线性微分方程组的一般理论.pptx

《线性微分方程组的一般理论.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性微分方程组的一般理论.pptx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、会计学1线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论2、向量函数的相关性考虑定义在区间 上的向量函 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。第1页/共27页3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式由定义在区间 上的n个向量函数 所作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即其中，第2页/共27页构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。分析：4、定理3 若向量函数 在区间 上 线性相关，则在 上它们的伏朗斯基(Wronsky)行列式为零，即有：第3页/共27页6、定理5 齐线性方程组（5.1

2、5）一定存在n个线性无 关的解。分析：反证方法。分析：构造方法。5、定理4 如果方程(5.15)的解 在区间 上线性无关，则 在 内的任何点上都不等于零，即有：第4页/共27页推论1：方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于 因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空间定义：方程（5.15）的一组 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一7、定理6（通解结构定理）如果 是方程（5.15）的 个线性无关的解，则方程（5.15）的任一解均可表为：其中 是相应的确定常数。第5页/共27页推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线

3、性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。第6页/共27页(阶线性微分方程通解的结构定理阶线性微分方程通解的结构定理)推论3：如果 是阶微分方程的n个线性无关解，其中 是区间 上的连续函数，则（5.21）的任一解均可表示为其中 是任意常数。第7页/共27页二、基本概念1 1、解矩阵、解矩阵2 2、基解矩阵、基解矩阵如果一个 矩阵的每一列在区间 上都是线性无关的解矩阵称为在区间 上（5.15）的基解矩阵。如果一个 矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。第8页/共27页3、定理（通解的结构定理通解的结构定理）为了寻求

4、齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？这里 是确定的 维常数列向量C定理1*(5.15)一定存在一个基解矩阵，如果 是的任一解，那么第9页/共27页注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。例如：定理2*（5.15）的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是 而且，如果对于某一个 ，则（表示矩阵 的行列式）无穷与有限的转换！无穷与有限的转换！线性无关组不一定能构成解！线性无关组不一定能构成解！第10页/共27页例1 验证是方程组的基解矩阵。其中2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。解（步骤）：解（步骤）：1、首先验证是解矩阵：即把矩阵

5、的每一列作为一个向量验证是否是解？第11页/共27页推论1*如果是（5.15）在区间 上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那么,也是在区间 上的一个基解矩阵这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的验证方法证明。第12页/共27页推论2*如果 ，在区间 上是 的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异 常数矩阵 ，使得在区间 上，有这说明基解矩阵的相似性构造方法证明：构造常数矩阵C.第13页/共27页5.2.2、非齐线性微分方程组目的：利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的结构.1、非齐线性微分方程组解的性质2、非齐线性微分方程组解的结构3、应用第14页/共27页1、非齐线性微分方程组解的性质性

6、质1 如果 是(5.14)的解，是对应的齐线性微 分方程组(5.15)的解,则 是(5.14)的解.性质2 如果 ,是（5.14）的解，则 是（5.15）的解.基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。第15页/共27页2、非齐线性微分方程组解的结构定理7 设 是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表示为这里 是确定的常数列向量.基本思想：代入式验证？利用性质2。第16页/共27页由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变易方法

7、求（5.14)的一个解。注 释第17页/共27页定理 设 是（5.15）的基解矩阵，则向量函数 是（5.14）的解，且满足初始条件：.分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初始条件的解 可由下面公式给出(5.15)满足初始条件 的解公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易法常数变易法。第18页/共27页例2：试求初值问题的解。解：1、因为 是对应齐线性方程组的基解矩阵；第19页/共27页2、由定理8，求满足初始条件 的解第20页/共27页3、求题设初始条件 的解（利用解的结构定理）.原方程的解为第21页/共27页求非齐次线性微分方程组求解基本

8、步骤：1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；2、求初始条件为0的解；3、再求初始条件的解；理论基础：定理7和定理8（解的结构定理。）注：n阶线性微分方程的求解（推论3）；是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）第22页/共27页3、应用（n阶非线性微分方程解的结构）(1)、推论3 如果 是区间 上的连续函数，是区间 上齐线性方程的基本解组，那么，非齐线性方程的满足初始条件的解由下面公式给出第23页/共27页其通解为：这里 是任意常数基本方法：常数变易法第24页/共27页（2）特殊情况，n=2时的常数变易方法的公式其通解为：这里 是任意常数第25页/共27页例3：试求方程的一个解。解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组；第二步:求特解；第三步:求任一解。作业：p216-217 1,3,6,7,8,9,10(1,2)第26页/共27页