定积分的换元法PPT讲稿.ppt

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1、定积分的换元法第1页，共37页，编辑于2022年，星期六先来看一个例子先来看一个例子例例1换元求不定积分换元求不定积分令令则则故故第2页，共37页，编辑于2022年，星期六为去掉根号为去掉根号令令则则 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 相应地相应地从从1连续地增加到连续地增加到3于是于是尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分第3页，共37页，编辑于2022年，星期六将上例一般化就得到定积分的换元积分公式将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变

2、换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量量第4页，共37页，编辑于2022年，星期六一、换元公式一、换元公式第5页，共37页，编辑于2022年，星期六证证第6页，共37页，编辑于2022年，星期六第7页，共37页，编辑于2022年，星期六应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第8页，共37页，编辑于2022年，星期六计算计算解解1由定积分的几何意义由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积等于圆

3、周的第一象限部分的面积解解2 故故o例例2第9页，共37页，编辑于2022年，星期六令令解解4令令仍可得到上述结果仍可得到上述结果解解3第10页，共37页，编辑于2022年，星期六解解令令 例例3 3 计算计算第11页，共37页，编辑于2022年，星期六定积分的换元积分公式也可以反过来使用定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计为方便计将换元公式的左、右两边对调将换元公式的左、右两边对调同时把同时把 x 换成换成 t ，t 换成换成 x这说明可用这说明可用 引入新变量引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引

4、入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限整体视为新变量，则不必换限注注第12页，共37页，编辑于2022年，星期六例例4 4 计算计算解解第13页，共37页，编辑于2022年，星期六例例5 5 计算计算解解原式原式第14页，共37页，编辑于2022年，星期六例例6 6 计算计算解一解一令令原式原式第15页，共37页，编辑于2022年，星期六解二解二接解一接解一对对令令则则第16页，共37页，编辑于2022年，星期六证证第17页，共37页，编辑于2022年，星期六即：即：奇函数在对称区间上的积分等于奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的偶函数在对称区间上的积分等于

5、对称的 部分区间上积分的两倍部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第18页，共37页，编辑于2022年，星期六例例8 8 计算计算解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积第19页，共37页，编辑于2022年，星期六第20页，共37页，编辑于2022年，星期六（1）设）设（2）设）设证证第21页，共37页，编辑于2022年，星期六第22页，共37页，编辑于2022年，星期六另证另证 将上式改写为将上式改写为奇函数奇函数第23页，共37页，编辑于2022年，星期六例例10 设设 f(x)是以是以

6、L为周期的连续函数，证明为周期的连续函数，证明证明证明与与 a 的值无关的值无关第24页，共37页，编辑于2022年，星期六例例11 设设 f(x)连续，常数连续，常数 a 0 证明证明证明证明比较等式两边的被积函数知，比较等式两边的被积函数知，第25页，共37页，编辑于2022年，星期六第26页，共37页，编辑于2022年，星期六例例12 设设 f(x)连续连续解解第27页，共37页，编辑于2022年，星期六第28页，共37页，编辑于2022年，星期六第29页，共37页，编辑于2022年，星期六定积分的换元法定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结二、小结第30页，共37页，编辑于2022年，星期六思考题思考题解解令令第31页，共37页，编辑于2022年，星期六 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是第32页，共37页，编辑于2022年，星期六练练 习习 题题第33页，共37页，编辑于2022年，星期六第34页，共37页，编辑于2022年，星期六第35页，共37页，编辑于2022年，星期六第36页，共37页，编辑于2022年，星期六练习题答案练习题答案第37页，共37页，编辑于2022年，星期六