线性代数几何背景及应用.pptx

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1、会计学1线性代数几何背景及应用线性代数几何背景及应用一、方程及方程组的几何意义一、方程及方程组的几何意义一、方程及方程组的几何意义一、方程及方程组的几何意义二元一次方程二元一次方程二元一次方程二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方程组在几何上则表示两根直线的位置关系：程组在几何上则表示两根直线的位置关系：相交相交=有惟一解有惟一解 平行平行=无解无解 重合重合=无穷多解无穷多解 例例1 1 求解下列三个线性方程组求解下列三个线性方程组 （a a）（b b）（c c）第1页/共48页 用用ezplot(s1),hold on,ezplot

2、(s2),ezplot(s1),hold on,ezplot(s2),命令命令 可以解出结果如下图可以解出结果如下图 其中其中s1s1和和s2s2分别为方程的字符串表达式分别为方程的字符串表达式第2页/共48页 若有三个二元一次方程或更多个数的二元一次方程，代数若有三个二元一次方程或更多个数的二元一次方程，代数上称之为上称之为“超定方程超定方程”，一般是不相容的和无解的，几何，一般是不相容的和无解的，几何中平面上三根或更多根直线很难交于一点。中平面上三根或更多根直线很难交于一点。例例2 2 求解方程组求解方程组 用图解法解例用图解法解例2 2 第3页/共48页 三元一次方程三元一次方程三元一次

3、方程三元一次方程在几何上表示平面，从而两个三元一在几何上表示平面，从而两个三元一次方程构成的方程组表示两个平面的交线，三个三次方程构成的方程组表示两个平面的交线，三个三元一次方程构成的方程组两两联立求交线，得到两元一次方程构成的方程组两两联立求交线，得到两个二元一次方程，对于求得两根交线在个二元一次方程，对于求得两根交线在xoyxoy面上的面上的投影。求得两根交线的交点即为方程组的解。若三投影。求得两根交线的交点即为方程组的解。若三个平面不重合且没有交线或交点，则表示该方程组个平面不重合且没有交线或交点，则表示该方程组无解。如下例。无解。如下例。第4页/共48页例例3 3 求解下列线性方程组，

4、并画出三维图形来表示解求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。的情况。（1 1）；（2 2）；（3 3）；（4 4）第5页/共48页利用利用MATLABMATLAB的的MM文件编辑器绘图可得：文件编辑器绘图可得：图图3 3 三元非齐次线性方程组解的几何意义三元非齐次线性方程组解的几何意义第6页/共48页 从图从图3 3中可以看出：中可以看出：方程组（方程组（1 1）的解为三个平面的交点，故该方程组有）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解；唯一解；方程组（方程组（2 2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一

5、维的。个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。方程组（方程组（3 3）的三个平面没有共同的交点。即方程组）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。无解。方程组（方程组（4 4）也无解。）也无解。第7页/共48页 推广之后，更多元的线性代数方程组，则表示更推广之后，更多元的线性代数方程组，则表示更高维空间内的方程组，虽然很难想象直观的几何图高维空间内的方程组，虽然很难想象直观的几何图形，但关于方程的基本概念是一脉相承的，涉及到形，但关于方程的基本概念是一脉相承的，涉及到计算就是从几何概念过渡到代数概念。如：阶数、计算就是从几何概念过渡到代数概念。如：阶数、维数等概念。维数等概念。第8页/共

6、48页二、行列式的几何意义二、行列式的几何意义n n二维二维 已知向量已知向量 由向量由向量 和和 所构成的所构成的 平行四边形的面积为平行四边形的面积为 行列式行列式 的绝对值的绝对值 第9页/共48页n n三维三维 已知三个向量已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式三阶行列式 的绝对值的绝对值 如图如图 第10页/共48页三、平面上线性变换的几三、平面上线性变换的几何意义何意义例3 已知向量 ，矩阵 ，。请分析经过线性变换 后，向量 与原向量 的几何关系 。第11页/共48页n n绘制图形如下图所示：绘制图形如下图所示：图

7、图4 4 线性变换的几何意义线性变换的几何意义第12页/共48页 从图从图从图从图4 4中可以看出：中可以看出：中可以看出：中可以看出：矩阵矩阵 对对 进行线性变换的结果进行线性变换的结果 为向量为向量 的竖直轴的竖直轴对称向量；对称向量；矩阵矩阵 对对 进行线性变换的结果进行线性变换的结果 为向量为向量 的水平轴对的水平轴对称向量；称向量；矩阵矩阵 对对 进行线性变换的结果进行线性变换的结果 为把向量为把向量 的横坐的横坐标乘以标乘以0.50.5，把，把 的纵坐标乘以的纵坐标乘以2 2得到的向量；得到的向量；矩阵矩阵 对对 进行线性变换的结果进行线性变换的结果 为把向量为把向量 按顺时按顺时

8、针方向旋转针方向旋转 所得到的向量。所得到的向量。第13页/共48页 例例例例4 4：设设x x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成其四个顶点的数据可写成 把不同的把不同的A A矩阵作用于此组数据，可以得到多种矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果多样的结果y yi i=A=Ai i*x*x。用程序。用程序ag911ag911进行变换计算，进行变换计算，并画出并画出x x及及y yi i图形：图形：x x 0,1,1,0;0,0,1,1;0,1,1,0;0,0,1,1;subplot(2,3,1),subplot(2,3,1),

9、fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)A1A1 1,0;0,1,y11,0;0,1,y1 A1*xA1*xsubplot(2,3,2),subplot(2,3,2),fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g)fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g)第14页/共48页绘制几何图形可得：绘制几何图形可得：绘制几何图形可得：绘制几何图形可得：第15页/共48页 使用使用MATLABMATLAB时，行列式用时，行列式用Di=det(Ai)Di=det(Ai)求得，特征值和特征向求得，特征值和特征向量则用量则用pi,

10、lamdai=eig(Ai)pi,lamdai=eig(Ai)计算，算得的结果如下：计算，算得的结果如下：第16页/共48页关于笔算与机算的结合关于笔算与机算的结合 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令；矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令；矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；U0,ip=rref(A)U0,ip=rref(A)多元线性方程组多元线性方程组MATLABMATLAB求解的几种方法；求解的几种方法；x=inv(A)*b,x=inv(A)*b,U=rref(A)U=rref(A)行列式的几种计算机求解方法；行列式的几种计算机求解方法；D=det(A

11、),L,U=lu(A);D=prod(diag(U)D=det(A),L,U=lu(A);D=prod(diag(U)n n个个mm维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)r=rank(A),U=rref(A)求线性方程组的基础解系及方程解的求线性方程组的基础解系及方程解的MATLABMATLAB命令；命令；xb=null(A)xb=null(A)矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f=poly(A);P,D=eig(A)f=poly(A);P,D=eig(A)化二次

12、型为标准型的化二次型为标准型的MATLABMATLAB命令；命令；y yT TDy=xDy=xT TAx;Ax;其中其中y=Py=P-1-1x,x,第17页/共48页解高阶线性方程组的方解高阶线性方程组的方法法n n解右列方程组解右列方程组n nAX=bAX=bn n可有多种方法可有多种方法,如如n n(1)X=Ab(1)X=Abn n(2)(2)化为行最简型化为行最简型n nA=3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1,0,-5;-2,6,-A=3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1,0,-5;-2,6

13、,-2,1,32,1,3n nb=2;-3;2;-2;1;b=2;-3;2;-2;1;n nX=inv(A)*b,pauseX=inv(A)*b,pausen nC=A,b,Uc,ip=rref(C)C=A,b,Uc,ip=rref(C)第18页/共48页应用一：线性方程组与矩阵应用一：线性方程组与矩阵1.1 插值多项式例例例例1 1 给给定定t-yt-y平平面面上上的的三三个个点点(1,2),(2,3)(1,2),(2,3)和和(3,6)(3,6)，求求过过这三点的二次多项式函数：这三点的二次多项式函数：解：解：解：解：本题归结为求本题归结为求a,b,ca,b,c三个系数，使它们满三个系数，

14、使它们满 足下列各方程足下列各方程第19页/共48页 这是典型的三元线性方程组，用这是典型的三元线性方程组，用MatlabMatlab时，时，键入：键入：B=1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6;x=rref(B)B=1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6;x=rref(B)得到得到x=1 0 0 3 x=1 0 0 3 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 1 0 0 1 1 第20页/共48页 x x矩阵的最后一列即为矩阵的最后一列即为a a，b b，c c的值，则待求的值，则待求二次多项式为：二次多项式为：例例例例2 2 下表给出函数下表给出函数 上上4 4个

15、点的值，试求个点的值，试求三次插值多项式三次插值多项式 ，并求，并求 的近似值。的近似值。ti0123f(ti)30-16第21页/共48页解：解：解：解：令三次多项式函数令三次多项式函数过表中已知的过表中已知的4 4点，可以得到四元线性方程组：点，可以得到四元线性方程组：应该用计算机求解，键入：应该用计算机求解，键入：A=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27,b=3;0;-1;6,s=rref(A,b)第22页/共48页得到得到x =1 0 0 0 3 x =1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 0 -2

16、 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1得到得到 ，三次多项函，三次多项函数为数为 ,故故 近似等于近似等于第23页/共48页1.2 1.2 平板稳态温度的计算平板稳态温度的计算平板稳态温度的计算平板稳态温度的计算 在在钢钢板板热热传传导导的的研研究究中中，常常常常用用节节点点温温度度来来描描述述钢钢板温度的分布。板温度的分布。例例例例3 3 假假设设图图1 1中中钢钢板板已已经经达达到到稳稳态态温温度度分分布布，上上下下、左左右右四四个个边边界界的的温温度度值值如如图图所所示示，而而表表示示钢钢板板内内部部四四个个节节点点的的温温度度。若若忽忽略略垂垂直直于于该该截截面面方方向向的的热热交交

17、换换，那那么么内内部部某某节节点点的的温温度度值值可可以以近近似似地地等等于于与与它它相相邻邻四四个个节节点点温温度度的的算算术术平平均均值值，如如。请请计算该钢板的温度分布。计算该钢板的温度分布。第24页/共48页图图1 1 平板的温度分布平板的温度分布解：根据已知条件可以得到以下线性方程组：解：根据已知条件可以得到以下线性方程组：化简为标准的矩阵形式如下：化简为标准的矩阵形式如下：第25页/共48页 在在MATLABMATLAB命令窗口输入：命令窗口输入：A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4;A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0

18、,4,-1;0,-1,-1,4;b=30;50;60;80;b=30;50;60;80;U=rref(A,b)U=rref(A,b)第26页/共48页结果为：结果为：U=1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500得到方程组的解为：得到方程组的解为：，。在例在例3 3中，把钢板内部分成了中，把钢板内部分成了2222个节点，本例把钢个节点，本例把钢板内部分为板内部分为5555个节点，如图个节点，如图2 2所示。求钢板的稳所示。求钢板的稳态温度分布，并绘制温度分布图形。态温度分

19、布，并绘制温度分布图形。第27页/共48页 钢板的温度分布如图钢板的温度分布如图3 3所示。其中所示。其中x x、y y坐标分别表示坐标分别表示钢板横、纵方向的节点数，高度表示节点的温度值，钢板横、纵方向的节点数，高度表示节点的温度值，该三维图形形象地反映了钢板的温度分布。该三维图形形象地反映了钢板的温度分布。图图3 3 钢板的温度分布钢板的温度分布第28页/共48页 1.3 1.3 交通流量的分析交通流量的分析交通流量的分析交通流量的分析例例例例4 4 某某城城市市有有两两组组单单行行道道，构构成成了了一一个个包包含含四四个个节节点点A,B,C,DA,B,C,D的的十十字字路路口口，如如图图

20、2 2所所示示。汽汽车车进进出出十十字字路路口口的的流流量量（每每小小时时的的车车流流数数）标标于于图图上上。现现要要 求求 计计 算算 每每 两两 个个 节节 点点 之之 间间 路路 段段 上上 的的 交交 通通 流流 量量 。（假假设设，针针对对每每个个节节点点，进进入入和和离离开开的的车车数数相相等）等）图图2 2 单行道单行道4 4节点交通流图节点交通流图第29页/共48页解：解：根据已知条件可以得到，四个节点的流根据已知条件可以得到，四个节点的流 通方程为通方程为 节点节点A A：节点节点B B：节点节点C C：节点节点DD：将以上方程组进行整理，得将以上方程组进行整理，得第30页/

21、共48页MatlabMatlab程序程序ea110为为 A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1 A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1 b=160;-40;210;-330 b=160;-40;210;-330 U0=rref(A,b)U0=rref(A,b)可以得出其最简行阶梯形矩阵可以得出其最简行阶梯形矩阵 由于由于U0U0的最后一行为全零，也就是说，四个方的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立方程，所以该方程组为程中实际上只有三个独立方程，所以该方程组为欠定方程，存在无穷多组解。欠定方程，存在无穷多

22、组解。第31页/共48页若以若以 为自由变量，方程组的解可以表示为：为自由变量，方程组的解可以表示为：如果有一些车围绕十字路的矩形区反时针绕行，如果有一些车围绕十字路的矩形区反时针绕行，流量流量 。都会增加，但并不影。都会增加，但并不影 响出入十字路的流量。这就是方程组有无穷多解响出入十字路的流量。这就是方程组有无穷多解的原因。的原因。第32页/共48页人口迁徙问题人口迁徙问题 例例5 5 假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有的分布情况变化如下：每年都有5 5的市区居民搬的市区居民搬到郊区；而有到郊区；而有1515的郊区居

23、民搬到市区。若开始的郊区居民搬到市区。若开始有有700000700000人口居住在市区，人口居住在市区，300000300000人口居住在郊人口居住在郊区。请利用分析：区。请利用分析：（1 1）1010年后市区和郊区的人口各是多少？年后市区和郊区的人口各是多少？（2 2）3030年后、年后、5050年后市区和郊区的人口各是多少？年后市区和郊区的人口各是多少？（3 3）分析（）分析（2 2）中数据相似的原因。）中数据相似的原因。第33页/共48页解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量 其中 为市区人口所占比例，为郊区人口所占比例。在n+1年的人口分布状态为：用矩阵乘法可写成：第34页/共4

24、8页n n开始市区和郊区的人口数为开始市区和郊区的人口数为 可以得到可以得到n n年后市区和郊区的人口分布：年后市区和郊区的人口分布：因此因此1010年后的人口可用程序计算如下：年后的人口可用程序计算如下：A=0.95,0.15;0.05,0.85;A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X0=700000;300000;X10=A10*X0 X10=A10*X0 程序运行的结果为：程序运行的结果为：市区和郊区人口数约为：市区和郊区人口数约为：744630744630和和255370255370。第35页/共48页 无限增加时间n，市区和郊区人口之比将趋向

25、一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，可以将A对角化。令 ，其中为对角矩阵，则有对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次 所以，它就很容易计算。第36页/共48页程序程序la24%分析分析n n年后城市人口分布年后城市人口分布A=0.95,0.15;0.05,0.85;A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X0=700000;300000;P,lamda=eig(A);P,lamda=eig(A);syms n%syms n%定义符号变量定义符号变量n nXn=P*lamda.n*inv(P)*X0 Xn=P*lamda.n*inv(P)

26、*X0%.n%.n对矩阵对矩阵lamdalamda中所有元素进行幂运算中所有元素进行幂运算n n计算结果为：计算结果为：n n随随n n增大后一项增大后一项(4/5)n(4/5)n趋近于零。趋近于零。第37页/共48页多项式插值与拟合多项式插值与拟合 例例6 6 下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。n n（1 1）请过这五个点作一个四次多项式函数，）请过这五个点作一个四次多项式函数，n n并求并求x=5x=5时的函数值。用时的函数值。用MATLABMATLAB绘制多项式函数曲线、绘制多项式函数曲线、通过已知点及插值点。通过已知点及插值点。n n（2 2）请根

27、据这五个点，拟合一个二次多项式函数，）请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数，n n并用并用MATLABMATLAB绘制多项式函数曲线及已知的五个点。绘制多项式函数曲线及已知的五个点。x01234y-270210-75第38页/共48页解：（解：（1 1）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：多项式函数，可以得到如下线性方程组：n n其中矩阵：其中矩阵：第39页/共48页n n系数矩阵系数矩阵A A的行列式为范德蒙的行列式为范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列行列式，且五个坐标点的横坐

28、标各不相同，则该行列式，且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，所以方程组有唯一解。式不等于零，所以方程组有唯一解。n n写出程序：写出程序：x=0;1;2;3;4;%x=0;1;2;3;4;%输入已知点坐标输入已知点坐标y=-27;0;21;0;-75;y=-27;0;21;0;-75;%构造范德蒙矩阵，也可用内置的构造范德蒙矩阵，也可用内置的vander函数A=x.0,x.1,x.2,x.3,x.4;A=x.0,x.1,x.2,x.3,x.4;a=Ay;%a=Ay;%得到适定方程组的唯一解得到适定方程组的唯一解a a，n n运行程序，得到运行程序，得到n na(1)=a(1)=-

29、27,a(2)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)=1第40页/共48页多项式拟合要解一个超多项式拟合要解一个超定方程定方程n n把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到如下线性方程组：如下线性方程组：n n其中，其中，第41页/共48页n n该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析可该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚好能过已知的五个点。好能过已知的五个点。MATLABMATLAB软件提供了一个利用最软件提供了

30、一个利用最小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的公式也是小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的公式也是a=Aya=Ay，以找到一条二次曲线来近似地描述已知，以找到一条二次曲线来近似地描述已知5 5点的变点的变化情况化情况。n n对比插值和拟合的曲线如下图对比插值和拟合的曲线如下图第42页/共48页刚体的平面运动刚体的平面运动 例例7 7 用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩阵矩阵X X来表示它。来表示它。X X的一列表示刚体一个顶点的坐标。为的一列表示刚体一个顶点的坐标。为了使图形闭合，了使图形闭合，X X的最后一列和第一列相同；为

31、了实现刚的最后一列和第一列相同；为了实现刚体的平移运算，给矩阵体的平移运算，给矩阵X X添加元素值都为添加元素值都为1 1的一行，使矩的一行，使矩阵阵X X的形状为的形状为3n3n。n n若有矩阵：若有矩阵：n n可以证明，矩阵是刚体可以证明，矩阵是刚体X X沿沿x x轴正方向平移，沿轴正方向平移，沿y y轴正方向轴正方向平移后的结果；矩阵是刚体平移后的结果；矩阵是刚体X X以坐标原点为中心逆时针转以坐标原点为中心逆时针转动动t t弧度的结果。弧度的结果。第43页/共48页计算实例计算实例n n设刚体图形的各个顶点坐标如下：设刚体图形的各个顶点坐标如下：n n构造刚体矩阵构造刚体矩阵X X，平

32、移矩阵，平移矩阵MM及转动矩阵及转动矩阵R R。n n x04610853.56.1 6.53.220y014140011664.54.500第44页/共48页n nX=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0;oX=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0;ones(1,12);%nes(1,12);%构造刚体矩阵构造刚体矩阵n nM=1,0,-30;0,1,15;0,0,1;%M=1,0,-30;0,1,15;0,0,1

33、;%构造平移矩阵构造平移矩阵n nY1=M*X;%Y1=M*X;%计算平移结果计算平移结果n nplot(X(1,:),X(2,:);%plot(X(1,:),X(2,:);%绘制原来刚体绘制原来刚体n nfill(Y1(1,:),Y1(2,:),red);%fill(Y1(1,:),Y1(2,:),red);%绘制平移后刚体绘制平移后刚体n nR=cos(pi/3),-sin(pi/3),0;sin(pi/3),cos(pi/3),0;0,0,1;R=cos(pi/3),-sin(pi/3),0;sin(pi/3),cos(pi/3),0;0,0,1;n n%构造转动矩阵构造转动矩阵n nY2=R*X;Y2=R*X;n nfill(Y2(1,:),Y2(2,:),blue);%fill(Y2(1,:),Y2(2,:),blue);%绘制转动后刚体绘制转动后刚体n nY3=M*R*X;Y3=M*R*X;n nfill(Y3(1,:),Y3(2,:),black);%fill(Y3(1,:),Y3(2,:),black);%绘制转动及平移后刚体绘制转动及平移后刚体程序程序la26的核心语句的核心语句第45页/共48页程序程序la26运行的结果如下运行的结果如下第46页/共48页请多提宝贵意见！请多提宝贵意见！第47页/共48页