正态分布及其应用 (2).ppt
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1、医学统计学医学统计学 王友洁王友洁 email email 正态分布及其应用Normal distribution主要内容主要内容l正态分布的概念及其特征正态分布的概念及其特征l标准正态分布标准正态分布l医学参考值范围及其制定医学参考值范围及其制定 一一 正态分布正态分布(normal distribution)某地某地140名正常男子红细胞数的频数表名正常男子红细胞数的频数表 红细胞数红细胞数频频 数数 频频 率率(%)(%)累积频率累积频率(%)(%)3.80 2 1.4 1.41.44.00 6 4.3 5.75.74.20 11 7.913.613.64.40 25 17.9 31.5
2、31.54.60 32 22.9 54.454.44.80 27 19.3 73.773.75.00 17 12.1 85.885.85.20 13 9.3 95.195.15.40 4 2.9 98.098.05.60 2 1.4 99.499.45.80 6.00 1 0.7 100.0100.0合计合计140 -100.0100.0 140名正常男子红细胞计数的直方图名正常男子红细胞计数的直方图 频数f红细胞数红细胞数X频率密度频率/组距直方图形状相同,使各直方的面积相应于频率,其和为直方图形状相同,使各直方的面积相应于频率,其和为1(100%)某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布
3、示意图某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图 一、正态分布一、正态分布(Normal Distribution)(Normal Distribution)频率密度频率密度正态分布的概念正态分布的概念又称为又称为Gauss分布(分布(Gaussian distribution)。)。当原始数据的频数当原始数据的频数分布图的观察人数逐渐增加且组段分布图的观察人数逐渐增加且组段不断分细时,图中的直条就不断变不断分细时,图中的直条就不断变窄,其顶端则逐渐接近于一条光滑窄,其顶端则逐渐接近于一条光滑的曲线。的曲线。这条曲线形态呈钟形,两这条曲线形态呈钟形,两头低、中间高,左右对称,近似于头低、
4、中间高,左右对称,近似于数学上的正态分布数学上的正态分布。在处理资料时,。在处理资料时,我们就把它看成是我们就把它看成是正态分布。正态分布。正态分布曲线的数学函数表达式正态分布曲线的数学函数表达式l如果随机变量如果随机变量X的分布服从概率密度函数的分布服从概率密度函数l则称则称X服从正态分布,记作服从正态分布,记作XN(,2),为为X的的总体均数,总体均数,2为总体方差为总体方差正态分布有两个参数:正态分布有两个参数:和和 ,分别表示均数和标准差。分别表示均数和标准差。二、正态分布的特征二、正态分布的特征l钟型曲线,以钟型曲线,以为中心,左右完全对称,为中心,左右完全对称,两端与两端与X轴永不
5、相交轴永不相交l在在X=处,处,f(X)取最大值,取最大值,X越远离越远离,f(X)越小。越小。l曲线下面积分布有规律曲线下面积分布有规律lX轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1或或100%;l区间区间的面积为的面积为68.3%,区间区间1.96的面积为的面积为95%,区间区间2.58的面积为的面积为99%.l两个参数决定位置和变异:两个参数决定位置和变异:和和 图图3-2 正态分布曲线下的面积正态分布曲线下的面积 图图3-3 三种不同均值的正态分布三种不同均值的正态分布 两个参数决定位置和变异两个参数决定位置和变异是位置(即平均水平)是位置(即平均水平)参数,决定分布曲线在
6、横参数,决定分布曲线在横轴的偏倚位置轴的偏倚位置l是变异参数,决定分布是变异参数,决定分布曲线的形态曲线的形态图图3-4 三种不同标准差的正态分布三种不同标准差的正态分布 正态分布是一个分布族,对应于不同的参数正态分布是一个分布族,对应于不同的参数 和和 会产生不同位置、不同形状的正态分布。会产生不同位置、不同形状的正态分布。s sm m为了应用方便,为了应用方便,令:令:二、标准正态分布二、标准正态分布(Standard Normal Distribution)对对任何参数的正任何参数的正态态分布,都可以通分布,都可以通过过一个一个简单简单的的变变量量变换变换 化成化成 和和 的的标标准正准
7、正态态分布分布。通常,通常,可以利用可以利用标标准正准正态态分布表求出与原始分布表求出与原始变变量量X X 有有关的概率关的概率值值。此。此变换变换也称也称为标为标准化准化变换变换,或称,或称 Z Z或或u u变变换换 图图3-5 标准正态分布及曲线下面积标准正态分布及曲线下面积 l标准正态分布标准正态分布Z的概率密度函数为的概率密度函数为l即将即将XN(,2)的正态分布转化为的正态分布转化为Z N(0,12)的标的标准正态分布,准正态分布,Z称为标准正态变量,其分布函数为称为标准正态变量,其分布函数为 l根据上述公式制成附表根据上述公式制成附表1,欲求一定区间标准,欲求一定区间标准正态分布曲
8、线下的面积只需查表即可,且正态分布曲线下的面积只需查表即可,且l (z)=1-(-z)(z)例:已知X服从均数为标准差为的正态分布,试估计:(1)X取值在区间1.96内的概率;(2)X取值在区间2.58内的概率。l求求X取值在相应区间内的概率,首先要确定区间两端点取值在相应区间内的概率,首先要确定区间两端点所对应的所对应的Z值值查表,得查表,得(-1.96)=0.025,则则Z取值在(取值在(-1.96,1.96)的概率为)的概率为0.95,即,即X取值在区间取值在区间1.96内的概内的概率为率为0.95。95%99%例3-1:正常成年男子的红细胞计数近似服从正态分布,假设均值为4.78101
9、2/L,标准差为0.381012/L,试估计红细胞数在41012/L以下所占的比例。l先将先将4(1012/L)变换为相应的)变换为相应的值,即值,即l于是问题就转化成为求标准正态分布于是问题就转化成为求标准正态分布Z值小于值小于-2.05概概率。查附表率。查附表1得得(-2.05)=0.202,表明成年男子的红细,表明成年男子的红细胞数低于胞数低于4 1012/L的人约占总体的的人约占总体的2%。l求出在求出在4 1012/L5.5 1012/L范围内所占的范围内所占的比例比例l即求即求P(4.0X5.5)l例例3-2 上节课的例题中已计算出上节课的例题中已计算出101名正常成年女子名正常成
10、年女子的血清总胆固醇均数为的血清总胆固醇均数为4.03mmol/L,标准差为,标准差为0.659mmol/L。试估计该单位:正常成年女子血清。试估计该单位:正常成年女子血清总胆固醇在总胆固醇在4.00mmol/L以下者占正常女子总人数的以下者占正常女子总人数的百分比;在百分比;在4.005.00mmol/L之间者占正常女子总之间者占正常女子总人数的百分比;在人数的百分比;在5.00mmol/L以上者占正常女子总以上者占正常女子总人数的百分比。人数的百分比。由于此例样本含量较大,可用样本均数、标准差代替总体均数和标准差查附表查附表1得得(-0.05)=?,如何求?,如何求(1.47)?三、正态分
11、布的应用l正态分布除了可估计频数分布外,还是正态分布除了可估计频数分布外,还是许多统计方法的基础,并可应用于质量许多统计方法的基础,并可应用于质量控制及制定医学参考值范围。控制及制定医学参考值范围。一、基本概念一、基本概念l医学参考值:医学参考值:通常指包括绝大多数正常人的解剖、生理、生化、免疫通常指包括绝大多数正常人的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等各种生理生化指标常数。及组织代谢产物的含量等各种生理生化指标常数。l医学参考值范围:医学参考值范围:由于存在个体差异,生物医学数据并非常数而在一由于存在个体差异,生物医学数据并非常数而在一定范围内波动,故采用医学参考值范围作为判定正常
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- 正态分布及其应用 2 正态分布 及其 应用
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