第5章 方阵的特征值与特征向量精选PPT.ppt

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1、第第5章章 方阵的特征值方阵的特征值与特征向量与特征向量第1页，本讲稿共50页5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量主要内容主要内容:一一.特征值特征向量的定义特征值特征向量的定义二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质2第2页，本讲稿共50页引言引言引言引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：工程技术中的振动问题和稳定性问题工程技术中的振动问题和稳定性问题;经济管理中的主成分分析经济管理中的主成分分析(PCA);(PCA);数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;图像

2、图像(信息信息)处理中的压缩存取处理中的压缩存取.其本质就是其本质就是:对于一个给定的对于一个给定的n n阶矩阵阶矩阵A,A,如果存在的话，如何找？如果存在的话，如何找？3第3页，本讲稿共50页定义定义:设设A是是n阶方阵阶方阵,如果数如果数 和和n维维非零非零非零非零列向量列向量x满满足足则则称称 为为A的的特特特特征征征征值值值值,非非零零向向量量x称称为为A的的对对应应于于(或或属属于于)特征值特征值 的的特征向量特征向量特征向量特征向量。把把(1)改写为改写为使得(2)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.是A的特征值 一一.特征值特征向量的定义特征值特征向量的定义4第

3、4页，本讲稿共50页称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根个根(重根按重数计算重根按重数计算)。因此，因此，n 阶方阵在复数范围内恰有阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值个特征值。本章关于特征值、特。本章关于特征值、特征向量的讨论永远征向量的讨论永远约定约定约定约定在复数范围内在复数范围内.5第5页，本讲稿共50页设 n 阶方阵 特征值为,则又二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质6第6页，本讲稿共50页例1求矩阵 的特征值.两个特征值为两个特征值为问问:特征向量是实的还是复的特征向量

4、是实的还是复的?由定义很容易验证：由定义很容易验证：7第7页，本讲稿共50页例2求 A 的特征值.因此,n 个特征值为问问：对角矩阵：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为多少？下三角矩阵的特征值为多少？8第8页，本讲稿共50页例3求矩阵 A，B 的特征值和所有的特征向量?解 （对于矩阵A）9第9页，本讲稿共50页A 的特征值为对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为10第10页，本讲稿共50页对于 ，解方程组同解方程组为 ，令得基础解系得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为11第11页，本讲稿共50页(对于矩阵B)B 的特征值为的特征值为12第12

5、页，本讲稿共50页对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为13第13页，本讲稿共50页对于 ，解方程组同解方程组为 ，令 ，得基础解系因此，对应于特征值 的所有特征向量为14第14页，本讲稿共50页求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：其非零的通解为对应于其非零的通解为对应于从以上例子可看到：从以上例子可看到：当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无关的特征向量的个数不一定等于重根数关的特征向量的个数不一定等于重根数15第15页，本讲稿共50页回答问题：回答问题：回

6、答问题：回答问题：(1)向量 满足 ,是 A 的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值实矩阵的特征值(特征向量特征向量)一定是实的一定是实的吗吗?(3)矩阵矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值可逆的充要条件是所有特征值_。，A 有一个特征值为_。(4)，A 有一个特征值为_。可逆,A 的特征值一定不等于_。(5)A 的特征值与 的特征值有什么关系？不是不是不一定不一定全不为零全不为零相等相等16第16页，本讲稿共50页(6)一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值一个特征向量对应几个特征值?(7)A 的各行元素之和均等于的各行元素之和均等于2,则则 A 有

7、一个特征值有一个特征值是是_,它对应的特征向量是它对应的特征向量是_。特征向量的个数特征向量的个数=_。是 的一个特征值，它对应的最大无关的只对应一个只对应一个217第17页，本讲稿共50页例5设 是方阵 A 的特征值,对应的一个特征向量证明证明(1)是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(2)是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。(3)当 A 可逆时，是 的特征值，对应的特征向量仍为特征向量仍为 x。证证18第18页，本讲稿共50页推广推广推广推广：设 是方阵 A 的特征值，则 是 的特征值。的特征值。如果 A 可逆，则的特征值。的特征值。是是是是思考：思考：19第19页，本讲稿共50

8、页例6设3阶矩阵A的三个特征值为求解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为零，故A可逆。可逆。的三个特征值为计算得因此，20第20页，本讲稿共50页定理定理设是方阵是方阵A的的m个特征值个特征值,依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量,证明证明:两边左乘两边左乘A得得:设为设为C21第21页，本讲稿共50页证明A的特征值只能取1或2.设 是A的特征值，则的特征值为的特征值为由于 是零矩阵，其特征值全是零，故证证证证例例7所以所以书书165引理引理22第22页，本讲稿共50页小结小结:主要介绍了特征值与特征向量的定义主要介绍了特征值与特征向量的定义;如何求特征值与特征向量如何求特征值

9、与特征向量;特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质.23第23页，本讲稿共50页作业:24第24页，本讲稿共50页第五章第五章方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例应用举例应用举例第25页，本讲稿共50页5.2 相似矩阵相似矩阵矩阵的相似关系可简化矩阵的计算矩阵的相似关系可简化矩阵的计算,简化线性微分简化线性微分

10、方程组方程组,不仅在理论中起重要作用不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛在实践中也有广泛的应用的应用.主要内容主要内容:一一.矩阵相似的定义矩阵相似的定义二二.相似矩阵的性质相似矩阵的性质三三.矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件26第26页，本讲稿共50页5.2 相似矩阵相似矩阵设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵P，使，使则称则称B是是A的相似矩阵，或说矩阵的相似矩阵，或说矩阵A A与与与与B B相似相似相似相似。对。对A进行进行运算运算 称为对称为对A进行进行相似变换相似变换相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的相似变换矩阵。

11、的相似变换矩阵。定义定义定义定义 特别地，如果特别地，如果A与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称A是是可对可对可对可对角化的角化的角化的角化的。一一.相似矩阵的定义相似矩阵的定义27第27页，本讲稿共50页二二.相似矩阵的性质相似矩阵的性质(1)相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系;(2)A与与B相似相似,则则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则 ;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则 ;(6)A与B相似,则 与 相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则 与 相似。(5)A与B相似,则 ;28第28页，本讲稿共50页例1(1)与相似，求求x与与y和和A的特征值。的特征

12、值。(2)与相似，求求a与与b。解解 (1)A的特征值等于B的特征值为：29第29页，本讲稿共50页(2)30第30页，本讲稿共50页三.矩阵可对角化的充要条件 说明说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是个线性无关的特征向量，就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。定理定理定理定理n阶矩阵阶矩阵A可对可对角化的充要条件角化的充要条件是是A有有n个线性个线性无关的特征向量。无关的特征向量。31第31

13、页，本讲稿共50页 n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则它有个不同的特征值，则它有 n 个个线性无关的特征向量，从而线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。一定可对角化。推论推论推论推论于是对于矩阵是否可以对角化于是对于矩阵是否可以对角化,判断如下判断如下:2.如果所有的特征值都是单根如果所有的特征值都是单根,则则A一定能对角化一定能对角化3.如果如果A的特征值有重根的特征值有重根,的基础解系的基础解系,如果基础解系所含向量如果基础解系所含向量则则A可以对角化可以对角化,且有这些基且有这些基础解系排成的矩阵为相似变换矩阵础解系排成的矩阵为相似变换矩阵.32第32页，本讲稿

14、共50页例1线性无关，由上面定理，求特征值求特征值 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，即求 的基础解系判断A是否可对角化如果可以并求相似变换矩阵.解:令所以所以A可以对角化可以对角化.33第33页，本讲稿共50页定理定理定理定理 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。特征值的代数重数等于它的几何重数。即即:设设互不同，此时则则 A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是亦即:的重数 恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。向量的个数。简称简称:几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量几重特征

15、值有几个线性无关的特征向量几重特征值有几个线性无关的特征向量.34第34页，本讲稿共50页例2问 x 为何值时，A 可对角化？是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论)。是二重根，A可对角化35第35页，本讲稿共50页例3可对角化可对角化,则则x,y应满足的条件是应满足的条件是解解:36第36页，本讲稿共50页例3设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为,其对应的特征向量分别为其对应的特征向量分别为:解解:37第37页，本讲稿共50页小结小结:介绍了相似矩阵介绍了相似矩阵;相似矩阵的性质相似矩阵的性质矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件.38第38页，本讲稿共50页作业:39第39页，本讲

16、稿共50页第五章第五章方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.3 5.3 实实实实对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.4 5.4 应用举例应用举例应用举例应用举例第40页，本讲稿共50页5.3 (实实)对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化性质性质性质性质2 2实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.性质性质性质性质1 1实对称矩阵的特征值必为实数。实对称矩阵的特征值

17、必为实数。(证明自学证明自学)从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。证证41第41页，本讲稿共50页定理定理定理定理实对称矩阵必可正交对角化。实对称矩阵必可正交对角化。即设即设A是对称矩阵是对称矩阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q使得使得推论推论推论推论实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.即等于其对应的最大无关特征向量的个数。即等于其对应的最大无关特征向量的个数。即即42第42页，本讲稿共50页例1把对称矩阵 正交对角化。第第第第1 1步步步步:求特征值。求特征值。(特征值必都是实数特征值必都是实数)43第43页，本讲稿共50页第第第第2 2

18、步步步步:求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。对 ，解方程组求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)44第44页，本讲稿共50页对 ，解方程组求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量)前面的45第45页，本讲稿共50页第第第第3 3步步步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交检验重特征值对应的特征向量是否正交,如果不如果不 正交正交,用施密特过程正交化用施密特过程正交化,再把正交的特征向再把正交的特征向量量 单位化。单位化。46第46页，本讲稿共50页第第第第4 4步步步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：则令47第47页，本讲稿共50页例2设3阶对称矩阵A的特征值为与特征值 对应的特征向量为求A。设对应于 的无关特征向量为则说明是方程组的基础解系的基础解系,因此上面方程组的任意基础解系都是因此上面方程组的任意基础解系都是对应于 的特征向量。解(1)可求得48第48页，本讲稿共50页小结小结:介绍了实对称矩阵特征值与特征向量的性质介绍了实对称矩阵特征值与特征向量的性质;实对称矩阵对角化的方法与步骤实对称矩阵对角化的方法与步骤.49第49页，本讲稿共50页作业50第50页，本讲稿共50页