线性代数N维向量空间基与维数.pptx

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1、会计学1线性代数线性代数N维向量空间基与维数维向量空间基与维数第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 2.2.设设设设V V是是是是R Rn n的非空子集的非空子集的非空子集的非空子集,且对向量的加法及数且对向量的加法及数且对向量的加法及数且对向量的加法及数 乘封闭乘封闭乘封闭乘封闭(closed),(closed),即即即即 仅含有零向量仅含有零向量仅含有零向量仅含有零向量0 0的集合的集合的集合的集合00关于向量的线性运关于向量的线性运关于向量的线性运关于向量的线性运算也构成一个向量空间算也构成一个

2、向量空间算也构成一个向量空间算也构成一个向量空间.R Rn n和和和和00称为称为称为称为R Rn n的的的的平凡平凡平凡平凡(trivial)(trivial)子空间子空间子空间子空间.则称则称则称则称V V是是是是R Rn n的一个的一个的一个的一个子空间子空间子空间子空间(subspace),(subspace),或直接或直接或直接或直接 称为一个称为一个称为一个称为一个(实实实实)向量空间向量空间向量空间向量空间(real vector space).(real vector space).,V V,k k R,R,有有有有 +V V,k k V V,closure condition

3、s closure conditions 第1页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 例例例例1 1.检验下列集合是否构成向量空间检验下列集合是否构成向量空间检验下列集合是否构成向量空间检验下列集合是否构成向量空间.(1)(1)V V=(=(x x,y y,0)|,0)|x x,y y R R;(2)(2)V V=(=(x x,y y,z z)|)|x x,y y,z z R,R,x x+y y z z=0=0;(3)(3)A A R Rmm n n,b b R Rmm,b b 0,0,K

4、KA A=R Rn n|A A =0;=0;S SB B=R Rn n|A A =b b.第2页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 (4)(4)1 1,2 2,s s R Rn n,L L(1 1,2 2,s s)=|)=|诸诸诸诸k ki i R R.s s k ki i i i i i=1=1 由由由由 1 1,2 2,s s生成的向量空间生成的向量空间生成的向量空间生成的向量空间 (generated/spanned by(generated/spanned by 1 1,)或或或或

5、 1 1,2 2,s s生成元生成元生成元生成元(generator).(generator).1 1,2 2,s s 的的的的线性包线性包线性包线性包(linear closure).(linear closure).第3页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 二二二二.向量空间的基向量空间的基向量空间的基向量空间的基(basis)(basis)与维数与维数与维数与维数(dimension)(dimension)1 1,2 2,r r V V的一组的一组的一组的一组基基基基:r r称为称为

6、称为称为V V的的的的维数维数维数维数.记为维记为维记为维记为维(V V)或或或或dim(dim(V V).).n n维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是维基本单位向量组就是R Rn n的一组基的一组基的一组基的一组基,dimRdimRn n=n n;例例例例2 2.求求求求例例例例1 1中的各向量空间的基与维数中的各向量空间的基与维数中的各向量空间的基与维数中的各向量空间的基与维数.零空间没有基零空间没有基零空间没有基零空间没有基,规定规定规定规定dim0 dim0=0.0.1 1,2 2,r r线性无关线性无关线性无关线性无关,V V都能由都能由都能由都能由 1 1

7、,2 2,r r线性表示线性表示线性表示线性表示.第4页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理定理定理2.72.7.1 1,2 2,s s的极大无关组是的极大无关组是的极大无关组是的极大无关组是 特别地特别地特别地特别地,A A=(=(A A1 1,A A2 2,A As s),),求求求求L L(A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4)的一组基和维数的一组基和维数的一组基和维数的一组基和维数.例例例例3 3.设设设设A A=A A1 1,A A2 2,A A3 3,

8、A A4 4=1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,L L(1 1,2 2,s s)的基的基的基的基 dimdimL L(1 1,s s)=r()=r(1 1,s s).).L L(A A1 1,A A2 2,A As s)A A的的的的列空间列空间列空间列空间(column space)(column space)dimdimL L(A A1 1,A A2 2,A As s)=)=秩秩秩秩(A A).).第5页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向

9、量空间向量空间 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解解解解:初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 可见可见可见可见dim dim L L(A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4)=2,2,A A1 1,A A2 2是是是是L L(A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4)的一组基的一组基的一组基的一组基.注注注注:此外此外此外此外A A1 1,A A3 3也也也也是是是是L L(A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4)的一组基的一组基的一组基的一组基.还有还有还有还有A A1 1,

10、A A4 4.1 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 事实上事实上事实上事实上,对于这个例子对于这个例子对于这个例子对于这个例子,除了除了除了除了A A3 3,A A4 4以外以外以外以外,A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成L L(A A1 1,A A2 2,A A3 3,A A4 4)的一组基的一组基的一组基的一组基.第6页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间

11、向量空间向量空间向量空间 三三三三.向量在基下的坐标向量在基下的坐标向量在基下的坐标向量在基下的坐标 1 1,2 2,r rV V 的一组基的一组基的一组基的一组基,由定义由定义由定义由定义,对对对对 V V,唯一唯一唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数的一组有序实数的一组有序实数 k k1 1,k k2 2,k kr r使得使得使得使得 =k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k kr r r r.k k1 1,k k2 2,k kr r T T 在在在在 1 1,2 2,r r 这组这组这组这组基下的基下的基下的基下的坐标坐标坐标坐标(coordinate).(coordinate)

12、.第7页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 四四四四.基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换 设设设设 1 1,2 2,r r和和和和 1 1,2 2,r r是是是是V V 的两组基的两组基的两组基的两组基,则存在则存在则存在则存在r r r r矩阵矩阵矩阵矩阵P P使使使使 (1 1,2 2,r r)=()=(1 1,2 2,r r)P P.称称称称P P为为为为从基从基从基从基 1 1,2 2,r r到到到到 1 1,2 2,r r的过的过的过的过 渡矩阵渡矩

13、阵渡矩阵渡矩阵(transition matrix).(transition matrix).由由由由r r=r=r(1 1,2 2,r r)r(r(P P)r r可得可得可得可得r(r(P P)=)=r r.故故故故|P P|0,0,即即即即P P可逆可逆可逆可逆.第8页/共10页第四章第四章第四章第四章 n n维列向量空间维列向量空间维列向量空间维列向量空间 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理定理定理定理2.82.8.设设设设 1 1,2 2,r r和和和和 1 1,2 2,r r是是是是V V 的的的的 两组基两组基两组基两组基,V V 在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标 分别为分别为分别为分别为x x,y y,则则则则证明证明证明证明:=(=(1 1,2 2,r r)x x=(=(1 1,2 2,r r)y y =(=(1 1,2 2,r r)PyPy x x=PyPy,y y=P P 1 1x x.(1 1,2 2,r r)()(x x PyPy)=0.)=0.又因为又因为又因为又因为 1 1,2 2,r r线性无关线性无关线性无关线性无关,所以所以所以所以x x PyPy=0,=0,即即即即x x=PyPy,进而进而进而进而y y=P P 1 1x x.第9页/共10页