药学高数换元积分法.pptx

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1、会计学1药学高数换元积分法药学高数换元积分法 一、第一换元积分法一、第一换元积分法一、第一换元积分法一、第一换元积分法 定理定理定理定理3-23-2（第一换元积分法）（凑微分法）（第一换元积分法）（凑微分法）（第一换元积分法）（凑微分法）（第一换元积分法）（凑微分法）如果如果如果如果 ，且，且，且，且 u u=(x x)可导，则可导，则可导，则可导，则 证证证证 由复合函数导数法则，得由复合函数导数法则，得由复合函数导数法则，得由复合函数导数法则，得所以所以所以所以 G G(x x)是是是是 g(g(x x)(x x)的原函数。即的原函数。即的原函数。即的原函数。即 使用第一换元积分法求不定积

2、分的过程如下：使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：第1页/共27页 例例例例3-153-15 求求求求 解解解解 对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量不必写出中间变量不必写出中间变量 u u 例例例例3-163-16 求求求求 解解解解 第2页/共27页 例例例例3-173-17 求求求求 解解解解 例例例例3-183-18 求求求求 解解解解第3页/共27页 例例例例3-193-19 求求求求 解解解解 例例例例3-203-

3、20 求求求求 解解解解第4页/共27页 例例例例3-213-21 求求求求 解解解解 例例例例3-223-22 求求求求 解解解解 第5页/共27页 例例例例3-233-23 求求求求 解解解解 例例例例3-243-24 求求求求 解解解解第6页/共27页所以所以所以所以第7页/共27页 例例例例3-253-25 求求求求 解解解解第8页/共27页 第二种方法第二种方法第二种方法第二种方法:同理可得同理可得同理可得同理可得第9页/共27页 凑微分常见的类型凑微分常见的类型凑微分常见的类型凑微分常见的类型第10页/共27页第11页/共27页 为了能熟练掌握凑微分法，应熟记一些常用的微分为了能熟

4、练掌握凑微分法，应熟记一些常用的微分为了能熟练掌握凑微分法，应熟记一些常用的微分为了能熟练掌握凑微分法，应熟记一些常用的微分关系式，如：关系式，如：关系式，如：关系式，如：第12页/共27页 二、第二换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法 定理定理定理定理3-3(3-3(第二换元积分法第二换元积分法第二换元积分法第二换元积分法)设设设设 x x=(t t)是单调可导是单调可导是单调可导是单调可导函数，且函数，且函数，且函数，且 f f(t t)(t t)有原函数有原函数有原函数有原函数 F F(t t)，则，则，则，则 应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：应用第

5、二换元积分法计算不定积分的过程如下：应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：注意注意注意注意 使用此公式的关键在于通过变量替换使用此公式的关键在于通过变量替换使用此公式的关键在于通过变量替换使用此公式的关键在于通过变量替换 x x=(t t)将将将将 换成一个容易求得的积分换成一个容易求得的积分换成一个容易求得的积分换成一个容易求得的积分 来计算。来计算。来计算。来计算。第13页/共27页 1 1、三角变换、三角变换、三角变换、三角变换 若被积函数中含有若被积函数中含有若被积函数中含有若被积函数中含有 时时时时,可采用三角可采用三角可采用三角可采用三

6、角替换的方法化去根式替换的方法化去根式替换的方法化去根式替换的方法化去根式 ,这种方法称为三角变换。这种方法称为三角变换。这种方法称为三角变换。这种方法称为三角变换。三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令第14页/共27页解解 令令例例3-263-26 求求第15页/共27页解解 设设例例3-273-27 求求第16页/共27页解解 令令例例3-283-28 求求第17页/共27页 2 2、倒变换、倒变换、倒变换、倒变换 例例例例3-293-29 求求求求 解解解解 令令令令 ，则，则，则，则 ，得，得，得，得第18页/共27页

7、 3 3、根式变换、根式变换、根式变换、根式变换 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称去掉根式后再积分，也称去掉根式后再积分，也称去掉根式后再积分，也称根式变换根式变换根式变换根式变换。例例例例3-303-30 求求求求 解解解解 令令令令 ，则，则，则，则 ，得，得，得，得第19页/共27页 当被积函数表达式分母中含有当被积函数表达式分母中含有当被积函数表达式分母中含有当被积函数表达式分母中含有 axax2 2+bxbx+c

8、 c 时，可先时，可先时，可先时，可先配配配配方，再用换元积分法。方，再用换元积分法。方，再用换元积分法。方，再用换元积分法。例例例例3-313-31 求求求求 解解解解第20页/共27页 例例例例3-323-32 求求求求 解解解解 方法一方法一方法一方法一 :凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法第21页/共27页 方法二方法二方法二方法二 :倒变换法倒变换法倒变换法倒变换法 令令令令 ，则，则，则，则 ，得，得，得，得第22页/共27页 方法三：三角变换法方法三：三角变换法方法三：三角变换法方法三：三角变换法 令令令令 ，于是，于是，于是，于是 ，所以，所以，所以，所以第23页/共27页小结小结小结小结常用简化技巧常用简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;配元方法配元方法(4)巧妙换元或配元巧妙换元或配元万能凑幂法万能凑幂法利用积化和差利用积化和差;分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式,如如第24页/共27页1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令令令令或或令令令令第25页/共27页作业作业:习题三习题三 6第26页/共27页