变换群与几何学PPT讲稿.ppt

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1、变换群与几何学第1页，共19页，编辑于2022年，星期六2、射影仿射变换与仿射变换、射影仿射变换与仿射变换 定义定义.在射影仿射平面上在射影仿射平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称为保持无穷远直线不变的射影变换称为射影射影仿射变换仿射变换.定理定理.射影变换射影变换成为射影仿射变换成为射影仿射变换a31=a32=0.即射影仿射变换形如即射影仿射变换形如变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学射影仿射变换射影仿射变换作用于射影仿射平面作用于射影仿射平面.第2页，共19页，编辑于2022年，星期六将将(3)式化为非齐次式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式前二式两边分别除以第三式

2、)得得即为即为仿射变换仿射变换,仿射变换仿射变换作用于仿射平面作用于仿射平面.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第3页，共19页，编辑于2022年，星期六3、射影相似变换与相似变换、射影相似变换与相似变换 定义定义.在射影仿射平面上在射影仿射平面上,称无穷远点称无穷远点I(1,i,0),J(1,i,0)为为圆点圆点.定理定理.射影仿射变换射影仿射变换(3)成为射影相似变换成为射影相似变换在在(3)中有中有a22=a11且且a21=a12；或者；或者a22=a11且且a21=a12.射影相似变换的变换式为射影相似变换的变换式为 定义定义.在射影仿射平面上在射影仿射平面上,保

3、持圆点不变的射影仿射变换称为保持圆点不变的射影仿射变换称为射影射影相似变换相似变换.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学或者或者 注注上面两式中的有穷远部分上面两式中的有穷远部分(非齐次形式非齐次形式)即为即为相似变换相似变换.第4页，共19页，编辑于2022年，星期六4、射影正交变换与正交变换、射影正交变换与正交变换 定义定义.在射影相似变换中在射影相似变换中,若若A33/a33=1则称之为则称之为射影正交变换射影正交变换,其有其有穷远部分穷远部分(非齐次形式非齐次形式)即为即为正交变换正交变换.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学 在射影相似变换中，

4、如果只考虑有穷部分，则将前面两式两端在射影相似变换中，如果只考虑有穷部分，则将前面两式两端分别除以第三式得分别除以第三式得或者或者第6页，共19页，编辑于2022年，星期六二、群与变换群二、群与变换群 定义定义 (代数运算代数运算)设设A,B,C为集合为集合,为为A B到到C的一个对应的一个对应.则称则称 为为A B到到C的一个的一个代数运算代数运算.特别地特别地,若若B=C=A,则称则称 为集合为集合A上的一个代数运算上的一个代数运算.定定义义了代数运算的集合称了代数运算的集合称为为代数系统代数系统,代数学就是研究代数系代数学就是研究代数系统统的科学的科学.变换群与几何学变换群与几何学变换群

5、与几何学变换群与几何学 比如比如,实实数集数集R上的加上的加(减减)法、乘法都是法、乘法都是R上的代数运算上的代数运算.比如比如,对对于数域于数域F上的向量空上的向量空间间V,数乘向量是数乘向量是F V到到V的一个代数的一个代数运算运算.比如比如,矩矩阵阵的乘法是所有矩的乘法是所有矩阵阵的集合上的代数运算的集合上的代数运算.比如比如,sinx不是不是R上的一个代数运算上的一个代数运算,而而sinxcosy是是R上的一个代数运算上的一个代数运算.第7页，共19页，编辑于2022年，星期六 定义定义.(群群)设设G为非空集合为非空集合.在在G上定义一个代数运算上定义一个代数运算,称为乘法称为乘法.

6、如如果满足下述果满足下述4条公理条公理,则称则称G对于这个乘法构成一个对于这个乘法构成一个群群,记作记作G.(1)封封闭闭性性.a,b G,有有ab G.(2)乘法乘法满满足足结结合律合律.即即 a,b,c G,有有a(bc)=(ab)c.(3)存在存在单单位元位元.即即 e G,使得使得 a G,有有be=ea=a.(4)存在逆元存在逆元.即即 a G,a 1 G,满满足足aa 1=a 1a=e.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学 定义定义.(子群子群)设设G为群为群,H为为G的一个非空子集的一个非空子集,若若H对于对于G上的乘法也构上的乘法也构成群成群,则称则称H为为

7、G的一个的一个子群子群.定理定理.群群G的一个非空子集的一个非空子集H为为G的子群的子群H满足下述条件满足下述条件.(1)a,b H,有有ab H.(2)若若a H,则则必有必有a 1 H.第8页，共19页，编辑于2022年，星期六 定义定义.(群的同构群的同构)两个群两个群G,G之间的一个能够保持乘法运算的双射之间的一个能够保持乘法运算的双射称为称为G与与G 之间的一个之间的一个同构同构.如果群如果群G与与G 之间存在一个同构映射之间存在一个同构映射,则称则称G同构同构于于G,记作记作G G.定理定理.非空集合非空集合S上上全体全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群一一变换的集合对于变换的乘

8、法构成群.称称为集合为集合S上的上的全变换群全变换群.定理定理.非空集合非空集合S上上部分部分一一变换的集合一一变换的集合G对于变换的乘法构成群对于变换的乘法构成群(全全变换群的子群变换群的子群)(1)若若g1,g2 G,则则g1g2 G.(2)若若g G,则则g1 G.定义定义.集合集合S上全变换群的任一子群称为上全变换群的任一子群称为S上的一个上的一个变换群变换群.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第9页，共19页，编辑于2022年，星期六三、平面上的几个变换群三、平面上的几个变换群P=平面上全体射影变换平面上全体射影变换PA=平面上全体射影仿射变换平面上全体射影仿射

9、变换PO=平面上全体射影正交变换平面上全体射影正交变换A=平面上全体仿射变换平面上全体仿射变换O=平面上全体正交变换平面上全体正交变换射射影影平平面面仿仿射射平平面面射影变换群射影变换群P射影仿射变换群射影仿射变换群PA射影正交变换群射影正交变换群PO仿射变换群仿射变换群A正交变换群正交变换群O上述上述7个变换群之间显然有下列关系：个变换群之间显然有下列关系：在射影平面在射影平面PR2上上在仿射平面在仿射平面A2l 上上PS=平面上全体射影相似变换平面上全体射影相似变换射影相似变换群射影相似变换群PSS=平面上全体相似变换平面上全体相似变换相似变换群相似变换群S变换群与几何学变换群与几何学变换

10、群与几何学变换群与几何学第10页，共19页，编辑于2022年，星期六四、四、Klein变换群观点变换群观点 定义定义.设设S为一个非空集合为一个非空集合,G为为S上的一个变换群上的一个变换群.称称S为为空间空间,S的元的元素称为素称为点点,S的子集称为的子集称为图形图形,G称为空间称为空间S的的主变换群主变换群.研究空间研究空间S中图中图形所决定的在形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性不变性)和数和数量量(不变量不变量)的科学称为一门的科学称为一门几何学几何学(S,G).S的子集的子集(图形图形)在在G下被分成若干下被分成若干等价类等价类,

11、属于同一等价类的图形具有相属于同一等价类的图形具有相同的同的G性质性质(G给给S赋予空间结构赋予空间结构)注注 显然显然,在在S上给定不同的变换群上给定不同的变换群G,则得到不同的几何学则得到不同的几何学.几何学几何学(S,G)变换群与几何学变换群与几何学第11页，共19页，编辑于2022年，星期六 设设 为为 S 的子集的子集,H为为G的子群的子群,且对任意的且对任意的 g H,都有都有g()=,又又H 为为 上的一个变换群上的一个变换群,且且H H.则称则称(,H)为为(S,G)的一个以的一个以(S,H)为为伴随绝对子几何学伴随绝对子几何学的的相对子几何学相对子几何学,并称并称B=S 为的

12、为的绝对形绝对形.定义定义.如果如果(S,G)为一个几何学为一个几何学,H为为G的子群的子群.则称几何学则称几何学(S,H)为几何为几何学学(S,G)的一个的一个绝对子几何学绝对子几何学,简称简称子几何学子几何学.HGS几何学几何学(S,G)子几何学子几何学(S,H)HG几何学几何学(S,G)子几何学子几何学(S,H)H S 相对子几何学相对子几何学(,H )例如例如:变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第12页，共19页，编辑于2022年，星期六射影几何射影几何射影仿射几何射影仿射几何射影相似几何射影相似几何仿射几何仿射几何相似几何相似几何绝对子几何关系绝对子几何关系相对

13、子几何关系相对子几何关系伴随关系伴随关系绝对形：绝对形：l=PR2PA2.射影欧氏几何射影欧氏几何欧氏几何欧氏几何变换群系列变换群系列射影平面射影平面PR2仿射平面仿射平面PA2变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第13页，共19页，编辑于2022年，星期六五、几种几何学的比较五、几种几何学的比较1、射影几何学、射影几何学空间空间射影平面射影平面PR2主变换群主变换群射影变换群射影变换群P研究内容研究内容图形在射影变换下的图形在射影变换下的不变性质和数量不变性质和数量同素性、关联性同素性、关联性交比交比其余所有射影不变性其余所有射影不变性在射影平面上做演绎推理、对偶变换在射

14、影平面上做演绎推理、对偶变换基本射影不变性基本射影不变性变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第14页，共19页，编辑于2022年，星期六2、仿射几何学、仿射几何学空间空间射影仿射平面射影仿射平面PR2主变换群主变换群射影仿射变换群射影仿射变换群PA研究内容研究内容图形在射影仿射变换下图形在射影仿射变换下的不变性质和数量的不变性质和数量 注注 通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.射影仿射几何学射影仿射几何学空间空间仿射平面仿射平面A2主变换群主变换群仿射变换群仿射变换群A研究内容研究内容图形在仿射变换下的不图形在仿射变

15、换下的不变性质和数量变性质和数量仿射几何学仿射几何学不可用不可用对对偶原偶原则则不可用不可用对对偶原偶原则则变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第15页，共19页，编辑于2022年，星期六注注 简单比是最基本的仿射不变量简单比是最基本的仿射不变量.定理定理.简单比是仿射不变量简单比是仿射不变量.仿射不变性仿射不变性平行性平行性简单比简单比平行线段的比平行线段的比,两三角形面积之比两三角形面积之比,线线段的中点段的中点,三角形的重心三角形的重心,梯形梯形,平行四平行四边形边形,定理定理.仿射变换保持平行性不变仿射变换保持平行性不变.注注 平行性是最基本的仿射不变性平行性是最基

16、本的仿射不变性.仿射几何仿射几何首先包括射影几何的所有研究内容首先包括射影几何的所有研究内容.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第16页，共19页，编辑于2022年，星期六3、相似几何学、相似几何学空间空间射影仿射平面射影仿射平面PR2主变换群主变换群射影相似变换群射影相似变换群PS研究内容研究内容图形在射影相似变换下图形在射影相似变换下的不变性质和数量的不变性质和数量注注 通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学.射影相似几何学射影相似几何学空间空间仿射平面仿射平面A2主变换群主变换群相似变换群相似变换群S研究

17、内容研究内容图形在相似变换下的图形在相似变换下的不变性质和数量不变性质和数量相似几何学相似几何学不可用不可用对对偶原偶原则则不可用不可用对对偶原偶原则则变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第17页，共19页，编辑于2022年，星期六注注 初等几何的研究内容基本属于相似几何初等几何的研究内容基本属于相似几何.定理定理 相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变变.4、欧氏几何学、欧氏几何学 欧氏几何欧氏几何首先包括相似几何的所有研究内容首先包括相似几何的所有研究内容.定理定理 正交变换保持平面上两点间的距离不变正交变

18、换保持平面上两点间的距离不变.注注 距离是最基本的正交不变性距离是最基本的正交不变性.由此由此,一切刚体性质都是欧氏几何一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象的研究对象.相似几何相似几何首先包括仿射几何的所有研究内容首先包括仿射几何的所有研究内容.变换群与几何学变换群与几何学第18页，共19页，编辑于2022年，星期六 结论结论：在同一个几何学系列中在同一个几何学系列中(即即,在前述几何学系列的同一个横在前述几何学系列的同一个横行上行上),子几何学的研究内容比原几何学丰富子几何学的研究内容比原几何学丰富.但是原几何学的内容比子几但是原几何学的内容比子几何学更具纲领性何学更具纲领性.变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学变换群与几何学第19页，共19页，编辑于2022年，星期六