第三章 一维定态问题精选PPT.ppt

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1、第三章 一维定态问题第1页，本讲稿共54页一维无限深势阱一维无限深势阱（一）一维运动（一）一维运动 （二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 （三）宇称（三）宇称 （四）讨论（四）讨论第2页，本讲稿共54页（一）（一）一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z)=VV(x,y,z)=V1 1(x)+V(x)+V2 2(y)+V(y)+V3 3(z)(z)形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 (x,y

2、,z)=X(x)Y(y)Z(z)(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=E E=Ex x+E+Ey y+E+Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z)V(x,y,z)中运动时，其中运动时，其 Schrodinger Schrodinger 方程为方程为：第3页，本讲稿共54页其中其中第4页，本讲稿共54页（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步：（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 （2 2）解方程）解方程 （3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条

3、件定解 （4 4）定归一化系数）定归一化系数-a 0 aV(x)IIIIII第5页，本讲稿共54页（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为：-a 0 aV(x)IIIIII势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I I、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x),(x),IIII(x)(x)和和 IIIIII(x)(x)。则方程为：则方程为：2 2第6页，本讲稿共54页（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的

4、势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a)=(a)=0(-a)=(a)=0。-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立；2 2。有限：当。有限：当x x -，有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。第7页，本讲稿共54页使用标准条件使用标准条件 3 3 连续：连续：2 2）波函数导数连续：波函数导数连续：在边界在边界 x=-a x=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若若I I(-a)(-a)=IIII(-a)(

5、-a)，则有，则有，0=A cos(-a+)0=A cos(-a+)与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a+)=0 A sin(-a+)=0 矛盾，二矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。1 1）波函数连续：）波函数连续：-a 0 aV(x)IIIIII第8页，本讲稿共54页(1)+(2)(2)-(1)两种情况：两种情况：由（由（4 4）式）式第9页，本讲稿共54页讨论讨论状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即于是：于是：或或第1

6、0页，本讲稿共54页于是波于是波函数：函数：由（由（3 3）式）式类似类似 I I 中关于中关于 n=n=m m 的讨的讨论可知：论可知：第11页，本讲稿共54页综合综合 I I、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m=2 n m=2 n对应对应 m=2n+1 m=2n+1能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。第12页，本讲稿共54页由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，处，=0 =0。这样的状态，称为束缚

7、态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。成分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A A第13页，本讲稿共54页 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S方程；方程；二、求解二、求解S S方程；方程；l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值 l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化

8、系数）。四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。第14页，本讲稿共54页（三）宇称（三）宇称（1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有：称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称）；（3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。第15页，本讲稿共54页（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态（2）n=0,E=0,=0，态不存在，无意不存在，无意义。而而n=k,k

9、=1,2,.可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n=1,n=1,基态，基态，与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表 现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没 有意义的。有意义的。第16页，本讲稿共54页（4 4）n n*(x)=(x)=n n(x)(x)即波函数是实函数。即波函数是实函数。（5 5）定定 态 波波 函函 数数（3 3）波函数宇称）波函数宇称第17页，本讲稿共54页2 2 线性谐振子线性谐振子（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 （2 2）为什么研究线性谐

10、振子）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子（二）线性谐振子 （1 1）方程的建立）方程的建立 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件）应用标准条件 （4 4）厄密多项式）厄密多项式 （5 5）求归一化系数）求归一化系数 （6 6）讨论（三）实例（三）实例第18页，本讲稿共54页（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的的势势场场中运动的粒子中运动的粒子。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受的粒子，受弹性力弹性力F=-kxF=-kx作用，由牛顿第二定律可作用，由牛顿第二定律可以

11、写出运动方程为：以写出运动方程为：其解为其解为 x=Asin(t+)x=Asin(t+)。这种运动称为简谐。这种运动称为简谐振动，振动，作这种运动的粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0=0=0，即平，即平衡位置处于势衡位置处于势 V=V=0 0 点，则点，则第19页，本讲稿共54页（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子物理上：物理上：势场在平衡位置展开为谐振子势。势场在平衡位置展开为谐振子势。任何连续谐振子体系任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合无穷多个谐振子集合 辐射场辐射场简谐波的叠加简谐波的叠加 原子核表面振动，理想固体（无穷个振子）原子核表面振动，

12、理想固体（无穷个振子）可以严格求解的物理势（非间断势）可以严格求解的物理势（非间断势）例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，如图所示。的函数，如图所示。在在 x=a x=a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0。在。在 x=a x=a 附近势可以展开成泰勒附近势可以展开成泰勒级数：级数：axV(x)0V0第20页，本讲稿共54页取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V(a,V0 0)，则势可表示为标准谐振子势，则势可表示为标准谐振子势的形式：的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似可见，一些复杂

13、的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。描述。axV(x)0V0第21页，本讲稿共54页数学上：学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学，看物理第22页，本讲稿共54页（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件）应用标准条件 （4 4）厄密多项式）厄密多项式 （5 5）求归一化系数）求归一化系数 （6 6）讨论第23页，本讲稿共54页（1 1）方程的建立）方程的建立线性谐振子的线性谐振子的 Hamilton Hamilton量：量：则 Schrodinger 方程可写方程可写为：无量纲化，引入无量纲变量无量纲化

14、，引入无量纲变量代替代替x x，此式是一变系数此式是一变系数 二阶常微分方程二阶常微分方程第24页，本讲稿共54页（2 2）求解）求解 ：方程在两边边界的渐近行为：方程在两边边界的渐近行为为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 时波函数时波函数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下，2 2，于是方程变为：于是方程变为：其解为：其解为：=exp=exp2 2/2/2，1.1.渐近解渐近解波函数有限性条件：波函数有限性条件：当当 时，应有时，应有 c c2 2=0=0，第25页，本讲稿共54页其中其中 H()H()必须满足波函数的单值、有限、连续的标准

15、条件。必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：即：当当有限时，有限时，H()H()有限；有限；当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证()0()0。将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H()H()所满足的方程：所满足的方程：2.H()2.H()满足的方程满足的方程第26页，本讲稿共54页3.3.级数解级数解我们以级数形式来求解。我们以级数形式来求解。为此令：为此令：用用 k k 代替代替 k k第27页，本讲稿共54页由上式可以看出：由上式可以看出：b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数；b b1 1 决定所

16、有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0,b1=0.Heven();b1 0,b0=0.Hodd().即：即：b bk+2k+2(k+2)(k+1)-b(k+2)(k+1)-bk k 2k+b 2k+bk k(-1)=0(-1)=0 从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：该式对任意该式对任意都成立，都成立，故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为：H=co

17、 Hodd+ce Heven =(co Hodd+ce Heven e)exp-2/2第28页，本讲稿共54页（3 3）应用）应用标准条件标准条件(I)=0 exp-2/2|=0=1 Heven()|=0=b0 Hodd()|=0=0 皆有限皆有限(II)需要考需要考虑无无穷级数数H()的收的收敛性性为此考察相邻为此考察相邻 两项之比：两项之比：考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的的 展开式的收敛性展开式的收敛性比较二级数可知：比较二级数可知：当当时时，H()H()的渐近的渐近 行为与行为与expexp2 2 相同。相同。单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足，只剩下

18、第三个有限性条件需要进行讨论。只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0,x x=0,x 或或=0,=0,。第29页，本讲稿共54页所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H()必须从某一项截断变成一个多项式。必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求换言之，要求 H()H()从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以后各项的系

19、数均为以后各项的系数均为零，即零，即 b bn n 0,b 0,bn+2n+2=0.=0.代入代入递推关系推关系)得得：结论结论 基于波函数基于波函数 在无穷远处的在无穷远处的 有限性条件导致了有限性条件导致了 能量必须取能量必须取 分立值。分立值。第30页，本讲稿共54页（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H()H()的的 一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为多项式，记为 H Hn n()()，于是总波，于是总波 函数可表示为：函数可表示为：由上式可以看出，由上式可以看出，Hn()的最高次的最高次幂是是 n 其系数是其系

20、数是 2n。归一化系数一化系数H Hn n()()也可写成封闭形式：也可写成封闭形式：=2n+1=2n+1第31页，本讲稿共54页厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：应应 用用 实实 例例例：已知例：已知 H H0 0=1,H=1,H1 1=2=2，则，则 根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出：H H2 2=2H=2H1 1-2nH-2nH0 0 =4 =42 2-2-2下面给出前几个厄密下面给出前几个厄密 多项式具体表达式：多项式具体表达式：H H0 0=1 =1 H

21、H2 2=4=42 2-2-2 H H4 4=16=164 4-48-482 2+12+12 H H1 1=2=2 H H3 3=8=83 3-12-12 H H5 5=32=325 5-160-1603 3+120+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的递推关系：的递推关系：第32页，本讲稿共54页（5 5）求归一化系数）求归一化系数(分分 步步 积 分分)该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp-exp-2 2 的的 乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步分步积分到底分

22、到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项 n n的系数是的系数是2 2n n，所以，所以 d dn nH Hn n/d/dn n=2=2n n n!n!。于是于是归一化系数一化系数则谐振子振子 波函数波函数为：(I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x=x，所以所以d=dxd=dx；(II)(II)应用应用H Hn n()()的封闭形式。的封闭形式。第33页，本讲稿共54页（6 6）讨论）讨论3.3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量值得注意的是，基态能量 E

23、E0 0=1/2=1/2 0 0，称为零点能。这与无穷深势，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零点能是量子效应。1 1。上式表明，。上式表明，H Hn n()()的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以：。所以：当当 n=n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项；当当 n=n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2.2.n n具有具有n n

24、宇称宇称上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数，所以的偶函数，所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n()()决定为决定为 n n 宇称。宇称。第34页，本讲稿共54页n=0n=1n=24.4.波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0 0()=|()=|0 0()|()|2 2=N=N0 02 2 exp-exp-2 2 分析上式可知：一方面表明在分析上式可知：一方面表明在=0=0处找到粒子的几率最大；处找到粒子的几率最大；另一方面，在另一方

25、面，在|1|1处，处，即在阱外找到粒子的几率不即在阱外找到粒子的几率不为零，为零，与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x|1|x|VE V0 0 情况情况因因为 E 0,E V0,所以所以 k1 0,k2 0.上面的方程可改写上面的方程可改写为：上述三个区域的上述三个区域的 Schrodinger Schrodinger 方程可写为：方程可写为：第46页，本讲稿共54页定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/exp-iEt/即可看出：即可看出：式中第一项是

26、沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于在负向传播的平面波。由于在 x a x a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是解为：，于是解为：利用波函数标准条件来定系数。利用波函数标准条件来定系数。首先，首先，解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1.波函数波函数连续综合合 整理整理 记之之2.波函数波函数导数数连续波函数意义波函数意义第47页，本讲稿共54页3.3.求解线性方程组求解线性方程组4.4.透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得:为了定量描述入射粒子透射

27、势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数 D=JD=JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数：反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数 R=JR=JR R/J/JI I其物理意义是其物理意义是：描述贯穿到：描述贯穿到 x a x a 的的 III III区中的粒子在单区中的粒子在单位时间内流过垂位时间

28、内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射方向的单位面积的数目与入射粒子（在粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：第50页，本讲稿共54页（2 2）E VE V0 0情况情况故可令：故可令：k k2 2=ik=ik3 3，其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/-E)/1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ik ik3 3 并注意到：并注意到：sin ik sin ik3 3a=i sinh ka=i sinh k3 3a a即使即使 E

29、V E V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于并不等于零。零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/)/1/21/2，当，当 E V E 1a 1时时故故4可略可略透射系数则透射系数则变为：变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）,则则 D D0 0=4=4是一常数。下面是一常数。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。通过实例来说明透射系数的量级大小。于是：于是：第52页，本讲稿共54页例例1:1:入射粒子为电子。入射粒

30、子为电子。设 E=1eV,V0=2eV,a=2 10-8 cm=2，算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm=5 ，则 D 0.024，可，可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。质子与子与电子子质量比量比 p/e 1840。对于于a=2 则 D 2 10-38。可可见透射系数明透射系数明显的依的依赖于于 粒子的粒子的质量和量和势垒的的宽度。度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow 首先用首先用势垒穿透成功的穿透成功的说明明 了放射性元素的了放射性元素的衰衰变现象。象。例例2:2:入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。第53页，本讲稿共54页（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 x x1 1 x x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)V(x)的的 透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推此式的推导是不太是不太严格的，但格的，但该式与式与严格推格推导的的结果一致。果一致。0 a bV(x)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。dx第54页，本讲稿共54页