线性代数特征值和特征向量.pptx
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1、会计学1线性代数特征值和特征向量线性代数特征值和特征向量如果A是奇异矩阵(|A|=0),则齐次线性方程组AxAx=0 0有非零解,若记 为AxAx=0 0的非零解,则有可见,0=0为奇异矩阵A A的特征值,方程组AxAx=0 0的非零解都是A A的属于特征值0=0的特征向量.A A=0 0=0 一般地,由A A=0 可得 (0E E A A)=0 0可见,是n元齐次线性方程组 (0E E A A)x x=0 0的非零解.所以有|0E E A A|=0.第1页/共36页定义定义6.26.2 设A A是n阶方阵,是参数,则行列式 称为方阵A A的特征多项式.称det(E E A A)=0为方阵A
2、A的特特征方程征方程.A A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A A有n个特征值.A A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组 (E E A A)x x=0 0的所有非零解.第2页/共36页的特征值和特征向量.解解 A A的特征多项式为=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3)所以A A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A A)x=0 x=0,由于例例1 1 求矩阵第3页/共36页所以k 1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量.对3=3,解方程(3E-A)x=0E-A)x=0,由于得同解方程:,基础解系为 2=(-1,1,1)T.所以k 2(k0)是属于3=3的全
3、部特征向量.,基础解系为 1=(0,0,1)T.得同解方程:第4页/共36页的特征值和特征向量.解解 A A的特征多项式为=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3)所以A A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-AE-A)x=0 x=0,由于例例2 2 求矩阵第5页/共36页所以属于1=2=1的全部特征向量为 K1 1+k2 2 (k1,k2 不同时为0)对3=3,解方程(A A-3E)x=0E)x=0,由于得同解方程:,基础解系为 3=(1,-1,1)T.所以k 3(k0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系 1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:第6
4、页/共36页 设方阵A A可逆,且是A A的特征值,证明1/是A A-1的特征值.例例例例3 3 3 3 证证 首先证明0.用反证法:假设=0是A A的特征值,则再设 是A A对应特征值的特征向量,则 A A=所以1/是A A-1的特征值,而且与A A有相同的特征向量.类似地,若是A A的特征值,则k是A Ak的特征值.0E E-A A=-A A=0,这与A A可逆矛盾,故0.一般地,若是A A的特征值,则()=a0+a1+amm是(A A)=a0E E+a1A A+amA Am的特征值.A A-1-1=-1 第7页/共36页二二二二.特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质特征值和特征向
5、量的性质特征值和特征向量的性质由于 =n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|利用多项式方程根与系数的关系可得:定理定理6.16.1 设1,2,n是n阶方阵A 的全部特征值,则 1+2+n=a11+a22+ann 12n=detA A第8页/共36页定理定理6.26.2 设1,2,s是方阵A的互异特征值,1,2,s是分别属于它们的特征向量,那么 1,2,s线性无关.证明证明 设 x1 1+x2 2+xs s=0,0,则 类似地有:A A(x1 1+x2 2+xs s)=0 0,即 1x1 1+2x2 2+sxs s=0 0 1kx1 1+2kx2 2+skxs s=0 0 (k=
6、0,1,s-1),即第9页/共36页所以有 (x1 1,x2 2,xs s)=(0 0,0 0,0 0)定理定理6.36.3 设1,2是A 的两个互异特征值,1,2,s和 1,2,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,则 1,2,s,1,2,t线性无关.即,xj j=0 0,但 j0 0,故xj=0,(j=1,2,s)所以向量组 1,2,s线性无关.证明证明 设k1 1+k2 2+ks s+l1 1+l2 2+lt t=0 0若=k1 1+k2 2+ks s 0 0,=l1 1+l2 2+lt t0 0则由+=0 0,而,分别是属于1,2的特征向量,矛盾.所以=0 0,即k1=k2=ks=l
7、1=l2=lt=0,线性无关.第10页/共36页例例例例4 4 4 4解解 由于A A的特征值都不为0,故A A可逆.而|A|=-2于是 A A*=A AA A-1=-2A A-1.于是 设3阶方阵A A的特征值为1,-1,2,求|A A*+3A A-2E E|.A A*+3A A-2E=E=-2A A-1+3A A-2E=E=(A A)(A A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3,于是|A A*+3A A-2E E|=|(A A)|=(-1)(-3)3=9第11页/共36页 2 2 2 2 相相相相 似似似似 矩矩矩矩 阵阵阵阵定义定义6.3 6.3 设A A,B B都
8、是n阶方阵,若存在可逆矩阵P P,使 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质矩阵的相似关系具有下述性质矩阵的相似关系具有下述性质:()反身性:AA;()对称性:若A AB B,则B BA A;()传递性:若A AB B,B BC C,则A AC C.P P-1APAP=B B 则称B B是A A的相似矩阵相似矩阵,或说矩阵 A A与B B相似相似.P P-1APAP=B B称为对A A进行相似变换相似变换,可逆矩阵P P称为把A A 变成B B的相似变换矩阵相似变换矩阵.A A与B B相似记作A AB B.第12页/共36页定理定理6.4 6.4 相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相
9、同的特征值.证证 若矩阵A A与B B相似,则存在矩阵P P,使P P-1APAP=B B,故注意注意:定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵 E E-B B=P P-1(E E)P-PP-P-1APAP=P P-1(E E-A A)P P =P P-1E E-A AP P=E E-A A 的特征多项式都是(-1)2,但它们不相似.第13页/共36页二二二二.与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件假设n阶方阵A与对角矩阵相似.也就是存在可逆矩阵P P,使得 P P-1APAP=即 AP AP=P P 记P P=(1,2,n),则有 (A A 1,A A 2
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- 关 键 词:
- 线性代数 特征值 特征向量
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