线性系统的时域分析2.pptx

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1、会计学1线性系统的时域分析线性系统的时域分析2n n高阶系统高阶系统高阶系统高阶系统：输出信号与输入信号之间关系用高于：输出信号与输入信号之间关系用高于：输出信号与输入信号之间关系用高于：输出信号与输入信号之间关系用高于二阶的常微分方程描述的控制系统；二阶的常微分方程描述的控制系统；二阶的常微分方程描述的控制系统；二阶的常微分方程描述的控制系统；n n严格地说，大多数控制系统都是高阶系统，这些严格地说，大多数控制系统都是高阶系统，这些严格地说，大多数控制系统都是高阶系统，这些严格地说，大多数控制系统都是高阶系统，这些高阶系统往往是由若干高阶系统往往是由若干高阶系统往往是由若干高阶系统往往是由若

2、干惯性子系统惯性子系统惯性子系统惯性子系统（一阶系统）（一阶系统）（一阶系统）（一阶系统）或或或或振荡子系统振荡子系统振荡子系统振荡子系统（二阶系统）所组成；（二阶系统）所组成；（二阶系统）所组成；（二阶系统）所组成；n n在一定条件下，高阶系统可用低阶系统代替；在一定条件下，高阶系统可用低阶系统代替；在一定条件下，高阶系统可用低阶系统代替；在一定条件下，高阶系统可用低阶系统代替；pp由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的，这由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的，这由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的，这由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的，这里只对高阶系统时间响应进行简要的里只对高阶系

3、统时间响应进行简要的里只对高阶系统时间响应进行简要的里只对高阶系统时间响应进行简要的定性说明定性说明定性说明定性说明。引言第1页/共55页1.1.高阶系统闭环传递函数的一般形式高阶系统闭环传递函数的一般形式高阶系统闭环传递函数的一般形式高阶系统闭环传递函数的一般形式 uu设设设设此此此此闭闭闭闭环环环环零零零零、极极极极点点点点分分分分别别别别为为为为z zj j和和和和s si i，假假假假设设设设系系系系统统统统所所所所有有有有零零零零点点点点、极极极极点点点点互互互互不不不不相相相相同同同同、极极极极点点点点都都都都分分分分布布布布在在在在s s左左左左半半半半平平平平面面面面，并并并并

4、且且且且极极极极点点点点有有有有实实实实数数数数极极极极点点点点和和和和复复复复数数数数极极极极点点点点，零零零零点点点点均均均均为实数零点，则上式又可写为为实数零点，则上式又可写为为实数零点，则上式又可写为为实数零点，则上式又可写为第2页/共55页2.2.高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应(零初始条件零初始条件零初始条件零初始条件)当输入当输入当输入当输入单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位阶跃函数时，则有函数时，则有函数时，则有函数时，则有 q q为实极点的个数，为实极点的个数，为实极点的个数，为实极点的个数，r r为复数极点的对数。为复数极点

5、的对数。为复数极点的对数。为复数极点的对数。第3页/共55页对上式求拉氏反变换得对上式求拉氏反变换得对上式求拉氏反变换得对上式求拉氏反变换得 由由由由此此此此可可可可见见见见，单单单单位位位位阶阶阶阶跃跃跃跃函函函函数数数数作作作作用用用用下下下下高高高高阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳态态态态分分分分量量量量为为为为A A0 01 1，瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量是是是是一一一一阶阶阶阶和和和和二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统瞬瞬瞬瞬态分量的合成。态分量的合成。态分量的合成。态分量的合成。第4页/共55页第5页/共55页3.3.高阶系统有如下结论：高阶系统有如下结论：高阶系统有如

6、下结论：高阶系统有如下结论：高高高高阶阶阶阶系系系系统统统统瞬瞬瞬瞬态态态态响响响响应应应应各各各各分分分分量量量量的的的的衰衰衰衰减减减减快快快快慢慢慢慢由由由由指指指指数数数数衰衰衰衰减减减减系系系系数数数数 和和和和 决决决决定定定定。如如如如果果果果某某某某极极极极点点点点远远远远离离离离虚虚虚虚轴轴轴轴（对对对对应应应应的的的的衰衰衰衰减减减减系系系系数数数数大大大大），其其其其相相相相应应应应的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量也也也也比比比比较较较较小，且持续时间也较短。小，且持续时间也较短。小，且持续时间也较短。小，且持续时间也较短。第6页/共55页高高高高阶阶阶阶系系系系

7、统统统统各各各各瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量的的的的系系系系数数数数 、不不不不仅仅仅仅与与与与复复复复平平平平面面面面中极点的位置有关，而且与零点的位置有关。中极点的位置有关，而且与零点的位置有关。中极点的位置有关，而且与零点的位置有关。中极点的位置有关，而且与零点的位置有关。当当当当某某某某极极极极点点点点越越越越靠靠靠靠近近近近某某某某零零零零点点点点而而而而远远远远离离离离其其其其他他他他极极极极点点点点，同同同同时时时时与与与与复复复复平平平平面面面面原原原原点点点点的的的的距距距距离离离离也也也也很很很很远远远远时时时时，相相相相应应应应瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量的系数就

8、越小，该瞬态分量的影响就越小。的系数就越小，该瞬态分量的影响就越小。的系数就越小，该瞬态分量的影响就越小。的系数就越小，该瞬态分量的影响就越小。极极极极端端端端情情情情况况况况下下下下，当当当当 和和和和 重重重重合合合合时时时时（称称称称这这这这对对对对重重重重合合合合的的的的零零零零极极极极点点点点为为为为偶偶偶偶极极极极子子子子），该该该该极极极极点点点点对对对对系系系系统统统统的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态响响响响应几乎没有影响。应几乎没有影响。应几乎没有影响。应几乎没有影响。第7页/共55页对对对对于于于于系系系系数数数数很很很很小小小小的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量，以以以以及

9、及及及远远远远离离离离虚虚虚虚轴轴轴轴的的的的极极极极点点点点对对对对应应应应的的的的快快快快速速速速衰衰衰衰减减减减的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量常常常常可可可可以以以以忽忽忽忽略略略略。于于于于是是是是高高高高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。主主主主导导导导极极极极点点点点：距距距距虚虚虚虚轴轴轴轴最最最最近近近近、实实实实部部部部的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值为为为为其其其其他他他他极极极极点点点点实实实实部部部部绝绝绝绝对对对对值值值值的的

10、的的1/51/51/51/5甚甚甚甚至至至至更更更更小小小小、在在在在其其其其附附附附近近近近没没没没有有有有零零零零点点点点存存存存在在在在的的的的极极极极点点点点称称称称为为为为系系系系统统统统的的的的主主主主导导导导极极极极点点点点。系系系系统统统统的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态响应将主要由此极点左右。响应将主要由此极点左右。响应将主要由此极点左右。响应将主要由此极点左右。第8页/共55页n n高高高高阶阶阶阶系系系系统统统统，如如如如果果果果能能能能够够够够找找找找到到到到主主主主导导导导极极极极点点点点，就就就就可可可可以以以以忽忽忽忽略略略略其其其其它它它它远远远远离离离离虚虚虚虚轴轴轴

11、轴的的的的极极极极点点点点和和和和偶偶偶偶极极极极子子子子的的的的影影影影响响响响，近近近近似似似似为为为为一一一一阶或二阶系统进行处理。阶或二阶系统进行处理。阶或二阶系统进行处理。阶或二阶系统进行处理。n n一一一一般般般般高高高高阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的瞬瞬瞬瞬态态态态响响响响应应应应是是是是有有有有振振振振荡荡荡荡的的的的，因因因因此此此此它它它它的的的的近近近近似似似似低低低低阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的主主主主导导导导极极极极点点点点往往往往往往往往是是是是一一一一对对对对共共共共轭轭轭轭的的的的复复复复数数数数极极极极点点点点,相相相相应应应应的的的的暂暂暂暂态态态态性

12、性性性能能能能指指指指标标标标可可可可由由由由二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统近近近近似似似似估估估估计。计。计。计。第9页/共55页三阶系统二阶系统第10页/共55页3.5 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析引言引言引言引言稳定的基本概念稳定的基本概念稳定的基本概念稳定的基本概念uu零输入响应的稳定性零输入响应的稳定性零输入响应的稳定性零输入响应的稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性uu零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性uu线性定常系统的稳定性线性定常

13、系统的稳定性线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统的稳定性判据线性定常系统的稳定性判据线性定常系统的稳定性判据线性定常系统的稳定性判据第11页/共55页引言引言n n对对对对系系系系统统统统进进进进行行行行各各各各类类类类性性性性能能能能指指指指标标标标的的的的分分分分析析析析必必必必须须须须在在在在系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的前提下进行。的前提下进行。的前提下进行。的前提下进行。n n稳稳稳稳定定定定是是是是控控控控制制制制系系系系统统统统能能能能够够够够正正正正常常常

14、常运运运运行行行行的的的的首首首首要要要要条条条条件件件件。只只只只有有有有稳定系统才有用。稳定系统才有用。稳定系统才有用。稳定系统才有用。绝对稳定性绝对稳定性绝对稳定性绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。相对稳定性相对稳定性相对稳定性相对稳定性：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。第12页/共55页一、稳定的基本概念一、稳定的基本概念一、稳定的基本概念一、稳定的基本概念 1.1.稳定和不稳定的含义稳定和不稳定的含义稳定和不稳定的含义稳定和不稳定的含义稳稳稳稳定定定定和和和和不不不不

15、稳稳稳稳定定定定：一一一一个个个个原原原原处处处处于于于于某某某某一一一一平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态的的的的系系系系统统统统，受受受受到到到到某某某某一一一一扰扰扰扰动动动动作作作作用用用用偏偏偏偏离离离离了了了了原原原原平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态。当当当当扰扰扰扰动动动动消消消消失失失失后后后后，如如如如系系系系统统统统还还还还能能能能回回回回到到到到原原原原平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态附近，则称该系统附近，则称该系统附近，则称该系统附近，则称该系统稳定稳定稳定稳定。反之，系统。反之，系统。反之，系统。反之，系统不稳定不稳定不稳定不稳定。这这这这种种种种稳稳稳稳定定定定性性性

16、性也也也也称称称称零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性（内内内内稳稳稳稳定）定）定）定）；稳稳稳稳定定定定性性性性是是是是表表表表征征征征系系系系统统统统在在在在扰扰扰扰动动动动消消消消失失失失后后后后自自自自我我我我恢恢恢恢复复复复的的的的能力，它是系统的一种能力，它是系统的一种能力，它是系统的一种能力，它是系统的一种固有特性固有特性固有特性固有特性。第13页/共55页第14页/共55页稳定的摆不稳定的摆稳定中性稳定不稳定第15页/共55页1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于

17、1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。第16页/共55页2.2.稳定的类型稳定的类型稳定的类型稳定的类型大范围稳定大范围稳定大范围稳定大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定；：初始偏差可以很大，系统仍稳定；：初始偏差可以很大，系统仍稳定；：初始偏差可以很大，系统仍稳定；小小小小范范范范围围围围稳稳稳稳定定定定，初初初初始始始始偏偏偏偏差差差差必必必必须须须须在在在在一一一一定定定定限限限限度度度度内内内内系系系系统统统统才才才才稳定，超出了这个限定值则不稳定；稳定，超出了这个限定值则不稳定；稳定，超出了这个限定值则不稳定；稳定，超出了这个限定值则不稳定；对对对对于于于于线线线线性性

18、性性系系系系统统统统，如如如如果果果果小小小小范范范范围围围围内内内内是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的，则则则则它它它它一一一一定定定定也也也也是是是是大大大大范范范范围围围围稳稳稳稳定定定定的的的的。而而而而对对对对于于于于非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统不不不不存存存存在在在在类似结论；类似结论；类似结论；类似结论；渐近稳定：渐近稳定：渐近稳定：渐近稳定：系统最终恢复到原始平衡状态；系统最终恢复到原始平衡状态；系统最终恢复到原始平衡状态；系统最终恢复到原始平衡状态；线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。如果稳定，则必是渐近稳定的。如果稳定，则必

19、是渐近稳定的。如果稳定，则必是渐近稳定的。第17页/共55页系统的稳定性:(a)稳定（小范围）；(b)渐近稳定；(c)大范围稳定和不稳定第18页/共55页n n零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性n n如如如如果果果果系系系系统统统统对对对对于于于于每每每每一一一一个个个个有有有有界界界界输输输输入入入入的的的的零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应仍仍仍仍保保保保持持持持有有有有界界界界，则则则则称称称称该该该该系统的零状态响应是稳定的。系统的零状态响应是稳定的。系统的零状态响应是稳定的。系统的零状态响应是稳定的。n n零零零零状状状状态态态态响响响响应

20、应应应稳稳稳稳定定定定又又又又称称称称为为为为有有有有界界界界输输输输入入入入有有有有界界界界输输输输出出出出稳稳稳稳定定定定（BIBOBIBOBIBOBIBO稳稳稳稳定定定定，外部稳定外部稳定外部稳定外部稳定）。）。）。）。n nBIBOBIBOBIBOBIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。n n线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应稳稳稳稳定定定定性性性性和和和和零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应稳稳稳稳定定定定性性性性的

21、的的的条条条条件除特殊情况外是一致的。件除特殊情况外是一致的。件除特殊情况外是一致的。件除特殊情况外是一致的。n n所所所所以以以以，线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性可可可可以以以以通通通通过过过过系系系系统统统统响响响响应应应应的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性来表达。来表达。来表达。来表达。3.零状态响应的稳定性（零状态响应的稳定性（BIBO稳定）稳定）第19页/共55页4.4.4.4.线性定常系统的稳定性表现线性定常系统的稳定性表现线性定常系统的稳定性表现线性定常系统的稳定性表现LTILTILTILTI的稳定性与其的稳定性与其的稳定性与其的稳

22、定性与其时域响应的收敛性密切关联时域响应的收敛性密切关联时域响应的收敛性密切关联时域响应的收敛性密切关联uu控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的响响响响应应应应分分分分为为为为暂暂暂暂态态态态分分分分量量量量和和和和稳稳稳稳态态态态分分分分量量量量，若若若若随随随随时时时时间间间间推推推推移移移移，其其其其暂暂暂暂态态态态分分分分量量量量逐逐逐逐渐渐渐渐衰衰衰衰减减减减，系系系系统统统统响响响响应应应应最最最最终终终终收收收收敛敛敛敛到到到到稳稳稳稳态态态态，则则则则称称称称该该该该系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定()()()()；uu如果过渡过程发散，则该系统如果过渡过程发散，则该系统如

23、果过渡过程发散，则该系统如果过渡过程发散，则该系统不稳定不稳定不稳定不稳定()()()()。Otr(t)c(t)第20页/共55页二二、线线性性定定常常系系统统稳稳定定性性的的充充分分必必要要条条件件 1.1.线性系统的解线性系统的解线性系统的解线性系统的解线性系统的特性由线性微分方程来描述的；线性系统的特性由线性微分方程来描述的；线性系统的特性由线性微分方程来描述的；线性系统的特性由线性微分方程来描述的；微分方程的解就是系统输出量的时间表达式微分方程的解就是系统输出量的时间表达式微分方程的解就是系统输出量的时间表达式微分方程的解就是系统输出量的时间表达式；uu它它它它包包包包含含含含两两两两

24、个个个个部部部部分分分分：齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程通通通通解解解解和和和和一一一一个个个个特解特解特解特解uu微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的特特特特解解解解，与与与与外外外外部部部部输输输输入入入入有有有有关关关关（零零零零状态响应状态响应状态响应状态响应）。）。）。）。uu通通通通解解解解，只只只只与与与与系系系系统统统统本本本本身身身身的的的的参参参参数数数数、结结结结构构构构和和和和初初初初始始始始条条条条件件件件有有有有关关关关，而而而而与与与与外外外外部部部部作作作作用用用用无无无无关关关关（零零零零输输输输入响应入响应入响应入响应）。）。）。）。第21页/共55页

25、2.2.零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）研研研研究究究究系系系系统统统统零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性，就就就就是是是是研研研研究究究究系系系系统输出量中统输出量中统输出量中统输出量中齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解的运动形式；的运动形式；的运动形式；的运动形式；这这这这种种种种运运运运动动动动形形形形式式式式完完完完全全全全取取取取决决决决于于于于系系系系统统统统的的的的特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式，即即即即齐齐

26、齐齐次次次次微微微微分分分分方方方方程程程程，这这这这个个个个特特特特征征征征方方方方程程程程反反反反映映映映了了了了扰扰扰扰动动动动消除之后输出量的运动情况。消除之后输出量的运动情况。消除之后输出量的运动情况。消除之后输出量的运动情况。第22页/共55页单单单单输输输输入入入入、单单单单输输输输出出出出线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的一一一一般般般般形式为形式为形式为形式为 系统的系统的系统的系统的特征方程特征方程特征方程特征方程为为为为 此此此此方方方方程程程程的的的的根根根根，称称称称为为为为特特特特征征征征根根根根（由由由由系系系

27、系统统统统本本本本身身身身的的的的参参参参数数数数和和和和结构所决定）。结构所决定）。结构所决定）。结构所决定）。第23页/共55页从从从从常常常常微微微微分分分分方方方方程程程程理理理理论论论论可可可可知知知知，微微微微分分分分方方方方程程程程解解解解的的的的收收收收敛性完全取决于其相应特征方程的根敛性完全取决于其相应特征方程的根敛性完全取决于其相应特征方程的根敛性完全取决于其相应特征方程的根。uu如如如如果果果果特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的所所所所有有有有根根根根都都都都是是是是负负负负实实实实数数数数或或或或实实实实部部部部为负的复数，则微分方程的解是为负的复数，则微分方程的

28、解是为负的复数，则微分方程的解是为负的复数，则微分方程的解是收敛收敛收敛收敛的；的；的；的；uu如如如如果果果果特特特特征征征征方方方方程程程程存存存存在在在在正正正正实实实实数数数数根根根根或或或或正正正正实实实实部部部部的的的的复复复复根，则微分方程的解中就会出现根，则微分方程的解中就会出现根，则微分方程的解中就会出现根，则微分方程的解中就会出现发散发散发散发散项项项项。这这这这表表表表明明明明：线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应稳稳稳稳定定定定的的的的充要条件充要条件充要条件充要条件是其特征方程的根均具有负实部。是其特征方程的根均具有

29、负实部。是其特征方程的根均具有负实部。是其特征方程的根均具有负实部。第24页/共55页3.零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性 线性定常系统的零状态响应为线性定常系统的零状态响应为线性定常系统的零状态响应为线性定常系统的零状态响应为可可可可证证证证明明明明：线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应稳稳稳稳定定定定（即即即即BIBOBIBO稳稳稳稳定定定定）的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是系系系系统统统统传传传传递递递递函函函函数数数数极极极极点点点点全全全全部部部部位位位位于于于于复复复复平平平平面面面面的左半面，或全部极点都有负

30、实部。的左半面，或全部极点都有负实部。的左半面，或全部极点都有负实部。的左半面，或全部极点都有负实部。第25页/共55页结论：结论：线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件：特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式的的的的所所所所有有有有根根根根均均均均为为为为负负负负实实实实根根根根或或或或其其其其实实实实部部部部为为为为负负负负的的的的复复复复根根根根，即即即即特特特特征方程的根均在复平面的左半平面征方程的根均在复平面的左半平面征方程的根均在复平面的左半平面征方程的根均在复平面的左半平面。通通通通常常常常，由由

31、由由于于于于系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的根根根根就就就就是是是是系系系系统统统统的的的的极极极极点点点点，所所所所以以以以也也也也可可可可说说说说，线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件是是是是系统传递函数的极点均在复平面的左半部分系统传递函数的极点均在复平面的左半部分系统传递函数的极点均在复平面的左半部分系统传递函数的极点均在复平面的左半部分。第26页/共55页对对对对于于于于复复复复平平平平面面面面右右右右半半半半平平平平面面面面没没没没有有有有极极极极点点点点，但但但但虚虚虚虚轴

32、轴轴轴上上上上存存存存在在在在极极极极点点点点的的的的线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统，称称称称之之之之为为为为临临临临界界界界稳稳稳稳定定定定的的的的，该该该该系统在扰动消除后的响应通常是系统在扰动消除后的响应通常是系统在扰动消除后的响应通常是系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡的。的。的。的。在在在在工工工工程程程程上上上上，临临临临界界界界稳稳稳稳定定定定属属属属于于于于不不不不稳稳稳稳定定定定（但但但但在在在在李李李李亚亚亚亚普普普普诺诺诺诺夫夫夫夫意意意意义义义义下下下下是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的）。因因因因为为为为参参参参数数数数的的的

33、的微微微微小小小小变变变变化化化化就会使极点具有正实部，从而导致系统不稳定。就会使极点具有正实部，从而导致系统不稳定。就会使极点具有正实部，从而导致系统不稳定。就会使极点具有正实部，从而导致系统不稳定。第27页/共55页4.零零状状态态响响应应稳稳定定性性与与零零输输入入响响应应稳定性之间的关系稳定性之间的关系线线线线性性性性系系系系统统统统零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应稳稳稳稳定定定定，则则则则其其其其零零零零状态响应一定稳定；状态响应一定稳定；状态响应一定稳定；状态响应一定稳定；反之不然反之不然反之不然反之不然。通通通通常常常常称称称称零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应稳稳

34、稳稳定定定定为为为为内内内内稳稳稳稳定定定定，零状态响应稳定为零状态响应稳定为零状态响应稳定为零状态响应稳定为BIBOBIBO稳定。稳定。稳定。稳定。第28页/共55页三、劳斯三、劳斯-赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据1.1.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出2.2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据3.3.赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据第29页/共55页根根根根据据据据线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定性性性性的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件，可可可可以以以以通通通通过过过过求求求求取

35、取取取系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式的的的的所所所所有有有有根根根根，并并并并检检检检查查查查所所所所有有有有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。特征根实部的符号来判断系统是否稳定。特征根实部的符号来判断系统是否稳定。特征根实部的符号来判断系统是否稳定。但但但但由由由由于于于于一一一一般般般般特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式为为为为高高高高次次次次代代代代数数数数方方方方程程程程，要要要要计计计计算算算算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。其特征根必须依赖计算机进行数值计算。其特征根必须依赖计算机进行数值计算。其特征根必须依赖计算机进行数值计算。采采采采用用用

36、用劳劳劳劳斯斯斯斯（赫赫赫赫尔尔尔尔维维维维茨茨茨茨）稳稳稳稳定定定定判判判判据据据据，可可可可以以以以不不不不用用用用求求求求解解解解方方方方程程程程，只只只只根根根根据据据据方方方方程程程程系系系系数数数数做做做做简简简简单单单单的的的的运运运运算算算算，就就就就可可可可以以以以确确确确定定定定方方方方程程程程是是是是否否否否有有有有（以以以以及及及及有有有有几几几几个个个个）正正正正实实实实部部部部的的的的根根根根，从从从从而而而而判定系统是否稳定判定系统是否稳定判定系统是否稳定判定系统是否稳定。1.问题的提出问题的提出第30页/共55页2.2.劳斯判据劳斯判据劳斯判据劳斯判据(1)(1

37、)(1)(1)线性定常系统的劳斯判据线性定常系统的劳斯判据线性定常系统的劳斯判据线性定常系统的劳斯判据设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 首首首首先先先先，劳劳劳劳斯斯斯斯稳稳稳稳定定定定判判判判据据据据给给给给出出出出控控控控制制制制系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的必必必必要要要要条条条条件是：控制系统特征方程式的所有系数件是：控制系统特征方程式的所有系数件是：控制系统特征方程式的所有系数件是：控制系统特征方程式的所有系数均为正值，且特征方程式不缺项均为正值，且特征方程式不缺项均为正值，且特征方程式不缺项均为正值，且特征方

38、程式不缺项。其其其其次次次次，劳劳劳劳斯斯斯斯稳稳稳稳定定定定判判判判据据据据给给给给出出出出控控控控制制制制系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充分分分分条条条条件是：劳斯表中第一列所有项均为正号件是：劳斯表中第一列所有项均为正号件是：劳斯表中第一列所有项均为正号件是：劳斯表中第一列所有项均为正号。第31页/共55页如如如如果果果果特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式所所所所有有有有系系系系数数数数都都都都是是是是正正正正值值值值，将将将将多多多多项项项项式式式式的的的的系数排成下面形式的行和列系数排成下面形式的行和列系数排成下面形式的行和列系数排成下面形式的行和列，即为即为即

39、为即为劳斯表。劳斯表。劳斯表。劳斯表。第32页/共55页表中，表中，表中，表中，系数系数系数系数b b b b 的计算，一直进行到的计算，一直进行到的计算，一直进行到的计算，一直进行到后面的全部为零时后面的全部为零时后面的全部为零时后面的全部为零时为止。为止。为止。为止。同样采用同样采用同样采用同样采用上面两行系数交叉相乘上面两行系数交叉相乘上面两行系数交叉相乘上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出的方法，可以求出的方法，可以求出的方法，可以求出 c c、d d、e e、f f 等系数，即等系数，即等系数，即等系数，即这个过程一直进行到这个过程一直进行到这个过程一直进行到这个过程一直进行到n n

40、+1+1行为止。其中第行为止。其中第行为止。其中第行为止。其中第n n+1+1行仅第一行仅第一行仅第一行仅第一列有值列有值列有值列有值,且正好是方程最后一项且正好是方程最后一项且正好是方程最后一项且正好是方程最后一项a an n 。第33页/共55页几点说明几点说明几点说明几点说明uu劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表是是是是三三三三角角角角形形形形。在在在在展展展展开开开开的的的的劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表中中中中，为为为为了了了了简简简简化化化化其其其其后后后后的的的的数数数数值值值值运运运运算算算算，可可可可以以以以用用用用一一一一个个个个正正正正整整整整数数数数去去去去除除除除或或或或乘某一行的各

41、项，这时并不改变稳定性结论；乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；uu如如如如果果果果必必必必要要要要条条条条件件件件不不不不满满满满足足足足（即即即即特特特特征征征征方方方方程程程程系系系系数数数数不不不不全全全全为为为为正正正正或或或或缺缺缺缺项项项项），则则则则可可可可断断断断定定定定系系系系统统统统是是是是不不不不稳稳稳稳定定定定或或或或临临临临界界界界稳稳稳稳定定定定；uu如如如如果果果果必必必必要要要要条条条条件件件件满满满满足足足足，就就就就需需需需要要要要列列列列出出出出劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表，

42、检检检检查查查查表表表表中中中中第第第第一一一一列列列列的的的的数数数数值值值值是是是是否否否否均均均均为为为为正正正正值值值值，如如如如果果果果是是是是，则则则则系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定，否否否否则则则则系系系系统统统统不不不不稳稳稳稳定定定定，并并并并且且且且系系系系统统统统在在在在复复复复平平平平面面面面右右右右半半半半平平平平面面面面极极极极点点点点的的的的个个个个数数数数等等等等于于于于劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表第第第第一一一一列列列列系系系系数数数数符号改变的次数符号改变的次数符号改变的次数符号改变的次数。第34页/共55页例例例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方

43、程式为设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解解解解:系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程式式式式的的的的系系系系数数数数均均均均大大大大于于于于零零零零，并并并并且且且且没没没没有有有有缺缺缺缺项项项项，所以稳定的必要条件满足。列劳斯表所以稳定的必要条件满足。列劳斯表所以稳定的必要条件满足。列劳斯表所以稳定的必要条件满足。列劳斯表 由由由由于于于于该该该该表表表表第第第第一一一一列列列列系系系系数数数数的的的的符符符符号号号号变变变变化化化化了了了了两

44、两两两次次次次，所所所所以以以以该该该该方方方方程程程程中中中中有有有有二二二二个个个个根根根根在在在在复复复复平平平平面面面面的的的的右右右右半半半半平平平平面面面面，因因因因而而而而系系系系统不稳定。统不稳定。统不稳定。统不稳定。第35页/共55页 例例例例:设有一个三阶系统的特征方程设有一个三阶系统的特征方程设有一个三阶系统的特征方程设有一个三阶系统的特征方程式式式式中中中中所所所所有有有有系系系系数数数数均均均均为为为为正正正正数数数数。试试试试证证证证明明明明该该该该系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的条条条条件件件件是是是是 。第36页/共55页证明证明证明证明 上式对应的劳斯

45、表为上式对应的劳斯表为上式对应的劳斯表为上式对应的劳斯表为 根根根根据据据据劳劳劳劳斯斯斯斯判判判判据据据据，系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表第第第第一列系数均大于零。所以有一列系数均大于零。所以有一列系数均大于零。所以有一列系数均大于零。所以有第37页/共55页例例例例:考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的 K K 的的的的取值范围。取值范围。取值范围。取值范围。解解解解 由图可知，系统的闭环传递函数为由图可知，系

46、统的闭环传递函数为由图可知，系统的闭环传递函数为由图可知，系统的闭环传递函数为第38页/共55页所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 由稳定的必要条件可知，由稳定的必要条件可知，由稳定的必要条件可知，由稳定的必要条件可知，。列劳斯表如下。列劳斯表如下。列劳斯表如下。列劳斯表如下第39页/共55页根据劳斯判据，系统稳定必须满足根据劳斯判据，系统稳定必须满足根据劳斯判据，系统稳定必须满足根据劳斯判据，系统稳定必须满足因此，使系统闭环稳定的因此，使系统闭环稳定的因此，使系统闭环稳定的因此，使系统闭环稳定的 K K 的取值范围为的取值范围为的取值范围为的取值

47、范围为当当当当 时，系统处于临界稳定状态。时，系统处于临界稳定状态。时，系统处于临界稳定状态。时，系统处于临界稳定状态。第40页/共55页(2)(2)(2)(2)劳斯表的两种特殊情况及其处理劳斯表的两种特殊情况及其处理劳斯表的两种特殊情况及其处理劳斯表的两种特殊情况及其处理在在在在劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表的的的的某某某某一一一一行行行行中中中中，出出出出现现现现第第第第一一一一个个个个元元元元为为为为零零零零，而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；在在在在劳劳劳劳斯斯斯斯表

48、表表表的的的的某某某某一一一一行行行行中中中中，出出出出现现现现所所所所有有有有元元元元均均均均为为为为零零零零的的的的情况。情况。情况。情况。这这这这两两两两种种种种情情情情况况况况表表表表明明明明：系系系系统统统统在在在在复复复复平平平平面面面面内内内内存存存存在在在在正正正正根根根根或或或或存存存存在在在在两两两两个个个个大大大大小小小小相相相相等等等等符符符符号号号号相相相相反反反反的的的的实实实实根根根根或或或或存存存存在在在在两两两两个个个个共共共共轭轭轭轭虚虚虚虚根根根根（即即即即存存存存在在在在关关关关于于于于原原原原点点点点对对对对称称称称的的的的根根根根），系统处在不稳定状

49、态或临界稳定状态。系统处在不稳定状态或临界稳定状态。系统处在不稳定状态或临界稳定状态。系统处在不稳定状态或临界稳定状态。第41页/共55页第第第第一一一一种种种种情情情情况况况况，可可可可用用用用一一一一个个个个很很很很小小小小的的的的正正正正数数数数 代代代代替替替替为为为为零零零零的的的的元元元元素素素素，然然然然后后后后继继继继续续续续进进进进行行行行计计计计算算算算，完完完完成成成成劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表。例例例例如如如如，系系系系统统统统的的的的特特特特征征征征方方方方程程程程为为为为 其其其其劳劳劳劳斯斯斯斯表如左表如左表如左表如左:因因因因为为为为劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表第第第

50、第一一一一列列列列元元元元素素素素 的的的的符符符符号号号号改改改改变变变变了了了了两两两两次次次次，所所所所 以以以以系系系系统统统统不不不不稳稳稳稳定定定定，且且且且有有有有两两两两 个正实部的特征根。个正实部的特征根。个正实部的特征根。个正实部的特征根。第42页/共55页第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况，先用全零行的上一行元素构成一个，先用全零行的上一行元素构成一个，先用全零行的上一行元素构成一个，先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程辅助方程辅助方程辅助方程，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现，它的次