/共60页 第第1 1章章 预备知识预备知识1.1 概率空间 在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象，大体上分为两类：象，大体上分为两类：必然现象和随机现象必然现象和随机现象。具有随机性的现象具有随机性的现象随机现象随机现象对随机现象的观察或为观察而进行的实验对随机现象的观察或为观察而进行的实验随机试验随机试验随机试验的结果随机试验的结果 基本事件或样本点。所有可能的结果称为所有可能的结果称为样本空间样本空间。A称为事件称为事件。（有

8、（有3个特征）个特征）7第7页/共60页事件的性质事件的性质 假设假设A,B,C是任意事件，则他们满足：是任意事件，则他们满足：(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律(4)对偶原则对偶原则 (De Morgan律律)8第8页/共60页定义定义1.1 9第9页/共60页性质性质 假假10第10页/共60页例例1.1例例1.2例例1.311第11页/共60页随机试验随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，掷一枚骰子，观察出现的点数，思考题：思考题：12第12页/共60页定义定义1.213第13页/共60页定义定义1.314第14页/共60页概率的基本性质概率的基本性质单调性单调性次可

9、列可加性次可列可加性15第15页/共60页事件列极限事件列极限1：结论：16第16页/共60页定理：具体情况：17第17页/共60页事件列极限事件列极限2：定义定义1.4 的下极限的下极限 的上极限的上极限18第18页/共60页关系：关系：含义：含义：19第19页/共60页例例1.2：20第20页/共60页1.2 随机变量和分布函数随机变量和分布函数随机变量：用实数来表示随机实验的各种结果.定义定义1.5关于随机变量的几点说明：21第21页/共60页22第22页/共60页定义定义1.6分布函数的含义：分布函数的含义：分布函数分布函数 的性质：的性质：23第23页/共60页随机变量的类型：随机变

10、量的类型：离散型：离散型：连续型：连续型：多维随机变量：多维随机变量：d维随机向量维随机向量24第24页/共60页多维随机变量联合分布函数：多维随机变量联合分布函数：性质：性质：25第25页/共60页一些常见的分布：一些常见的分布：1.离散均匀分布：离散均匀分布：分布列：分布列：2.二项分布：二项分布：分布列：分布列：3.几何分布：几何分布：分布列：分布列：26第26页/共60页4.Poisson分布：分布：分布列：分布列：_参数为参数为 的的 Poisson分布分布5.均匀分布：均匀分布：6.正态分布：正态分布：27第27页/共60页7.分布：分布：函数的性质：函数的性质：28第28页/共6

11、0页8.指数分布：指数分布：9.分布：分布：10.d维正态分布：（略）维正态分布：（略）29第29页/共60页1.3 数字特征、矩母函数与特征函数数字特征、矩母函数与特征函数一、数字特征一、数字特征定义定义1.7：X的一阶矩的一阶矩30第30页/共60页31第31页/共60页二、二、Rieman-Stieltjes 积分积分Rieman-Stieltjes 积分：积分：32第32页/共60页注：注：33第33页/共60页R-S 积分性质：积分性质：可加性可加性注：注：34第34页/共60页35第35页/共60页三、矩母函数与特征函数三、矩母函数与特征函数1.矩母函数矩母函数（moment ge

12、nerating function)定义定义1.8：36第36页/共60页矩母函数的性质：矩母函数的性质：37第37页/共60页2.特征函数特征函数（characteristic function)复随机变量复随机变量 定义定义1.10：复随机变量的数学期望复随机变量的数学期望38第38页/共60页特征函数的性质：特征函数的性质：有界性有界性共轭对称性共轭对称性39第39页/共60页40第40页/共60页1.4 条件概率条件概率 条件期望条件期望 独立性独立性一、条件概率一、条件概率1.定义：定义：1.基本公式基本公式定理定理1:(乘法公式乘法公式)41第41页/共60页定理定理2:(全概率公

13、式全概率公式)定理定理3:(Bayes公式公式)42第42页/共60页二、独立性二、独立性1.定义：定义：43第43页/共60页2.独立性的性质：独立性的性质：定理定理4：推论推论1：推论推论2：44第44页/共60页定理定理5：45第45页/共60页定理定理6：46第46页/共60页四、条件期望四、条件期望1.边缘分布边缘分布称称X,Y独立独立.47第47页/共60页48第48页/共60页2.条件分布函数条件分布函数49第49页/共60页3.条件数学期望条件数学期望异同：异同：50第50页/共60页51第51页/共60页52第52页/共60页定义：定义：53第53页/共60页五、独立随机变量和的分布五、独立随机变量和的分布卷积公式卷积公式 称为称为 的卷积的卷积54第54页/共60页注：注：结合律结合律分配律分配律55第55页/共60页56第56页/共60页57第57页/共60页58第58页/共60页59第59页/共60页60感谢您的观看！第60页/共60页