第九节常系数非齐次线形微分方程精选PPT.ppt

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1、第九节常系数非齐次线形微分方第九节常系数非齐次线形微分方程程第1页，本讲稿共29页复习：二阶常系数非齐次线性方程通解结构复习：二阶常系数非齐次线性方程通解结构通解通解难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.（1）（2）齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解第2页，本讲稿共29页待定系数法：待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值解中包含的常数的值特点：特点：一、待定系数法介绍第3页，本讲稿共29页设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程二、型第4页，本讲稿共29页综上讨论综上讨论注意注意上述结论可

2、推广到上述结论可推广到n n 阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程（k k是根的重数）是根的重数）.第5页，本讲稿共29页例例1求求的通解的通解解：解：代入方程代入方程比较同次幂系数有比较同次幂系数有求出求出通解通解第6页，本讲稿共29页例例2.的通解的通解.解解:本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，本讲稿共29页解解对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为特征方程为特征方程为代

3、入方程代入方程,解得解得原方程通解为原方程通解为例例第8页，本讲稿共29页例例4 4解解根据曲线积分与路径无关得条件：根据曲线积分与路径无关得条件：第9页，本讲稿共29页第10页，本讲稿共29页例例5 5解解特征方程为特征方程为其特征其特征根为根为故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为第11页，本讲稿共29页所求特解为所求特解为解得解得由初始条件得由初始条件得第12页，本讲稿共29页三 型利用欧拉公式，把三角函数表为复变指数函数形式，利用欧拉公式，把三角函数表为复变指数函数形式，第13页，本讲稿共29页原方程的特解可设为原方程的特解可设为第14页，本讲稿共29页上述求

4、法可推广到上述求法可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.第15页，本讲稿共29页特解特解小结小结第16页，本讲稿共29页例例1 1与所给方程对应的齐次方程为与所给方程对应的齐次方程为特征方程为特征方程为所以应设特解为所以应设特解为代入所给方程，得代入所给方程，得解解第17页，本讲稿共29页比较两端同类项的系数，得比较两端同类项的系数，得解得解得求得一个特解为求得一个特解为第18页，本讲稿共29页解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例11第19页，本讲稿共29页所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）（

5、取实部）注意注意第20页，本讲稿共29页例例2的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，本讲稿共29页例例3.解解:(1)特征方程特征方程有二重根有二重根所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(2)特征方程特征方程有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的设下列高阶常系数线性

6、非齐次方程的特解特解形式形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，本讲稿共29页例例4.求物体的运动规律求物体的运动规律.解解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时,齐次通解齐次通解:非齐次特解形式非齐次特解形式:因此原方程因此原方程之解为之解为第第6节例节例1(P323)中若设物体只受弹性恢复力中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力和铅直干扰力代入代入可得可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，本讲稿共29页当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p=k 时,非齐次特解形式:代入可得:方程的解为 机动 目

7、录 上页 下页 返回 结束 第24页，本讲稿共29页若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽量靠近,或使 随着 t 的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k;p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共29页解解例例5 5这是一个积分方程这是一个积分方程第26页，本讲稿共29页第27页，本讲稿共29页故所求函数为故所求函数为第28页，本讲稿共29页小结小结(3).(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.第29页，本讲稿共29页