第三章 逻辑代数与逻辑函数精选PPT.ppt

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1、第三章逻辑代数与逻辑函数第1页，本讲稿共29页3.1基本逻辑运算基本逻辑运算数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数是由逻辑变量是由逻辑变量A，B，C和基本逻辑运算符号和基本逻辑运算符号(与与)、+（或）、（或）、（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：如：F=BC+A=F(A,B,C)式中式中A、B、C称为称为原变量原变量，称为对应的称为对应的反变量反变量，F称为逻称为逻辑函数（辑函数（

2、称为称为F的逻辑反函数）。的逻辑反函数）。一.一.基本公式基本公式1.变量与常数的计算公式：变量与常数的计算公式：A0=0A1=AA+1=1A+0=AA 1=A 0=A2.变量与变量的计算：变量与变量的计算：AA=AA+A=AA=0A+=1A=AA A=0A=1第2页，本讲稿共29页二二.基本运算定律基本运算定律1.交换律：交换律：AB=BAA+B=B+AA B=B A2.结合律：结合律：A(BC)=(AB)C(A+B)+C=A+(B+C)(A B)C=A(B C)3.分配律：分配律：A(BC)=ABACA(BC)=(AB)(AC)3.吸收律：吸收律：B+A=A+BAB+C+BC=AB+C5.

3、反演律反演律(摩根定律摩根定律)：AB=A+BA+B=AB以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。例例1利用基本公式证明利用基本公式证明AB+C+BC=AB+C。证：左边证：左边=AB+C+(A+)BC=AB+C+ABC+BC=AB(1+C)+C(1+B)=AB+C=右边右边如果如果AB+C+BCEFG=?第3页，本讲稿共29页三三.基本运算规则基本运算规则1 1运算顺序运算顺序在在逻逻辑辑代代数数中中，运运算算优优先先顺顺序序为为:先先算算括括号号，再再是是非非运运算算，然然后是与运算，最后是或运算。后是与运算，最后是或运算。2 2代入规则代入

4、规则在在逻逻辑辑等等式式中中，如如果果将将等等式式两两边边出出现现某某一一变变量量的的位位置置都都代代之之以以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。3.反演反演规则规则在逻辑在逻辑求求F函数的反函数，只要将函数的反函数，只要将F式中式中与与+互换，互换，0与与1互互换，换，原变量原变量与与反变量反变量互换，互换，其余符号和运算顺序不变其余符号和运算顺序不变。例例如如，已已知知。若若用用Z=AC代代替替等等式式中中的的A，根根据据代代入规则，等式仍然成立，即入规则，等式仍然成立，即第4页，本讲稿共29页3.2逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换

5、和化简一一.逻辑函数的变换逻辑函数的变换利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。可以用与非门电路来实现。与或表达式：与或表达式：F=AB+AC(F=AB+AC(先与再或先与再或)或与表达式：或与表达式：G=(A+B

6、)(A+C)(G=(A+B)(A+C)(先或再与先或再与)与非与非表达式：与非与非表达式：F=AB AC(F=AB AC(又称为又称为与非表达式与非表达式)或非或非表达式：或非或非表达式：G=A+B+A+C(G=A+B+A+C(又称为或非表达式又称为或非表达式)与或非表达式：与或非表达式：L=AB+AC(L=AB+AC(先与再或最后非先与再或最后非)第5页，本讲稿共29页二二.逻辑函数代数法化简逻辑函数代数法化简1.1.消去多余项：消去多余项：2.2.消去合并项：消去合并项：3.3.消去因子消去因子:4.4.添加项配项：添加项配项：对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑对较简单逻辑函

7、数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简逻辑表达式的方法。逻辑表达式的方法。例例 F=AB+ABC(E+F)F=AB+ABC(E+F)例例 F=ABC+ABC F=ABC+ABC 例例 F=AB+AC+BC F=AB+AC+BC例例 F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC+AB=AB=AB=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+AC=AB+BC+AC最简与或表达式有两

8、个特点最简与或表达式有两个特点:1与项与项(即乘积项即乘积项)的个数最的个数最少少;2每个与项中变量的个数最少。每个与项中变量的个数最少。第6页，本讲稿共29页例：根据真值表写出函数例：根据真值表写出函数T1和和T2的与或表达式和与非表达式。的与或表达式和与非表达式。解：解：输输入入A B CA B C输输出出T T1 1输输出出T T2 20 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 1

9、T1=AB+AC=ABCT2=AC+AB=ACAB第7页，本讲稿共29页3.3逻辑函数的卡诺图化简法与变换逻辑函数的卡诺图化简法与变换一一.最小项最小项特点特点：1.1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；2.2.每个乘积项每个乘积项中中，同一，同一原、反变量只能出现原、反变量只能出现1 1次；次；3.n 3.n个原变量的最小项最多有个原变量的最小项最多有2 2n n个。个。性质性质：对变量的任一取值，只有一个最小项为对变量的任一取值，只有一个最小项为1 1；两个最小项之积为两个最小项之积为0 0；全部最小项之和为；全部最小项之和为1 1。在含有三个

10、输入变量在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中，的逻辑函数中，A、B、C的所有取值可以构成的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为种不同状态，用变量表示为8个乘个乘积项：积项：ABCABCABCABCABCABCABCABC，它们统称为逻辑函数的它们统称为逻辑函数的最小项最小项。第8页，本讲稿共29页二二.最小项最小项(标准标准)表达式表达式对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前面对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小项讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。之和组成的表达

11、式来表示，也是唯一的。用最小项表示的逻用最小项表示的逻辑函数称为最小项辑函数称为最小项(标准标准)表达式，其表达式是唯一的。表达式，其表达式是唯一的。例：例：F=ABC+ABC+ABC最小项表达式还可简写为最小项表达式还可简写为F=mi，式中，式中mi表示最小项，表示最小项，下标下标i是最小项值为是最小项值为1时对应变量的时对应变量的十进制数值十进制数值。上例可写为上例可写为F（A,B,C）=m1+m6+m7=m(1,6,7)=(1,6,7)第9页，本讲稿共29页(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标，最小项的的下标，最小项

12、的逻辑取值逻辑取值填入相应方格；填入相应方格；(2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取值，变量取值的排序不能改变；值，变量取值的排序不能改变；(3)相邻的相邻的2个方格称为逻辑相邻项（简称个方格称为逻辑相邻项（简称相邻项相邻项），相邻项），相邻项中只有中只有1对变量对变量互为反变量互为反变量，而其余变量完全相同。，而其余变量完全相同。(4)卡诺图一列中最上和最下卡诺图一列中最上和最下2个方格是个方格是相邻项相邻项；一行中最左；一行中最左和最右和最右2个方格是个方格是相邻项相邻项。三三.卡诺图卡诺图23BA010101BCA00 01

13、 11100211306574CDAB00011110000111102130657414131512109118二变量三变量四变量第10页，本讲稿共29页1.1.由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图 四四.逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）填诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。2130657400101110BCA00011110

14、01第11页，本讲稿共29页2.由逻辑函数表达式画出的卡诺图由逻辑函数表达式画出的卡诺图四四.逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示10011011例：画出例：画出F=AB+C+ABC的卡诺图。的卡诺图。解：先写标准表达式，再画卡诺图解：先写标准表达式，再画卡诺图F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m(7,6,4,2,0)直接画出卡诺图直接画出卡诺图BCA0001111001BCA0001111001A=1B=1C=0C=0A=0B=110011011BCA0001111001如果逻辑函数中含有与非项或如果逻辑函数中含有与非项或或非项，

15、应先利用反演律去掉，或非项，应先利用反演律去掉，再按上述方法画出卡诺图再按上述方法画出卡诺图。例。例第12页，本讲稿共29页五五.卡诺图化简卡诺图化简1.化简依据：化简依据：图中任何图中任何2=21个为个为1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，并消去个与项，并消去一一个变量；个变量；任何任何4=22个为个为1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，消去个与项，消去2个变量；个变量；任何任何2K个为个为1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，消去个与项，消去K个变量。个变量。2.化简步骤化简步骤:将为将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内的相邻项（方格）尽可能多的

16、圈出，每个圈内1的个的个数满足数满足2k；方格方格1可以重复使用可以重复使用,每个圈要有新每个圈要有新1；必须圈完所有的必须圈完所有的1，独立，独立1对应一个最小项；对应一个最小项；将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到最简与或表达式。最简与或表达式。第13页，本讲稿共29页例：例：用卡诺图化简下列函数：用卡诺图化简下列函数：F1=ABC+ABC+ABC+ABC F2=ABC+ACD+ABCD+ABCBCA00011110011 11 11 11 1F F1 1=B BF2=BD+BC+ACD1111111CDAB000111100

17、0011110第14页，本讲稿共29页练习练习化简下列逻辑函数为最简与或函数式：化简下列逻辑函数为最简与或函数式：F1=XYZ+XY+XYZF2=BCD+AC+AB+BCDF3=ABC+ABC+ABC+ABC解：解：1YZX00 01 11 10011 11 11 11 1F1=(7,5,4,6)=XF3=(4,5,6,7)1 11 11 11 1BCA00 01 11 1001F2=AC+BC=ACDAB00011110000111101 11 11 11 11 11 11 11 1第15页，本讲稿共29页3.3.含有无关项的化简含有无关项的化简 约束项约束项(不允许或不会出现的最小项不允许

18、或不会出现的最小项)和任意项和任意项(最小最小项可任意取值项可任意取值)统称为无关项。常用统称为无关项。常用dd表示。表示。无关项在卡诺图中用无关项在卡诺图中用表示，既可看作表示，既可看作1 1，也可看作，也可看作0 0，视具体情况而定。例如：，视具体情况而定。例如：F(A,B,C,D)=m(4,6,8,9,10,12,13,14)+d(0,2,5)CDAB0001111000011110205137151164141312109811111111F=D+AC00000第16页，本讲稿共29页例：用例：用8421BCD码表示的码表示的1位十进制数，当位十进制数，当十进制数为奇数时，电路输出为十

19、进制数为奇数时，电路输出为1，当十，当十进制数为偶数时，电路输出为进制数为偶数时，电路输出为0。试写出。试写出上述逻辑关系的最简与或表达式上述逻辑关系的最简与或表达式解：解：CDAB00011110000111101111100000F=D十十进进制数制数输输入入变变量量A B C DA B C D输输出出F F0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 90 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 1 00 0 1 00 0 1 10 0 1 10 1 0 00 1 0 00 1 0 10 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 1 10 1 1 11

20、 0 0 01 0 0 01 0 0 11 0 0 10 01 10 01 10 01 10 01 10 01 1无无关关项项1 0 1 01 0 1 01 0 1 11 0 1 11 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 0 11 1 1 01 1 1 01 1 1 11 1 1 1F(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,9)+d(11,12,13,14,15)F=AD+BCD000000第17页，本讲稿共29页六六.卡诺图变换卡诺图变换1.与或转换为或与与或转换为或与转换原理转换原理F=AD+AC+BD+BCF=AB+CDF=AB+CD=（A+B)(C+D)化简步骤化简步骤:将为

21、将为0的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内0的个的个数满足数满足2k；方格方格0可以重复使用可以重复使用,每个圈要有新每个圈要有新0,必须圈完所有的必须圈完所有的0；将所有包围圈内的最小项合并成对应或项，注意：合并后将所有包围圈内的最小项合并成对应或项，注意：合并后变量变量取值为取值为0用原变量用原变量，取值为取值为1用反原变量；用反原变量；相与所有或项相与所有或项得到最简得到最简或与或与表达式。表达式。CDAB00011110000111100000011101110111第18页，本讲稿共29页2.与或转换为与或非与或转换为与或非转换原理转换原理

22、将将F=AC+AD+BC+BD转换为与或非表达式。转换为与或非表达式。F=AB+CDF=AB+CD化简步骤化简步骤:将为将为0的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内0的个的个数满足数满足2k；按圈按圈1化简，得到反函数的与或形式；化简，得到反函数的与或形式；将反函数两边求反得到最简与或非表达式。将反函数两边求反得到最简与或非表达式。六六.卡诺图变换卡诺图变换CDAB00011110000111101011101100001011第19页，本讲稿共29页六六.卡诺图变换卡诺图变换3.与或转换为或非与或转换为或非化简步骤化简步骤:先将与或转换为或与形式；先

23、将与或转换为或与形式；再利用摩根定理将或与转换为或非表达式。再利用摩根定理将或与转换为或非表达式。举例举例将将F=ABD+AD+BD+ABC转换为或非表达式转换为或非表达式:F=(A+B+D)(B+D)(A+C+D)F=(A+B+D)+(B+D)+(A+C+D)CDAB00011110000111100110100110011011第20页，本讲稿共29页3.4逻辑函数门电路的实现逻辑函数门电路的实现逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函数。数。逻辑

24、函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接近于逻辑电路设计的工程实际。近于逻辑电路设计的工程实际。由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也不同。不同。第21页，本讲稿共29页例如例如:用逻辑门实现逻辑函数用逻辑门实现逻辑函数F

25、=AB+AC+BC。解：可用解：可用3个与门和个与门和1个或门，连接成先个或门，连接成先“与与”后后“或或”的逻的逻辑电路。辑电路。第22页，本讲稿共29页F=AB+AC+BC=若用若用4个与非门实现该个与非门实现该逻辑函数逻辑函数在所有基本逻辑门中，与在所有基本逻辑门中，与非门是工程实际中大量应非门是工程实际中大量应用的逻辑门，单独使用与用的逻辑门，单独使用与非门可以实现任何组合的非门可以实现任何组合的逻辑函数。逻辑函数。第23页，本讲稿共29页例：已知某电路的输入例：已知某电路的输入A A、B B、C C及输出及输出F F波形如图所示，试分析波形如图所示，试分析该电路的逻辑功能，（该电路的

26、逻辑功能，（1 1）用与非门画出其等效的逻辑电路，）用与非门画出其等效的逻辑电路，（2 2）用或非门画出其等效的逻辑电路。）用或非门画出其等效的逻辑电路。解：解：1)在波形图标出对应的逻辑值在波形图标出对应的逻辑值2)写出逻辑表达式并化简写出逻辑表达式并化简00001010111111010000001001001101100010101111011100003)画出逻辑电路画出逻辑电路00101010BCA0001111001第24页，本讲稿共29页练习练习1CDAB00011110000111101 11 11 11 11 11 11 11 1 求最简与或函数式并用与非门实现，画出逻辑图。

27、求最简与或函数式并用与非门实现，画出逻辑图。F(A,B,C,D)=m(0,2,3,6,7,8,14,15)解解：=BCACBCDF=BC+AC+BCD&ABCDF&第25页，本讲稿共29页YZWX011110000111101 11 11 11 11 11 1用四个与非门实现逻辑函数，画出逻辑图。用四个与非门实现逻辑函数，画出逻辑图。F=WXZ+WYZ+XYZ+WXYZ，d=WYZ 解解：F=XZ+XY=XZXY&XYZF2第26页，本讲稿共29页1 11 11 1用两个或非门实现逻辑函数，画出逻辑图，允许反变量输用两个或非门实现逻辑函数，画出逻辑图，允许反变量输入。入。F=ABC+ABD+A

28、BD，d=ABC+ABD 解解：=B+D+A+C=B+D+A+C0 00 00 00 00 00 00 0CDAB01111000011110001 11 1F=BD+AB+BC=B(D+A+C)F=BD+AB+BC=B(D+A+C)3第27页，本讲稿共29页小结小结 1一个逻辑问题可用逻辑函数（逻辑表达式）、真值表、一个逻辑问题可用逻辑函数（逻辑表达式）、真值表、卡诺图、波形图和逻辑电路图描述。卡诺图、波形图和逻辑电路图描述。2用真值表、最小项表达式和卡诺图表示的逻辑函数是用真值表、最小项表达式和卡诺图表示的逻辑函数是唯一的。唯一的。3逻辑函数化简和变换的方法：逻辑代数法和卡诺图法。逻辑函数化简和变换的方法：逻辑代数法和卡诺图法。第28页，本讲稿共29页作业作业3-3-1（2）（）（4）（）（8）（）（9）（）（12）。）。3-33-6双数。双数。3-7（5）（）（9）。）。3-153-18第29页，本讲稿共29页