线性代数线性方程组续.pptx

《线性代数线性方程组续.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数线性方程组续.pptx（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、会计学1线性代数线性方程组续线性代数线性方程组续2一、复一、复习习第四节 线性方程组的解的结构1.系数矩阵是方阵的线性方程组设 为方阵，若 ，则线性方程组 有惟一解.2.系数矩阵是一般矩阵的线性方程组（克莱默法则）个未知数的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 .个未知数的非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩；且当 时方程组有惟一解，当 时方程组有无限多个解.第1页/共41页3二、齐次线性方程组的二、齐次线性方程组的解的构造解的构造1.齐次线性方程组的解的性质性质1 若 为 的解，则 也是 的解.证因为 为 的解，所以因而即 满足方程 .第2页/共41页

2、4性质2 若 为 的解，为实数，则也是 的解.证因而因为 为 的解，所以即 满足方程 .第3页/共41页52.齐次线性方程组的解空间 设齐次线性方程组 的所有解组成的集合为 ，显然 非空，根据性质1知，对于加法封闭，根据性质2知，对于数乘封闭，所以 是一个向量空间，称为的解空间.第4页/共41页63.基础解系定义 齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系.换句话说，齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.第5页/共41页74.齐次线性方程组的解的构造 根据最大无关组的定义或基的定义知，由齐次线性方程组的基础解系，就可以构造齐次线性方程组的通解表示式：设齐

3、次线性方程组 的基础解系为则方程组 的通解为第6页/共41页8三、基础解系的求法三、基础解系的求法 设个未知数的方程组 的系数矩阵 的秩 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关，则 的行最简形矩阵 为如果非零首元不在 前，有类似结论，只是非自由未知数不同第7页/共41页9方法一（先求同解再求基础解系）：选取 作为自由未知数，并令它们依次等于 ，得第8页/共41页10即第9页/共41页11写成向量形式为记作第10页/共41页12可知解集 中的任一向量 能由 线又显然可见 线性无关，所以性表示，是解集的最大无关组，即是方程组 的基础解系.方法二（先求基础解系再求通解）：选取 作为自由未知数，令它们分别

4、取下列 组数：第11页/共41页13依次代入方程组可以取其它情形的数组，只要所取的 个数组线性无关即可第12页/共41页14于是所求基础解系为：第13页/共41页15四、解空间的维数与系数四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系矩阵的秩的关系 根据上述求基础解系的过程可得，齐次线性方程组的解集的秩与系数矩阵的关系是：定理7 设 矩阵 的秩 ，则 元齐次线性方程组 的解集的秩注意：当 时，则 的解集的秩 ，即方程组只有零解，此时方程组没有基础解系.当 时，则 的基础解系含有 个向量.第14页/共41页16例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.解 析：此例是最基本的求基础解系与求解齐次方程的训练题.

5、与前面解决同一问题的方法相比较，现在求解此问题时，大致有三个方面的提高：解题思想更具有理论意义；解题手法更加灵活；并赋予它的解集以鲜明的集合意义.第15页/共41页17对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形，于是可得第16页/共41页18选取 为自由未知数，令及代入所得同解方程组，对应有及所以，所求基础解系为方程组的通解为第17页/共41页19说明v上述的解题过程是一个“标准程序”，其中把系 数矩阵化为行最简形也是采用“标准程序”（第 一行第一列的元素是非零首元）.v自由未知数取不同的数组，可以得到不同的基 础解系；若对应的基础解系为第18页/共41页20v用初等行变换化简系数矩阵，若不采用“标

6、准 程序”化为行最简形，而是将系数矩阵的某些 列化为单位坐标向量.这样可以灵活地选取自由未知数，从而得到不同于按“标准程序”得到的基础解系.第19页/共41页21所以基础解系为v由以上说明更加清晰看出，基础解系不是惟一 的，所以通解表达式也不是惟一的.但是基础解 系中所含向量个数是惟一的.第20页/共41页22例2 设 ，证明 .证记 ，则都是方程 的解设 的解集为 ，由 知，即而由定理7知，故第21页/共41页23说明由于当 时，有 ，所以 的解；的行向量都是齐次方程 的解.v此例的结论：当 时，有 着十分广泛的应用.v当 时，的列向量都是齐次方程这里 =矩阵 的列数=矩阵 的行数.第22页

7、/共41页24例3 证明矩阵 与 行向量组等价的充要条件是齐次方程组 与 同解.证 析：讨论两个向量组等价，首先想到定理2的推论，但是推论讲的是两个列向量组等价的充要条件，即矩阵 与 的向量组等价现在讨论的是行向量组，而 与 的行向量组就是 与 的列向量组，因此矩阵 与 的行向量组等价第23页/共41页25必要性：矩阵 与 的行向量组等价，就是方程组 与 可以互推.也就是方程组 与 同解.充分性：方程组 与 同解方程组 、与 同解它们的解集的秩相等它们系数矩阵的秩相等，即矩阵 与 的行向量组等价.第24页/共41页26说明矩阵 与 的行向量组等价，就是方程组 与 可以互推.因此，此例可以该叙为

8、：齐次方程组 与 可互推的充要条件是它们同解.第25页/共41页27例4 证明证 析：此题仍然是运用解空间的维数与系数矩阵的秩的关系证明结论的一道题目.下面证方程组 与 同解：若 满足 ，则有 ，即设 为 矩阵，为 维列向量.若 满足 ，则有即从而推知由以上可知 与 同解，因此第26页/共41页28说明此题的结论对任意实矩阵都是成立的，但对复 矩阵结论不成立.因为对于复列向量 ，不能由 推出复矩阵 ，结论应该为此题的结论是矩阵 的一个重要性质.第27页/共41页29五、非齐次线性方程组五、非齐次线性方程组的解的构造的解的构造1.非齐次线性方程组的解的性质性质3 设 都是 的解，则 是其对应的齐

9、次方程组 的解.证 性质4 设 是方程组 的解，是其对应的齐次方程组 的解，则 仍是的解.证 第28页/共41页302.非齐次线性方程组的解的构造 设 是 的任一解，若已经求得的一个解 ，则 总可以表示为其中 为方程 的解.若 的基础解系为 则反之，对任何实数 上式总是 的解.第29页/共41页31非齐次线性方程组的解 设 ，若 的基础解系为 ，是 一个解（特解），则 的通解为第30页/共41页32注意：非齐次线性方程组 的解集不是向量空间.第31页/共41页33例5 求解方程组解对增广矩阵施行初等行变换：第32页/共41页34可见故方程组有解，且有所以特解为又对应的齐次方程组可化为第33页/

10、共41页35所以对应的齐次方程组的基础解系为于是所求通解为第34页/共41页36例6 已知方程组：的一个基础解系为第35页/共41页37试写出方程组的通解，并说明理由.解 析：此题的目的是运用解空间的维数与系数矩阵的关系求解方程.：把方程组与的系数矩阵分别记为 与 .则此题可叙述为第36页/共41页38“已知方程组 基础解系是 的列向量组，试写出 的通解.”于是可得因而所以 的列向量是 的解，且 的列向量组就是 的基础解系.（由定理7）第37页/共41页39六、小结六、小结v设 元齐次线性方程组 的解集为 ，则解集 的一个最大无关组称为齐次方程组的基础解系.设 ，则 ，知基础解系含 个解向量.设 为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为v设非齐次方程组 的一个解为 ，对应的齐次线性方程组 的基础解系为 ，则 的通解为第38页/共41页40v求解方程组 的“标准程序”：用初等行变换化简增广矩阵；判断方程是否有解，若有解，则将增广矩阵化为行最简形；根据增广矩阵的行最简形求出一个特解；根据系数矩阵的行最简形（将增广矩阵的行最简形的最后列去掉即得），求出对应的齐次方程组的基础解系；写出通解表达式.第39页/共41页41作业：P110 22.(1)(3)23.25.26.27.P111 29.30.31.32.第40页/共41页