杨辉三角及二项式系数性质.pptx

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1、一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:复习复习二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？共n+1个第1页/共19页计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111第2页/共19页(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6思考思考1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？对

2、称性对称性每行两端都是每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第3页/共19页(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?第4页/共19页详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角第5页/共19页二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项

3、式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点第6页/共19页对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：二项式系数的性质第7页/共19页2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，练习：练习：1、在、在(ab)展开式中，与倒数第三

4、项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8第8页/共19页增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质1.1.增减性：从第一项起至中间项增减性：从第一项起至中间项,二项式系二项式系数逐渐增大数逐渐增大,从中间项以后又逐渐减小从中间项以后又逐渐减小.当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。2.2.最大值最大值第9页/共19页1.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ；在在(1-x

5、)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .练习练习2.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解:第第8、9项的二项式系数项的二项式系数即即6435最大。最大。第10页/共19页各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：二项式系数的性质注意：注意：赋值法第11页/共19页例例 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和

6、。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：赋值法证明：证明：第12页/共19页练习练习第13页/共19页(1)(1)(2)(2)第14页/共19页所以（3）第15页/共19页例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值第16页/共19页作业作业.第17页/共19页(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性；b 图象；图象；c 最值。最值。小结小结第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页