最优性条件及二次规划.pptx

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1、最优性条件二次规划重 点：最优性条件，二次规划难 点:最优性条件及应用基本要求：理解可行方向、下降方向、有效约束等概念，掌握最优性条件，并会用其求解有约束极值问题，掌握二次规划模型及求解方法，理解序列二次规划的原理和特点。第第7讲讲 最优性条件和二次规划最优性条件和二次规划 第1页/共28页一、基本概念1 起作用（紧）约束 是(I)的可行解，若 则称 为 处的起作用（紧）约束。记 处起作用（紧）约束的下标集2 可行方向记或时有称 为 处的可行方向为（I）或（II）的可行域定义:最优性条件（最优性条件（5.1）p第2页/共28页若 是 的任一可行方向，则有3 下降方向时有称 为 处的下降方向若

2、是 的任一下降方向，则有若既满足（1）式又满足（2）式则称 为 的下 降可行方向 定理1 为（I）的局部极小值点，在 处可微，在处可微在处连续则在 处不存在可行下降方向。即不存在向量同时成立判别条件判别条件定义:第3页/共28页二、最优性条件1、Gordan引理设为 个 维向量，不存在向量P 使得成立的充要条件是存在不全为零的非负数，使得成立第4页/共28页2、Fritze John定理(3)成立1(4)(5)(6)第5页/共28页3Kuhn-Tucker条件 设x*是非线性规划（I）的局部极小点有一阶连续偏导而且X*处的所有起作用约束梯度线性无关，则存在数使得（7）成立第6页/共28页成立（

3、3）（7）并令即得第7页/共28页 若x*是非线性规划(II)的局部极小点，且x*点的所有起作用约束的梯度和线性无关。则存在向量使得（7）其中称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。第8页/共28页库恩塔克条件是确定某点为最优点的必要条件，只要是最优点且此处起作用约束的梯度线性无关。就必须满足这个条件。但一般说来它并不是充分条件，因而，满足这个条件的点不一定就是最优点。对于凸规划，库恩塔克条件不但是最优点存在的必要条件，它同时也是充分条件。第9页/共28页某非线性规划的可行解X(k)，假定此处有两个起作用约束，若X（k）是极小点，则必处于的夹角之间，否则，X（k）点处必存在可行下降方向，它就

4、不会是极小点。如右图所示。库恩塔克条件的几何解释：且其梯度线性无关。第10页/共28页三 举例例求的极大值点。并验证其是否为K-T点。说明理由。解：1如上图所示，阴影部分为可行域R，红色直线为目标函数的等值线。显然最大值点为（1，0）。R将原问题标准化x1x20第11页/共28页K-T条件第12页/共28页（1）（2）（3）（5）（4）（1）式为代入上式，得：故不是K-T点。第13页/共28页的起作用约束为线性相关不是K-T点。自己验证是F-J点。第14页/共28页例2 用K-T条件，求解非线性规划解：1 验证该问题为凸规划原问题标准化为半正定，负定是凸函数是凹函数故该问题为凸规划。所以第15

5、页/共28页2 求K-T点该问题的K-T条件为（1）（2）（3）（4）是K-T点(i)(ii)（5）讨论第16页/共28页(iii)将求出的 带入（6）式都不满足故该问题有唯一的K-T点 即为极小值点，(iv)第17页/共28页二次规划的数学模型可表示为：二次规划的数学模型变形为：（I）（II）二次规划(5.2)第18页/共28页其中：书中 为行向量第19页/共28页（III）第20页/共28页例1 求解二次规划问题（例5-3）解：写出问题对应的矩阵形式如下：这就形成了式（III）所需要的全部信息：（III）第21页/共28页为解此方程组，引入人工变量R1 和R2，目标函数为max z=-R1

6、-R2对应的初始单纯形表见表5-1。第22页/共28页第23页/共28页第24页/共28页例2 求解二次规划（自己练习）第25页/共28页序列二次规划(5.3)序列二次规划的思路序列二次规划（SQP）算法是将复杂的有约束极值问题转化为比较简单的二次规划（QP）问题求解的算法。利用泰勒展开把有约束极值问题的目标函数 在迭代点 展开成二次函数，将约束条件在迭代点 展开成线性函数得到如下二次规划问题：此问题是原有约束极值问题的近似问题，但其解不一定是可行解。为此，将上述二次规划问题变成变量 的问题，即（IV)第26页/共28页求解（V）得到迭代的搜索方向,并沿该方向进行一维搜索，得到新的迭代点 ，依此下去，直到满足收敛条件为止。（V）将（IV）化为如下二次规划作业：习题5 1，2（2）第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页