材料力学课件 第四章扭 转.pptx

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1、141 引言 42 外力偶矩和扭矩43 薄壁圆筒的扭转44 圆轴扭转时的应力 强度计算45 圆轴扭转时的变形 刚度计算46 非圆截面杆扭转简介第四章 扭 转*圆轴扭转超静定问题第1页/共59页241 引 言 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmmOBA变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）第2页/共59页3扭转角(相对扭转角)（）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变(切应变)（）：直角的改变量。mmOBA第3页/共59页4工 程 实 例第4页/

2、共59页542 外力偶矩和扭矩一、外力偶矩 其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：第5页/共59页63 扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图mmmTx1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩第6页/共59页74 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。目 的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT第7页/共5

3、9页8例1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩第8页/共59页9nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩:任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和.转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.第9页/共59页10绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m4第10页/共59页1143 薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前

4、：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶 m。第11页/共59页122.实验后：圆周线的大小、形状、间距不变；纵向线变成斜直线，倾角相同。3.结论：各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动周向无正应力 纵向线倾斜横截面上有切应力.各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布.第12页/共59页13acdb 横截面上无正应力 周向无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：第13页/共59页14二、薄壁圆筒切应力 与剪应变：A0：平均半径所作圆的面积。切应力剪应变mm

5、OBA第14页/共59页15三、切应力互等定理：上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdytz第15页/共59页16四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。薄壁圆筒体扭转实验 第16页/共59页17T=m 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)(在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。在一定范围内 第17页/共59页18 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与

6、 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第18页/共59页1944 圆轴扭转时的应力 强度计算圆轴横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面 1.横截面变形后 仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：第19页/共59页20第20页/共59页21二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。扭转

7、角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。第21页/共59页222.物理关系：胡克定律：代入上式得：距圆心等距离处的切应力相等第22页/共59页233.静力学关系：OdA令代入物理关系式 得：第23页/共59页24横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第24页/共59页25单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO第25页/共59页26对于空心圆截面：dDO

8、d第26页/共59页27 应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。第27页/共59页28 确定最大切应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第28页/共59页29三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第29页/共59页301.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)x第30页/共59页31(d)xnt转角规定：轴正向转至截面外法

9、线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得：第31页/共59页32分析：当=0时，当=45时，当=45时，当=90时，45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第32页/共59页33四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：(称为许用切应力。)强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：静载下:=(0.5 0.6)s (钢)=(0.8 1.0)s (铸铁)第33页/共59页34 例例2 2 功率为150kW，转速为转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力=30M

10、 Pa,试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmx第34页/共59页3545 圆轴扭转时的变形 刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为单位:弧度(rad)第35页/共59页36二、单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。第36页/共59页37刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。根据机器要求、轴的工作条件确定。可查手册。精密机器轴：=（0.15 0.30）/m一般传动轴：

11、=（0.30 .0）/m精度不高的轴：=（.0 .）/m第37页/共59页38 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径第38页/共59页3940NmxT代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度第39页/共59页4040NmxT右端面转角为：第40页/共59页41 例例44 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：

12、G=80GPa，=70M Pa，f=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx(kNm)第41页/共59页42由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx(kNm)第42页/共59页43 综上：全轴选同一直径时第43页/共59页44 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。Tx(kNm)第44页/共59页45圆轴扭转的超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转

13、超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第45页/共59页46 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：第46页/共59页47几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得：另:此题可

14、由对称性直接求得结果。第47页/共59页4846 非圆截面杆扭转简介非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第48页/共59页49一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的切应力、矩形杆横截面上的切应力:hbh 1T max 注意！b1.切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）(纵向纤维长度不变纵向纤维长度不变,无无 s s,只有只有 t t)（产生（产生 s s 、t t)第49页/共59页502.最大切应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！bIt相当极惯性矩。和 可查表求得。第50页/共59页51 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用，钢的G=80GPa，=100M Pa，=1/m，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度第51页/共59页52校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。第52页/共59页58第58页/共59页59感谢您的观看！第59页/共59页