哈工大研究生课程-高等结构动力学-第二章1.ppt

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1、哈工大研究生课程-高等结构动力学-第二章1其通解为其通解为由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中(3)(3)利用振动规律利用振动规律位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步.1m mEIl幅值方程幅值方程例一例一.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.m mEIlEIl=1=1ll/2l解解:2.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算例二例二.质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期.解解:EIkl1k 并联时弹簧的等效刚度并联时弹簧的等效刚度 在在实实际际工工程程系系统统中中，常常常常会会有有多多个个弹弹性性元元件件以以各各种种形形式式组组合

2、合在在一一起起的的情情况况，其其中中最最典典型型的的是是并并联联和和串串联联两两种种形形式式，分别如图分别如图（a）和和（b）所示。所示。弹性元件的组合弹性元件的组合所以等效弹簧刚度为所以等效弹簧刚度为2.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算 串串联时弹簧的等效刚度联时弹簧的等效刚度在图在图（b b）所示的串联情况下，可以得到如下关系所示的串联情况下，可以得到如下关系将将x0 消掉，可得消掉，可得如果有如果有n 个弹簧串联时，可以证明有以下结论个弹簧串联时，可以证明有以下结论2.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算 例例三 如图如图所示 ，一个半径为，一个半径为R R的半圆

3、形薄壳，在粗糙的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动为简谐振动，计算振子的固有频率。并证明此壳体的运动为简谐振动，计算振子的固有频率。2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算（a）分分析析:本本例例运运动动方方程程的的建建立立过过程程要要比比弹弹簧簧质质量量系系统统复复杂杂一一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。设设壳壳体体倾倾斜斜角角为为（如如图图2-6），设设c c 为为壳壳体体与与粗粗糙糙表表面

4、面的的接接触触点点，在在无无滑滑动动的的情情况况下下，壳壳体体瞬瞬时时在在绕绕c c 点点作作转转动动。对对c c 点取矩，可得系统的运动微分方程。点取矩，可得系统的运动微分方程。解：解：2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算（b）其其中中，I IC C为为绕绕点点 C C的的转转动动惯惯量量，M MC C为为重重力力作作用用下下的的恢恢复复力力矩矩。为为方方便便起起见见，设设壳壳体体的的长长度度为为单单位位长长度度，由由图图2-6，对对于于给给定定的的，对对C C点点的的恢恢复复力力矩矩M MC C 有有如如下下形式：形式：（a）2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的

5、计算（b）（c）壳体对壳体对C 点的转动惯量为点的转动惯量为:其中其中，dw是给定角是给定角位置的微元体重量，位置的微元体重量，是壳体单位面积的是壳体单位面积的质量。质量。2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算 当当壳壳体体作作小小幅幅振振动动时时，即即很很小小时时，引引入入近近似似表表达达式式sin，cos1 ，并并将将（b）、（c）两两式式代代入入（a）中，得到中，得到:（d）（e）（f）整理可得整理可得:（e）式表明，当）式表明，当 很小时，系统运动的确象很小时，系统运动的确象简谐振子简谐振子，其，其自然频率自然频率为为:（a）2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期

6、的计算例四例四.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.解解:m mlmmlllkk1.1.能量法能量法2.2.列幅值方程列幅值方程A阻尼元件阻尼元件通常称为通常称为阻尼器阻尼器，一般也假设为无质量。，一般也假设为无质量。常见的阻尼模型三种形式常见的阻尼模型三种形式:由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻

7、尼。内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2.3 有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动 在在本本书书中中，如如无无特特别别说说明明，所所说说的的阻阻尼尼均均指指粘粘滞滞阻阻尼尼，其其阻阻尼尼力力Fd 与与阻阻尼尼器器两两端端的的相相对对速速度度成成正正比比，比比例例系系数数 c 称称为为粘粘性性阻阻尼尼系系数数，它它的的单单位位为为牛牛顿顿-秒秒/米米（N-s/m），阻阻尼尼器器通常用通常用c 表示。表示。2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2.3 有阻尼

8、单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动2.3 2.3 有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动 1.61.6 自由振动方程的通解自由振动方程的通解自由振动方程的通解自由振动方程的通解上式可改为上式可改为上式可改为上式可改为式中式中式中式中阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比固有频率固有频率固有频率固有频率阻尼力：阻尼力：阻尼力：阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻

9、尼力的大小与速度成正比，粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。方向与速度相反。方向与速度相反。方向与速度相反。由此可得特征方程：由此可得特征方程：由此可得特征方程：由此可得特征方程：s s2 2+2 2n ns s+n n2 2=0 0。根据判别式有三种可能情况根据判别式有三种可能情况根据判别式有三种可能情况根据判别式有三种可能情况：由常系数常微分方程理论可设由常系数常微分方程理论可设由常系数常微分方程理论可设由常系数常微分方程理论可设1)1)11，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体

10、系不，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体系不，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体系不，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。发生振荡，从工程角度没有意义。发生振荡，从工程角度没有意义。发生振荡，从工程角度没有意义。2)2)=1=1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为系也不发生振荡，这时阻尼系数为系也不发生振荡，这时阻尼系数为系也不发生振荡，这时阻尼系数为，称

11、作临界称作临界称作临界称作临界阻尼系数。阻尼系数。阻尼系数。阻尼系数。2.3 2.3 有阻尼单自由度体系自由振动有阻尼单自由度体系自由振动式中式中式中式中由此可得由此可得由此可得由此可得3)3)1 1，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。此时此时此时此时 积分常数积分常数积分常数积分常数 C C1 1、C C2 2 由初始位移、速度确定，可得由初始位移、速度确定，可得由初始位移、速度确定，可得由初始位移、速度确定，可得有阻尼频率有阻尼频率有阻尼频率有阻尼频率2.3有

12、阻尼单自由度体系自由振动有阻尼单自由度体系自由振动不同阻尼比下的响应SDT1_1(z,w,x0,v0,tf)也输出单自由度也输出单自由度系统有阻尼自由振动的自由响应曲线系统有阻尼自由振动的自由响应曲线（二者输入参数不同）；（二者输入参数不同）；z,w 是系统是系统的阻尼比和固有频率（的阻尼比和固有频率（rad/s）；）；x0 和和 v0 初始条件，初始条件，tf是响应时间；是响应时间；应应用举例用举例2：z=0.02,w=2,x0=1,v0=0,tf=100可见有阻尼自由振动的解答是可见有阻尼自由振动的解答是可见有阻尼自由振动的解答是可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐运动。按指数规

13、律衰减的简谐运动。按指数规律衰减的简谐运动。按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随衰减的速度随衰减的速度随衰减的速度随 、n n增大而加快。增大而加快。增大而加快。增大而加快。如果记振幅为如果记振幅为如果记振幅为如果记振幅为A A，初相位为，初相位为，初相位为，初相位为 ，也即，也即，也即，也即则运动方程解答也可写为则运动方程解答也可写为则运动方程解答也可写为则运动方程解答也可写为1.6 1.6 有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动2.3 2.3 有阻尼单自由度体系自由振动有阻尼单自由度体系自由振动有阻尼单自由度体系自由振动有

14、阻尼单自由度体系自由振动2.2.2.2.振动分析振动分析振动分析振动分析周期延长周期延长周期延长周期延长计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率 利用此式利用此式利用此式利用此式,通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比.上式也可写成上式也可写成上式也可写成上式也可写成例五例五例五例五 对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验.用钢用

15、钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm,用用用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN,将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动.经经经经4 4 4 4周期周期周期周期,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒,振幅振幅振幅振幅降为降为降为降为1 1 1 1cmcm.求求求求1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重

16、量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解:1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg,800kg,800kg,800kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多

17、少为多少为多少3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量 结构阻尼比的一种确定方法结构阻尼比的一种确定方法结构阻尼比的一种确定方法结构阻尼比的一种确定方法 设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭）设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭）设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭）设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记录，由试验获得了阻尼振动的记录，由试验获得了阻尼振动的记录，由试验获得了阻尼振动的记录 由此可量测得由此可量测得由此

18、可量测得由此可量测得t t t t时刻和时刻和时刻和时刻和n n n n周后的振幅（一般测峰值位移，记周后的振幅（一般测峰值位移，记周后的振幅（一般测峰值位移，记周后的振幅（一般测峰值位移，记T T T T为有阻尼周为有阻尼周为有阻尼周为有阻尼周期）分别为期）分别为期）分别为期）分别为u u u ut t t t和和和和u u u ut+nTt+nTt+nTt+nT。记。记。记。记u u u ut t t t/u u u ut+nT t+nT t+nT t+nT 的自然对数为的自然对数为的自然对数为的自然对数为 （称为对数衰减率），由称为对数衰减率），由称为对数衰减率），由称为对数衰减率），由

19、阻尼振动解答可得阻尼振动解答可得阻尼振动解答可得阻尼振动解答可得由于由于由于由于 11，由此可得，由此可得，由此可得，由此可得 一般钢混结构一般钢混结构一般钢混结构一般钢混结构0.050.05，钢结构，钢结构，钢结构，钢结构(0.020.03)(0.020.03)。2.32.3有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动 无阻尼自由振动的进一步说明无阻尼自由振动的进一步说明无阻尼自由振动的进一步说明无阻尼自由振动的进一步说明 结构固有频率结构固有频率结构固有频率结构固有频率 n n n n和阻尼频率和阻尼频率和阻尼频率和阻尼频率 d

20、d d d严格说不相等，阻尼使严格说不相等，阻尼使严格说不相等，阻尼使严格说不相等，阻尼使 d d d d减少，从而使周减少，从而使周减少，从而使周减少，从而使周期期期期T T T Td d d d增长。增长。增长。增长。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼的相等。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼的相等。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼的相等。由于结构阻尼很小，因此可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼的相等。结构固有频率有如下各种等价的计算公式结构固有频率有如下各种等价的计算公式结构固有频率有如下各种等价的计算公式结构固有频率有如下各种

21、等价的计算公式 改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰改变系统质量或刚度可改变固有频率。不管具体结构如何，在同样干扰下相同频率结构的反应相同。下相同频率结构的反应相同。下相同频率结构的反应相同。下相同频率结构的反应相同。2.3 有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动作业作业:9292页页 2-3.2-6 2-10 2-22 2-3.2-6 2-10 2-22此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!