复变函数与积分变换洛朗级数PPT讲稿.ppt
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1、复变函数与积分变换洛朗级数第1页,共22页,编辑于2022年,星期六 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.z0R1R2第2页,共22页,编辑于2022年,星期六讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:第3页,共22页,编辑于2022年,星期六只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2:这是z 的幂级数,设收敛半
2、径为R:对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到:则当|z-z0|R1时,即|z|R,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.第4页,共22页,编辑于2022年,星期六在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.第5页,共22页,编辑于2022年,星期六1Oxy第6页,共22页,编辑于2022年,星期六其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy第7页,共22页,编辑于2022年,星期六定理定理(
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