线代向量的内积长及正交性.pptx

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1、会计学1线代向量的内积长及正交性线代向量的内积长及正交性1.定义1内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义(Inner product)第1页/共28页2.内积的运算性质第2页/共28页1.定义2 长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质(norm)第3页/共28页单位向量2.第4页/共28页解夹角第5页/共28页1、正交的概念、正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组三、正交向量组的概念三、正交向量组的概念及求法及求法(orthogonal)第6页

2、/共28页证明、正交向量组的性质定理1第7页/共28页4、正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.5、向量空间的正交基第8页/共28页例1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.第9页/共28页即解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有解第10页/共28页6、规范 正交基例如定义(标准)第11页/共28页第12页/共28页 同理可知第13页/共28页7、求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）第14页/共28页(2)单位化,取(1)正交化,取 ，第15页/共28页例 用

3、施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解 先正交化，取施密特正交化过程第16页/共28页再单位化，得规范正交向量组如下第17页/共28页例解第18页/共28页把基础解系正交化，即合所求亦即取第19页/共28页定义4四、正交矩阵与正交变四、正交矩阵与正交变换换定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量且两两正交例 判别下列矩阵是否为正交阵第20页/共28页解所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，由于例 判别下列矩阵是否为正交阵第21页/共28页所以它是正交矩阵由于第22页/共28页正交矩阵的性质：第23页/共28页定义 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x称为正交变换性质 正交变换保持向量的长度不变证明第24页/共28页1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化五、小结五、小结2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第25页/共28页求一单位向量，使它与正交思考题思考题第26页/共28页思考题解答思考题解答第27页/共28页