第一讲微积分精选PPT.ppt

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1、第一讲微积分第1页，本讲稿共22页任课教师任课教师 马连荣马连荣Email:Tel:62796896(O)13901115853(M)办公地点：办公地点：荷二楼荷二楼213房间房间第2页，本讲稿共22页微积分学教程微积分学教程 数学分析习题集数学分析习题集高等数学例题与习题集高等数学例题与习题集蔡大用等译参考书目参考书目第3页，本讲稿共22页集合集合(set)常用的数集常用的数集自然数集自然数集 natural number整数集整数集 integer有理数集有理数集 rational number实数集实数集是实数是实数;real number复数集复数集 complex number子集子

2、集真子集真子集空集空集区间区间(interval)邻域邻域去心邻域去心邻域第4页，本讲稿共22页常用逻辑符号常用逻辑符号表示表示A蕴含蕴含B.A是是B的充分条件的充分条件.若若A成立，则成立，则B成立成立.B是是A的必要条件的必要条件.表示表示A与与B等价等价.A成立当且仅当成立当且仅当B成立成立.A是是B的充分必要条件的充分必要条件.For All表示对于所有的表示对于所有的 x,P(x)都成立都成立.表示对于所有的正数表示对于所有的正数x,P(x)都成立都成立.There Exists表示存在表示存在 x 使得使得 P(x)成立成立.表示能够找到正数表示能够找到正数 x 使得使得 P(x)

3、成立成立.的否定的否定的否定的否定第5页，本讲稿共22页第第1章章 函数函数函数的定义函数的定义设设X是一非空实数集。如果按照某种确定是一非空实数集。如果按照某种确定1.1 函数概念函数概念函数用来描述变量变化过程中的相互依赖关系。函数用来描述变量变化过程中的相互依赖关系。关系关系 f，对于每个，对于每个 ，都有，都有Y 内唯一的实数内唯一的实数y与其对与其对应，则称应，则称 f 为定义在为定义在D上的一个函数上的一个函数(function)。为函数的值域为函数的值域(range)。用数学记号表示为：用数学记号表示为：称称X是函数的定义域是函数的定义域(domain)，称称注意：注意：不一定是

4、不一定是Y，可以是，可以是Y的真子集！的真子集！例例1.1.1定义域定义域值域值域 -1，1.第6页，本讲稿共22页例例1.1.1定义域定义域值域值域 -1，1.另一种表示方式另一种表示方式:例例1.1.2定义域定义域值域值域 0，1.另一种表示方式另一种表示方式:下面介绍几个有趣并且在今后会用到的函数。下面介绍几个有趣并且在今后会用到的函数。例例1.1.3 两种两种“取整取整”函数函数(1)符号符号 表示小于或等于表示小于或等于 x 的最大整数。的最大整数。，称为地板，称为地板(floor)函数，或者函数，或者下下取整函数。取整函数。(2)符号符号 表示大于或等于表示大于或等于 x 的最小整

5、数。的最小整数。是定义在是定义在 上的一个函数，值域为上的一个函数，值域为 。也经常写成也经常写成第7页，本讲稿共22页例例1.1.3 两种两种“取整取整”函数函数(2)符号符号 表示大于或等于表示大于或等于 x 的最小整数。的最小整数。(ceiling)函数，或者函数，或者上上取整函数。取整函数。是定义在是定义在 上的一个函数，值域为上的一个函数，值域为 ，又称为天花板，又称为天花板地板函数图像地板函数图像天花板函数图像天花板函数图像例例1.1.4 符号函数符号函数定义域定义域值域值域 -1，0，1第8页，本讲稿共22页例例1.1.5Dirichlet函数函数定义域定义域值域值域 0，1例例

6、1.1.6Riemann函数函数定义域定义域值域值域任意有理数都可以写成任意有理数都可以写成 ，其中，其中 ，且，且例例1.1.4 图像图像 最后介绍两个最后介绍两个“不能作图不能作图”的函数。的函数。第9页，本讲稿共22页1.2 函数的初等性质函数的初等性质1.2.1 函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数 定义在对称区间定义在对称区间 或或 上，上，若对于任意若对于任意 ，则称则称 是奇函数是奇函数(odd function)。若对于任意。若对于任意 ，则称则称是偶函数是偶函数(even function)。例例1.2.1都定义在对称区间都定义在对称区间 I上。上。是奇函数是奇函数;是奇函数

7、是奇函数,是偶函数，则是偶函数，则是奇函数是奇函数;是偶函数。是偶函数。是偶函数。是偶函数。对于任意对于任意第10页，本讲稿共22页例例1.2.2定义在定义在上的奇函数和偶函数。上的奇函数和偶函数。分别是分别是例例1.2.3数。因为对于任意数。因为对于任意 ,函数函数是定义在是定义在上的奇函上的奇函例例1.2.4Dirichlet函数函数是定义在是定义在 上的偶函数。上的偶函数。第11页，本讲稿共22页1.2.2 函数的单调性函数的单调性设设 是定义在区间是定义在区间X上的一个函数，若对于任意上的一个函数，若对于任意有有 ，则称，则称 是是X上上的单调增加函数的单调增加函数(increasin

8、g function)。若对于任意。若对于任意有有 ，则称，则称 是是X上的单调减少上的单调减少函数函数(decreasing function)。若若有有 ，则称，则称 是是X上的严格上的严格单调增加函数。若单调增加函数。若 有有 ，则称，则称 是是X上的严格单调减少函数。上的严格单调减少函数。例例1.2.5在在 上单调增加，上单调增加，在在上单调增加，在上单调增加，在 上单调减少。上单调减少。第12页，本讲稿共22页1.2.3 函数的周期性函数的周期性例例1.2.6若若 是以是以T为周期的周期函数，则为周期的周期函数，则是以是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。因为因为以以T为周期，所

9、以为周期，所以 ，即，即这就说明这就说明 以以 为周期。为周期。例例1.2.7常函数常函数但其没有最小周期。但其没有最小周期。例例1.2.8Dirichlet函数函数但其没有最小周期。但其没有最小周期。是周期函数，是周期函数，是周期函数，是周期函数，对于函数对于函数 ，若存在正数，若存在正数T，使得对定义域内任，使得对定义域内任意意x，有，有 ，则称，则称 是周期函数是周期函数(period的最小周期，简称周期。的最小周期，简称周期。function)。满足。满足 的最小正数的最小正数T 称为称为第13页，本讲稿共22页1.2.4 函数的有界性函数的有界性设函数设函数 在区间在区间I上有定义，

10、如果存在正数上有定义，如果存在正数M，上有界上有界(bounded)。使得对任意使得对任意 ，有，有 ，则称，则称 在区间在区间I函数函数 在区间在区间I上无界的描述：对于任意正数上无界的描述：对于任意正数M，存在存在 ，使得，使得 。例例1.2.9函数函数 在在 上有界，因为上有界，因为但是函数但是函数 在在 上无界，上无界，这是因为对于任意这是因为对于任意 ，存在，存在第14页，本讲稿共22页关于实数集的界：关于实数集的界：上、下界上、下界 设设A是实数集，若存在数是实数集，若存在数b使得使得 对所有对所有 都成立，则称数集都成立，则称数集A有有上界上界。实数。实数b称为称为A的一个的一个

11、上界上界(upper bound)；都成立，则称数集都成立，则称数集A有有下界下界。实数。实数a称为称为A的一个下界的一个下界 若存在数若存在数a 使得使得 对所有对所有(lower bound)。若数集若数集A既有上界又有下界，则称既有上界又有下界，则称A有界。显然，有界。显然，A有界的充分必要条件是存在正数有界的充分必要条件是存在正数M，使得，使得 对所有对所有 成立。成立。确界确界 若数集若数集A有上界，且有上界，且A的上界中存在最小值的上界中存在最小值 ，则则 称为称为A的上确界的上确界(supremum)，记作，记作sup(A)；若；若A有下界，且有下界，且A的下界的下界中存在最大值

12、中存在最大值 ，则，则 称为称为A的下的下第15页，本讲稿共22页确界存在公理确界存在公理非空数集非空数集若有若有上上(下下)界，则必有上界，则必有上(下下)确界。确界。确界与最值关系确界与最值关系非空数集非空数集若有最大若有最大(小小)值值 ，则，则必有上必有上(下下)确界确界 ，但反之不然但反之不然。确界确界(infimum)，记作，记作inf(A)。若函数若函数 在区间在区间I上有界，则上有界，则 是有界集，从是有界集，从而而 和和 都存在。但是，都存在。但是，和和不一定存在。不一定存在。例例1.2.10函数函数 在在上有界。上有界。和和 都不存在。都不存在。第16页，本讲稿共22页1.

13、3 反函数与复合函数反函数与复合函数1.3.1 反函数反函数设设 ，若对于任意，若对于任意 存在唯一存在唯一使得使得 ，则称这种反对应关系为，则称这种反对应关系为f 的反函数的反函数(inverse function)，记作，记作 。反函数反函数 的定义域是的定义域是f 的值域，的值域，的值域是的值域是f 的定的定义域。义域。反函数存在的反函数存在的充分必要条件充分必要条件是，是，f在定义域在定义域X和值域和值域Y之间建立了之间建立了一一对应一一对应关系。关系。反函数反函数 与原函数与原函数 的图像关于直线的图像关于直线 对称。对称。第17页，本讲稿共22页例例1.3.1求求 的反函数。的反函

14、数。解：解：由由 得得 又因为又因为 时，时，所以，所以，的反函数是的反函数是例例1.3.2求求 的反函数。的反函数。解：解：由由 所以，所以，(舍负项舍负项)即即因此因此的反函数是的反函数是第18页，本讲稿共22页1.3.2 复合函数复合函数这个从这个从X到到Y的对应关系称为函数的对应关系称为函数g与与f 的复合，记作的复合，记作例例1.3.3 。因此，可构造复合函数。因此，可构造复合函数的定义域是的定义域是 ，的值域是的值域是设设 和和 是两个函数，则对于任意是两个函数，则对于任意存在唯一存在唯一 进而存在唯一进而存在唯一 。即即的定义域是的定义域是第19页，本讲稿共22页例例1.3.4设

15、设 ，则，则函数复合的函数复合的运算律运算律判断判断 Very Important!交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：第20页，本讲稿共22页对应关系和反对应关系示意图：对应关系和反对应关系示意图：第一讲作业：第一讲作业：P6.习题习题1.第第7题题 P10.习题习题2.第第4,7,8题题 P16.习题习题3.第第7,9,11题题 第21页，本讲稿共22页 没有任何问题可以像无穷那样深没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感，很少有别的观念深地触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念的思想，然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。能像无穷那样需要加以阐明。希尔伯特希尔伯特(Hilbert)第22页，本讲稿共22页