线性系统的稳定性分析.pptx

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1、会计学1线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 在在在在控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的分分分分析析析析研研研研究究究究中中中中，最最最最重重重重要要要要的的的的问问问问题题题题是是是是系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性问问问问题题题题。不不不不稳稳稳稳定定定定的的的的系系系系统统统统在在在在受受受受到到到到外外外外界界界界或或或或内内内内部部部部的的的的一一一一些些些些因因因因素素素素扰扰扰扰动动动动时时时时，会会会会使使使使被被被被控控控控制制制制量量量量偏偏偏偏离离离离原原原原来来来来的的的的平平平平衡衡衡衡工工工工作作作作状状状状态态态态，并并并并随随随随时时时

2、时间间间间的的的的推推推推移移移移而而而而发发发发散散散散。因因因因此此此此，不稳定的系统是无法正常工作的。不稳定的系统是无法正常工作的。不稳定的系统是无法正常工作的。不稳定的系统是无法正常工作的。第1页/共50页 定定义义：如如果果线线性性定定常常系系统统受受到到扰扰动动的的作作用用，偏偏离离了了原原来来的的平平衡衡状状态态，而而当当扰扰动动消消失失后后，系系统统又又能能够够逐逐渐渐恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态，则则称称该该系系统统是是渐渐进进稳稳定定的的（简简称称为为稳稳定定）。否否则则，称称该该系系统是不稳定的。统是不稳定的。注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只取决于

3、系统的结构和参数，与外作用无关。一、稳定的基本概念 第2页/共50页稳定与不稳定系统的示例稳定与不稳定系统的示例图a 摆运动示意图（稳定系统）A Af f图b 不稳定系统图c 小范围稳定系统dfcA A物理意义上的稳定概念第3页/共50页 根根据据上上述述稳稳定定性性的的定定义义，可可以以用用 函函数数作作为为扰扰动动来来讨讨论论系系统统的的稳定性。稳定性。设设线线性性定定常常系系统统在在初初始始条条件件为为零零时时，输输入入一一个个理理想想单单位位脉脉冲冲 ，这这相相当当于于系系统统在在零零平平衡衡状状态态下下，受受到到一一个个扰扰动动信信号号的的作作用用，如如果果当当t t趋趋于于时时，系

4、系统统的的输输出出响响应应c(t)收收敛敛到到原原来来的的零零平平衡衡状状态态，即即该系统就是稳定的。该系统就是稳定的。数学意义上的稳定概念第4页/共50页五种运动模态五种运动模态五种运动模态五种运动模态 j0j0j0j0j0第5页/共50页*当当系系统统特特征征方方程程的的根根都都具具有有负负实实部部时时，则则各各瞬瞬态态分分量量都都是是衰衰减减的的，则则有有 ，此此时时系系统统是是稳定的。稳定的。*如如果果特特征征根根中中有有一一个个或或一一个个以以上上具具有有正正实实部部，则则该该根根对对应应的的瞬瞬态态分分量量是是发发散散的的，此此时时 不成立，系统不稳定。不成立，系统不稳定。*如如果

5、果特特征征根根中中具具有有一一个个或或一一个个以以上上的的零零实实部部根根，而而其其余余的的特特征征根根均均有有负负实实部部，则则c(t)作作等等幅幅振振荡荡，这时系统处于临界稳定状态。这时系统处于临界稳定状态。第6页/共50页 线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件：闭闭闭闭环环环环系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的所所所所有有有有根根根根都都都都具具具具有有有有负负负负实实实实部部部部，或或或或者者者者说说说说闭闭闭闭环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数的的的的所所所所有有有有极极极

6、极点点点点均均均均位位位位于于于于为为为为S S S S平平平平面面面面的的的的左左左左半半半半部部部部分分分分（不包括虚轴）。（不包括虚轴）。（不包括虚轴）。（不包括虚轴）。第7页/共50页 由由以以上上讨讨论论可可知知：判判稳稳先先求求根根。但但是是，对对高高阶阶系系统统，在在求求根根时时将将会会遇遇到到较较大大的的困困难难。人人们们希希望望寻寻求求一一种种不不需需要要求求根根而而能能判判别别系系统统稳稳定定性性的的间间接接方方法法，例例如如:直直接接用用系系数数就就可可以以判判断断系系统统的的稳稳定定性性。而而劳劳斯斯判判据据就就是是其中的一种。其中的一种。二、劳斯稳定判据第8页/共50

7、页 系统稳定的必要条件是其特征方程系统稳定的必要条件是其特征方程系统稳定的必要条件是其特征方程系统稳定的必要条件是其特征方程1、稳定的必要条件 思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。的各项系数均为正，即第9页/共50页将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：(单根和)(双根积和)(n根积和)(3根积和)只有当所有根都位于左半平面，才能保证特征方程式的所有系数均为正。证明一：第10页/共50页设方程有k个实根 和r对共轭复数根只有当所有根都位于左半平面，即 ，上式展开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。，则证明二：系统稳定特征方程式所有根都位于左半平面特征方程式各项系数均为正

8、第11页/共50页由此可见，系统稳定的必要条件是由此可见，系统稳定的必要条件是其其特征方程的各项系数均为正，特征方程的各项系数均为正，即即 首先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时，再使用劳斯判据判别系统是否稳定。分析稳定性，首先分析必要条件第12页/共50页2.2.劳劳斯斯判判据据(由由劳劳斯斯表表判判断断系系统统的的稳定性稳定性)第13页/共50页2.2.劳劳斯斯判判据据(由由劳劳斯斯表表判判断断系系统统的的稳定性稳定性)劳斯表计算数据原始数据第14页/共50页五阶五阶五阶五阶RouthRouth表的列写方法举例表的列写

9、方法举例表的列写方法举例表的列写方法举例则Routh表为第15页/共50页 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。3.利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况)注意：a00（1）劳斯表第一列所有系数均不为零第16页/共50页2例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。解 列劳斯表劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。第17页/共50页为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正为简化运算，

10、常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。数后，再继续运算。数后，再继续运算。数后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计本例中，劳斯表可按如下方法计算：算：1 14 101 14 10 6 17 2 6 17 2 67 58 67 58 (同乘以同乘以6 6，实质是不除，实质是不除6)6)791 134 791 134 （同乘以（同乘以6767，不除，不除6767）36900 36900 （同乘以（同乘以791791，不除，不除791791）134134 由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。由于第一列系数

11、的符号相同，故系统稳定。第18页/共50页解特征方程求根判断稳定性：s=solve(s5+6*s4+14*s3+17*s2+10*s+2=0)s=-1-3/2+1/2*5(1/2)-3/2-1/2*5(1/2)-1+i -1-i第19页/共50页例例例例2 2 2 2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。稳定性。稳定性。稳定性。s s s s4 4 4 4+2s+2s+2s+2s3 3 3 3+s+s+s+s2 2 2 2+s+1=0+s+1=0+s

12、+1=0+s+1=0解解解解 列劳斯表如下列劳斯表如下列劳斯表如下列劳斯表如下 S S4 4 1 1 1 1 1 1 S S3 3 2 1 0 2 1 0 S S2 2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*1 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=11*0)/2=1 S S1 1 (1*1-2*2)/1=-3(1*1-2*2)/1=-3 S S0 0 (-3*2-1*0)/-3=2(-3*2-1*0)/-3=2 由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为3，另一次由3变为2，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。第20页/共50页解特征方程求根判断稳定性：s

13、=roots(1,2,1,1,1)s=-1.4656 -1.0000 0.2328+0.7926i 0.2328-0.7926i第21页/共50页(2)(2)(2)(2)劳斯表某行的第一项等于零，而劳斯表某行的第一项等于零，而劳斯表某行的第一项等于零，而劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余各项不全为零本行中其余各项不全为零本行中其余各项不全为零本行中其余各项不全为零 方法1：当劳斯表某一行的第一项为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数(例如1*10-6)代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。第22页/共50页例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。s6+2s5+3s4

14、+4s3+5s2+6s+7=0劳 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1=-8-82+87-8(2+8)-77 劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统不稳定。2第23页/共50页例例例例4 4 4 4 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。方法方法方法方法1 1 1 1 解：解：解：解：由特征方程列出劳斯表由特征方程列出劳斯表由特征方程列出劳斯表由特征方程列出劳斯表 s s4

15、 4 1 2 5 1 2 5 s s3 3 1 2 0 1 2 0 s s2 2 0 0 5 5 s s1 1 (2 (2-5)/-5)/s s0 0 5 5 当的取值足够小时，(2-5)/将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。第24页/共50页 s=roots(1,1,2,2,5)s=0.5753+1.3544i 0.5753-1.3544i -1.0753+1.0737i -1.0753-1.0737i求根判别稳定性：第25页/共50页 方法方法2 2：令：令s=1/xs=1/x代入特征方代入特征方程可得到以程可得到以x x为变量

16、的新的代数为变量的新的代数方程，对此方程使用劳斯判据也方程，对此方程使用劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于把可判断系统的稳定性（相当于把特征方程系数的顺序倒过来）。特征方程系数的顺序倒过来）。第26页/共50页方法2x4 5 2 1x3 2 1x2 -1 2x1 5x0 2 劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。令s=1/x得：第27页/共50页 s=roots(5,2,2,1,1)s=0.2657+0.6255i 0.2657-0.6255i -0.4657+0.4650i -0.4657-0.4650i存在两个正实部根，所表示系统不稳定。求

17、根判别稳定性：第28页/共50页 方方法法3 3：对对原原特特征征方方程程两两边边同同时时乘乘以以（s+1)s+1)因因子子，再再用用劳劳斯斯判判据判稳。据判稳。第29页/共50页劳斯表为劳斯表为劳斯表为劳斯表为 s s5 5 1 3 7 1 3 7s s4 4 2 4 5 2 4 5s s3 3 2 9 2 9 （同乘以（同乘以（同乘以（同乘以2 2）s s2 2 -10 10 -10 10 s s1 1 11 11s s0 0 10 10方法3方程两边同乘以方程两边同乘以方程两边同乘以方程两边同乘以s+1s+1s+1s+1 ，得：，得：，得：，得：劳斯表第一列系数变号两次，所表示系统不稳定

18、。第30页/共50页 s=roots(1,2,3,4,7,5)s=0.5753+1.3544i 0.5753-1.3544i -1.0753+1.0737i -1.0753-1.0737i -1.0000求根验证：第31页/共50页 例如例如例如例如 ，等等。显然，等等。显然，等等。显然，等等。显然，系统是不稳定的。系统是不稳定的。系统是不稳定的。系统是不稳定的。(3)劳斯表某行所有系数均为零 如果劳斯表中某一行各项均为零，这说明在S平面内存在以原点为对称的特征根。第32页/共50页例5：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳 斯 表s0s1s2s3s45175611660劳斯

19、表何时会出现零行?特征方程中出现一些绝对值相同但符号相异的特征根：两个大小相等但符号相反的实根或一对纯虚根，或两对共轭复根。11劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定判断系统稳定性。第33页/共50页s s6 6 1 8 20 161 8 20 16s s5 5 2 12 16 2 12 16s s4 4 2 12 162 12 16s s3 3 0 0 00 0 0例6 已知系统的特征方程,分析系统的稳定性。解 由特征方程列劳斯表由于s3行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所以系统不稳定。共轭虚根可由辅助方程求得，由解得：注意：如何列辅助方程第34页/共50页 s=roo

20、ts(1 2 8 12 20 16 16)s=-0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -1.0000+1.0000i -1.0000-1.0000i 0.0000+1.4142i 0.0000-1.4142i求根判别稳定性：确实不存在实部大于零的情况。第35页/共50页1 1 1 1、确确确确定定定定系系系系统统统统是是是是否否否否满满满满足足足足稳稳稳稳定定定定的的的的必必必必要要要要条条条条件件件件。当当当当特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的系系系系数数数数不不不不满满满满足足足足a ai i i i0(i=0,1,2,0(i=0,1,2,0(i=0,1,2,

21、0(i=0,1,2,n)n)n)n)时时时时，系系系系统统统统是是是是不稳定的。不稳定的。不稳定的。不稳定的。2 2 2 2、当当当当特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的系系系系数数数数满满满满足足足足a ai i i i0 0 0 0(i=0,1,2,(i=0,1,2,(i=0,1,2,(i=0,1,2,n)n)n)n)时时时时，计计计计算算算算劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表。当当当当劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表的的的的第第第第一一一一列列列列系系系系数数数数都都都都大大大大于于于于零零零零时时时时，系系系系统统统统是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的。如如如如果果果果第第第第一一一一列列列列出出出出

22、现现现现小小小小于于于于零零零零的的的的系系系系数数数数，则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。3 3 3 3、若若若若计计计计算算算算劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表时时时时出出出出现现现现情情情情况况况况(2)(2)(2)(2)和和和和(3)(3)(3)(3)，此此此此时时时时为为为为确确确确定定定定系系系系数数数数极极极极点点点点的的的的分分分分布布布布情情情情况况况况，可可可可按按按按情情情情况况况况(2)(2)(2)(2)和和和和(3)(3)(3)(3)的的的的方方方方法法法法处理。处理。处理。处理。判断系统稳定性的步骤：第36页/共50页 运用劳斯判据，不

23、仅可以判定系统是运用劳斯判据，不仅可以判定系统是运用劳斯判据，不仅可以判定系统是运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化否稳定，还可以用来分析系统参数的变化否稳定，还可以用来分析系统参数的变化否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。定的参数范围。定的参数范围。定的参数范围。第37页/共50页 例例例例 7 7 已知系统的结构图如图所示。当已知系统的结构图如图所示。当已知系统的结构图如图所示。当已知系统的结构图如图所

24、示。当时时时时,试确定试确定试确定试确定K K为何值时，系统稳定。为何值时，系统稳定。为何值时，系统稳定。为何值时，系统稳定。R(s)-E(s)1+C(s)解 图示系统的开环传递函数为第38页/共50页特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为 其闭环传递函数为由特征方程列劳斯表s3 1 7500s2 34.6 7500Ks1s0 7500K将代入特征方程得第39页/共50页要使系统稳定，必须满足解不等式得 K 0，K 34.6因此，要使系统稳定，参数K的取值范围是 0 K 34.6第40页/共50页确定使系统稳定的特征参数的确定使系统稳定的特征参数的取值区间。取值区间。劳斯判据的推广及应用例:

25、已知系统的特征方程为:如果要求特征值均位于s=-1垂线之左，判断使系统稳定的k值范围。第41页/共50页 若要求全部特征根在若要求全部特征根在s=-1之左之左,则虚轴向左平移一个单位，令则虚轴向左平移一个单位，令s=s1 1-1代入原特征方程代入原特征方程,得得:整理得整理得:第42页/共50页列劳斯表列劳斯表:第一列元素均大于第一列元素均大于0,则得则得:第43页/共50页Hurwitz判据设系统的特征方程为：则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即第44页/共50页例8 系统特征方程如下，用Hurwitz判据判稳。解：第45页/共50页判断系统稳定的方法1.直接求根法：可以手工求解，也可用MATLAB辅助求解；2.劳斯代数判据法：手工和MATLAB辅助法；3.胡尔维茨代数判据法：手工和MATLAB辅助法；第46页/共50页用劳斯判据判别系统稳定性的步用劳斯判据判别系统稳定性的步用劳斯判据判别系统稳定性的步用劳斯判据判别系统稳定性的步骤骤骤骤1、系统稳定的必要条件:闭环特征式的系数大于0；-s2-5s-6=0稳定吗？2、系统稳定的充要条件：列劳斯表，看第一列元素的情况(注意两种特殊情况)。第47页/共50页小结1、稳定的概念2、利用劳斯判据判别系统的稳定性第48页/共50页作业：3-11 3-12 3-20 第49页/共50页