有些复杂问题往往给人以变幻莫测的感觉难以掌握其中的.pptx

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1、有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。线性代数模型第1页/共29页Durer 魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer(1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。第2页/共29页1 Durer 魔方16163 32 213135 5101011118 89 96 67 712124 4151514141 1特点每行之

2、和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？第3页/共29页0 06 61 118189 91010 6 60 01515 0 09 91 11 19 99 96 60 07 71 118189 91010 7 70 01616 0 09 91 11 19 99 97 710108080100100 150150140140 110110 5050404070702020160160 9090120120 13

3、0130 30306060定义如果44数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方魔方。R=C=D=S第4页/共29页你想构造你想构造DurerDurer魔方吗？魔方吗？如何构成所有的如何构成所有的DurerDurer魔方？魔方？DurerDurer魔方有多少？魔方有多少？2 Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 D0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0O=1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1E=

4、R=C=D=S=0R=C=D=S=4第5页/共29页a a1111a a1212a a1313a a1414a a2121a a2222a a2323a a2424a a3131a a3232a a3333a a3434a a4141a a4242a a4343a a4444A=b b1111b b1212b b1313b b1414b b2121b b2222b b2323b b2424b b3131b b3232b b3333b b3434b b4141b b4242b b4343b b4444B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。

5、记 M=所有的44数字方，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。第6页/共29页由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个，记为Qi,i=1,2,8。Q1=1 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 0Q2=1 10 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 01 10 0Q3=Q4=0 00 00 01 11 10 00 00 00 00 01 10 00 01 10 00 00 00

6、00 01 10 01 10 00 01 10 00 00 00 00 01 10 0第7页/共29页Q5=0 00 01 10 01 10 00 00 00 01 10 00 00 00 00 01 1Q6=0 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 01 1Q7=0 00 01 10 00 01 10 00 00 00 00 01 11 10 00 00 0Q8=0 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 10 01 10 00 00 0第8页/共29页易知则线性相关。而由0 00 00 00 00 00 00 00 00 0

7、0 00 00 00 00 00 00 0=线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。第9页/共29页结论：1 Durer方有无穷多个。2 Durer方可由线性组合得到。Albrecht Durer的数字方的构成：=16163 32 213135 5101011118 89 96 67 712124 4151514141 1第10页/共29页3 Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。基为1维空间（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对 角线数字和都相等。基为5维空间1 10 01 10 01 10 01 10 00 01 10 01 10 01 10 01 1第11页/共2

8、9页0 01 11 10 01 10 00 01 10 01 11 10 01 10 00 01 11 10 00 01 10 01 11 10 01 10 00 01 10 01 11 10 00 01 10 01 11 10 01 10 01 10 01 10 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 00 01 11 1第12页/共29页例1717 2 21111 16161616 1111 2222-3-31212 7 76 621211 12626 7 71212R=C=H=N=46H 主对角线，N付对角线数字和。（3）要求

9、行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q。基为D是Q的7维子空间。0 01 1-1-10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0-1-11 10 0第13页/共29页例6 67 79 98 81212 6 65 57 75 51010 9 96 67 77 77 79 9R=C=D=30（4）要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为0 01 10 0-1-11 10 0-1-1 0 0-1-1 0 00 01 10 0-1-1 1 10 00 00 00 00 01 10 00 0-1-1-1-1 0 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 1

10、0 00 00 00 00 00 01 10 00 01 10 0第14页/共29页（5）对数字没有任何要求的数字方16维空间M空间维数0 1 5 7 8 10 16思考思考能否构造出其他维数的数字方？能否构造出其他维数的数字方？第15页/共29页练习练习完成下面的Durer方6 614149 948488 87 711116 67 79 98 85 59 97 7R=C=D=S=30R=C=D=S=100第16页/共29页作业作业构造你自己认为有意义的Durer方。6 67 79 98 81212 5 55 58 86 61111 9 94 46 67 77 71010第17页/共29页植物

11、基因的分布植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？第18页/共29页1 建模准备建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因基因，形成了自己的基因对，基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型基因型。第19页/共29页如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa

12、。金鱼草花的颜色金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。人类眼睛的颜色人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。如第20页/共29页父体父体父体父体-母体的基因对母体的基因对母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aaAA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后后后代代代代基基基基因因因因对对对

13、对AAAA1 11/21/20 01/41/40 00 0AaAa0 01/21/21 11/21/21/21/20 0aaaa0 00 00 01/41/41/21/21 1双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵第21页/共29页2 假设假设分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。第n代植物的基因型分布为表示植物基因型初始分布。假设1第22页/共29页假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。父体父体父体父体-母体的基因对母体的基因对母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aaAA-AA AA-Aa AA-aa后后后后代代代代基基基基因因因因对对对对AAAA1 11/21/20 0AaAa0 01/21/21 1aaaa0 00 00 03 建模建模第23页/共29页第24页/共29页4 求解模型求解模型关键计算特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。特征值为1，1/2，0的特征向量分别为第25页/共29页则第26页/共29页第27页/共29页当 时，经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。5 结论结论第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页