第二章 数学中使用的一般科学方法精选PPT.ppt

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1、第二章 数学中使用的一般科学方法第1页，本讲稿共146页第二章第二章 数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法 在在当当代代，由由于于计计算算机机的的出出现现以以及及由由此此引引起起一一场场迅迅猛猛的的技技术术革革命命，数数学学中中“构构造造性性观观念念的的抬抬头头有有了了一一些些明明显显的的趋趋势势。”（吴吴文文俊俊），而而这这种种趋趋势势致致使使数数学学及及数数学学教教育育界界过过分分偏偏重重形形式式，强强调调逻逻辑辑思思维维能能力力，忽忽视视了了数数学学的的活活的的灵灵魂魂，对对于于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。第2页，本讲稿共146页第

2、二章第二章 数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法 20世世 纪纪 最最 伟伟 大大 的的 数数 学学 家家 冯冯诺诺 伊伊 曼曼（J.Von.Neumann）在在内内的的许许多多大大数数学学家家都都认认为为数数学学和和其其他他自自然然科科学学一一样样源源于于经经验验。冯冯诺诺伊伊曼曼就就曾曾指指出出：“大大多多数数最最好好的的数数学学灵灵感感来来源源于于经经验验”，“在在一一门门数数学学远远离离其其经经验验之之源源而而发发展展时时，存存在在着着一一种种危危险险，即即这这门门学学科科会会沿沿着着一一些些最最省省力力的的方方向向发发展展，并并分分为为数数众众多多而而无无意意义义的的支支

3、流流。唯唯一一的的解解决决办办法法是是使使其其回回到到其其本本源源，返返老老还还童童。”（引引自自数数学学家谈数学本质家谈数学本质）第3页，本讲稿共146页第二章第二章 数学中使用的一般数学中使用的一般科学方法科学方法 菲菲尔尔兹兹奖奖获获得得者者，日日本本数数学学家家小小平平邦邦彦彦说说过过：“物物理理学学可可以以说说是是研研究究自自然然现现象象中中物物理理现现象象的的科科学学，在在同同样样的的意意义义上上，数数学学就就是是研研究究自自然然现现象象中中数数学学现现象象的的科科学学。”由由此此可可见见，在在数数学学研研究究和和解解题题中中广广泛泛运运用用一一般般科科学学方方法法是是不不可可避避

4、免免的的。因因为为数数学学的的研研究究对对象象是是形形式式化化的的思思想想材材料料，尽尽管管它它起起源源于于经经验验，有有的的直直接接依依赖赖于于经经验验，但但毕毕竞竞舍舍弃弃了了事事物物的的具具体体内内容容。因因此此，数数学学在在使使用用一一般般科科学学方方法法时时，必必然然有有所所侧侧重重，具具有有自自己的特点。己的特点。第4页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 一一般般的的科科学学方方法法中中，观观察察和和实实验验是是收收集集科科学学事事实实，获获取取感感性性经经验验的的基基本本途途经经，是是形形成成、发发展展和和检检验验自自然然科科学学理理论论的的实实践践基基

5、础础。观观察察与与实实验验在在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。观观察察是是人人们们对对事事物物或或问问题题的的数数学学特特征征通通过过视视觉觉获获得得信信息息，运运用用思思维维辩辩认认其其形形式式、结结构构和和数数量量关关系系，从从而而发发现现某某些些规规律律或或性性质质、获获得得科科学学知知识识与与经经验验知知识识的的重要重要方法。方法。第5页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 尽尽管管观观察察是是最最原原始始最最基基本本的的方方法法之之一一，但但它它是是进进行行数数学学思思维维必必须须的的和和第第一一位位的的方方法法

6、，在在数数学学知知识识的的发发现现和和数数学学问问题题的的解解决决过过程程中中，观观察察也也是是常常用用的的有有效效方方法之一。法之一。数数学学中中的的观观察察按按观观察察的的特特征征可可分分为为定定性性观观察察（对对对对象象的的特特征征、性性质质、关关系系的的观观察察）和和定定量量观观察察（对对象间的数量关系的观察）两种。（对对象间的数量关系的观察）两种。第6页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 在在数数学学活活动动中中，常常常常通通过过观观察察来来收收集集新新材材料料，发发现现新新事事实实，并并通通过过观观察察可可以以认认识识数数学学的的本本质质、揭揭示示数数学的

7、规律、探求数学方法。学的规律、探求数学方法。数数学学活活动动中中的的观观察察有有利利于于发发现现数数学学对对象象的的特特征征、性性质质与与关关系系，发发现现数数学学命命题题。在在数数学学中中靠靠观观察察获获得得的的命命题题（或或猜猜想想）很很多多。例例如如，哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想、费马大定理等都是由观察提出的。费马大定理等都是由观察提出的。第7页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 再再如如：设设f f为为整整数数n n的的素素数数因因子子的的个个数数，按按f f的的偶偶性性或或奇奇性性分分别别称称为为“偶偶分分解解”或或“奇奇分分解解”，如如30=230=23 35

8、 5为为奇奇分分解解，而而60=260=22 23 35 5为偶分解。则：为偶分解。则：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 偶偶 奇奇 奇奇 偶偶 奇奇 偶偶 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 11 12 13 14 15 1611 12 13 14 15 16 奇奇 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 偶偶第8页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 通通过过观观察察可可猜猜测测：奇奇分分解解与与偶偶分分解解的的个个数数大大致致相相等等。现现已已证证明明：在在前前n n个个整整数数中中，当当n n很很大大时时，偶偶分分解解和和奇分解大约一样多。

9、奇分解大约一样多。G G波波利利亚亚曾曾试试到到n=1500n=1500，并并猜猜想想n n22时时，在在前前n n个个整整数数中中，偶偶分分解解从从不不占占多多数数。数数学学家家D DH H兰兰姆姆曾曾一一直直算算到到n=600000n=600000时时，波波利利亚亚的的猜猜想想仍仍成成立立。但但至至今尚未证明。今尚未证明。第9页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 欧欧拉拉曾曾经经说说过过：“今今天天人人们们所所知知道道的的数数的的性性质质，几几乎乎都都是是由由观观察察所所发发现现的的，并并且且早早在在用用严严格格论论证证确确认认其其真真实实性性之之前前就就被被发发

10、现现了了。甚甚至至到到现现在在还还有有许许多多关关于于数数的的性性质质是是我我们们所所熟熟悉悉而而不不能能证证明明的的；只只有有观观察察才才使使我我们们知知道道这这些些性性质质。因因此此我我们们认认识识到到，在在仍仍然然是是很很不不完完善善的的数数论论中中，还还得得把把最最大大的的希希望望寄寄托托在在观观察察之之中中；这这些些观观察察将将导导致致我我们们继继续续获获得得以以后后尽尽力力予予以以证证明明的的新新的性的性质质。”第10页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 欧欧拉拉又又指指出出了了观观察察的的局局限限性性，告告诫诫人人们们要要把把“这这类类仅仅从从观观察察为

11、为旁旁证证而而仍仍未未被被证证明明的的知知识识，必必须须谨谨慎慎地地与与真真理理区区别别开开来来，”“不不要要轻轻易易地地把把观观察察所所发发现现的的和和仅仅从从归归纳纳为为旁旁证证的的关关于于数数的的那那样样一一些些性性质质信以信以为为真。真。”数数学学解解题题过过程程中中，观观察察有有利利于于探探索索发现解决问题的思路，预见题目的结果。发现解决问题的思路，预见题目的结果。第11页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 数数学学解解题题中中的的观观察察比比一一般般的的审审题题和和分分析析的的意意义义更更深深远远，往往往往贯贯穿穿整整个个解解题题过过程程的的始始终终。一一

12、般般来来说说，在在数数学学解解题题过过程程中中，前前一一个个观观察察所所获获得得的的感感知知又又为为下下一一个个观观察察提提供供了了条条件件，观观察察不不断断深深入入，从从而而洞洞察察问问题题的的本本质质。观观察察包包含含对对数数学学问问题题的的精精密密细细致致的的考考察察，以以及及积积极极合合理理的思索。的思索。第12页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 实实验验是是根根据据研研究究问问题题的的需需要要，按按照照研研究究对对象象的的自自然然状状态态和和客客观观规规律律，人人为为地地变变革革、控控制制和和模模拟拟客客观观对对象象，在在有有利利的条件下获取经验材料的研究

13、方法。的条件下获取经验材料的研究方法。实实验验方方法法有有助助于于数数学学理理论论的的研研究究与与发发展展；有有助助于于启启发发数数学学解解题题思思路路；有有助助于在数学教学中创设思维情景。于在数学教学中创设思维情景。第13页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 由由于于实实验验总总是是和和观观察察相相互互联联系系，观观察察常常常常可可用用实实验验作作基基础础，而而实实验验又又可可使使观观察察得得到到的的性性质质或或规规律律得得以以重重现现或或验验证证，实实验验乃乃观观察察的的发发展展与与深深化化。而而实实验验比比观观察察有有更更大大的的优优越越性性，主主要要表表现现在

14、在以以下下两两个方面：个方面：第14页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 （1 1）实实验验方方法法具具有有简简化化和和纯纯化化数数学学对对象象的的作作用用。因因为为实实验验可可借借助助专专门门仪仪器器工工具具，人人为为地地变变更更、控控制制和和模模拟拟客客观观对对象象，因因而而能能把把握握实实验验者者的的需需要要，突突出出某某些些主主要要因因素素，排排除除或或减减少少其其他他次次要要的的、偶偶然然因因素素的的干干扰扰，使使研研究究对对象象中中为为研研究究者者所所需需要要的的某某些些属属性性或或关关系系在在简简化化、纯纯化化的的形形态态下暴露出来，从而准确地下暴露出来

15、，从而准确地认识认识它。它。第15页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 （2 2）实实验验方方法法可可以以重重复复进进行行或或多多次次再再现现被被研研究究的的对对象象，以以便便进进行行反反复复的的观观察察。数数学学不不是是实实验验性性的的科科学学，因因此此不不能能将将观观察察到到的的结结果果、实实验验性性的的验验证证作作为为判判断断数数学学命命题题的的真真假假性性的的充充分分依依据据，但但它它们们在在数数学学发发现现及及探探求求数数学学问问题题的的解解决决思思路路的的过过程是起着重要作用的程是起着重要作用的。第16页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观

16、察与实验 观观察察和和实实验验是是数数学学思思维维的的基基本本方方式式，在在发发现现数数学学问问题题、探探求求解解决决问问题题的的方方法法中都有重要作用。中都有重要作用。欧欧拉拉也也曾曾指指出出：“数数学学这这门门学学科科，需要观察，也需要实验。需要观察，也需要实验。”下下面面我我们们将将通通过过一一些些例例子子来来说说明明观观察与察与实验实验在数学研究中的重要作用。在数学研究中的重要作用。第17页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验例例1 1、兔子繁殖问题、兔子繁殖问题 1313世世纪纪初初，意意大大利利数数学学家家裴裴波波那那契契在在他他所所著著的的算算盘书盘书中，

17、提出了一个十分有趣的中，提出了一个十分有趣的题题目：目：“有有一一个个人人把把一一对对小小兔兔子子放放在在四四面面都都围围着着的的地地方方，他他想想知知道道一一年年以以后后总总共共有有多多少少对对兔兔子子。假假定定一一对对小小兔兔子子经经过过一一个个月月以以后后就就长长大大成成为为一一对对大大兔兔子子。而而一一对对大大兔兔子子经经过过一一个个月月就就不不多多不不少少恰恰好好生生一一对对小小兔兔子子（一一雌雌一一雄雄），并并且且这这些些生生下下的的小小兔兔子子都都不不死死。”第18页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验这是一个算术问题，但是用普通的算术公这是一个算术问题，

18、但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号：我们引进记号：1表示已长大成熟的一对大兔子；表示已长大成熟的一对大兔子；0表示未成熟的一对小兔子；表示未成熟的一对小兔子；用 表示在n月1日总共有兔子的对数，用 分别表示n月1日大兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察得到兔子的繁殖规律列成下表:第19页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验观察此表可得：观察此表可得：n123456701123581011235112358 13第20页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 进一步考虑，又可

19、得：进一步考虑，又可得：（1 1）第21页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验（2 2）由由以以上上观观察察和和归归纳纳所所得得的的结结果果，我我们们有有理理由由猜猜想想兔兔子子的的繁繁殖殖规规律律可可以以用用一一个个明确的递推关系来描述，即明确的递推关系来描述，即第22页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 上上面面的的结结果果纯纯粹粹是是建建立立在在观观察察和和实实验验的的基基础础之之上上的的，是是否否带带有有普普遍遍意意义义，亦亦即即对对一一切切结结论论是是否否成成立，立，还还需要需要进进行行严严格格论证论证。对对于于递递推关系式推关系式

20、其其正正确确性性是是肯肯定定的的，这这可可以以用用数数学学归归纳纳法法加加以以证证明明，后后人人为为纪纪念念兔兔子子繁繁殖殖问问题题的的提提出出人人，将将数数列列称称为为裴裴波波那那契契数数列列，这这个个数数列列的的每每一一项项都都叫叫做做裴裴波波那那契契数数，裴裴波波那那契契数数列列在在数数学学、物物理理、化化学学、天天文文等等学学科科中中经经常常出出现现，并且有，并且有许许多有趣的性多有趣的性质质。第23页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 当当代代最最著著名名的的数数学学教教育育家家波波利利亚亚所所说说：“数数学学家家好好似似自自然然科科学学家家，在在他他用用一

21、一个个新新观观察察到到的的现现象象来来检检验验一一个个所所猜猜想想的的一一般般规规律律时时，他他向向自自然然界界提提出出问问题题：我我猜猜想想这这规规律律是是真真的的，它它真真的的成成立立吗吗？假假如如结结果果被被实实验验明明确确证证实实，那那就就有有某某些些迹迹象象说说明明这这个个规规律律可可能能是是真真实实的的，自自然然界界可以可以给给你是或非的回答。你是或非的回答。”第24页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验例例2 2、投针问题、投针问题 17771777年，法国科学家蒲丰提出并解决了一年，法国科学家蒲丰提出并解决了一个概率问题：投针问题。这个问题给人们以巨个概

22、率问题：投针问题。这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下：分密切的关系。投针问题用数学语言表述如下：平面上画着一些间隔为 的一组平行线，在平面上随机的投掷一枚长为 并且质量均匀的针，假定 ，试求此针与平行线相交的概率。第25页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 从几何概率来看，投针问题的解法是：用M表示针的中点，X表示M到与它最近的一条平行线的距离，表示针与这一平行线的交角（图2.1）。图2.1a2那么那么决定了平面上一个矩形S；同时为了使针与一平行线相交，当且仅当X，

23、满足不等式第26页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 于于是是，我我们们的的问问题题就就等等价价于于在在S S中中随随机机地地掷掷一一点点，求求此此点点落落在在区区域域A A中中的的概概率率（图图2.22.2）由由积积分分的的几几何何意意义义可可知知，区区域域A A的面积是的面积是 故所求的概率故所求的概率A图2.2第27页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 投针问题的结果，提供了用实验方法求 值的理论依据。设n是投针的总次数，m是针与平行线之一相交的次数，由概率的统计定义，近似等于 ，于是得在历史上，有不少人利用上述结果做过实在历史上，有不

24、少人利用上述结果做过实验。验。第28页，本讲稿共146页 18501850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根长长36mm36mm的针，平行线的距离为的针，平行线的距离为45mm45mm，投掷了，投掷了50005000次，次，得到的近似值为得到的近似值为3.15963.1596。18551855年，英国人史密斯投掷了年，英国人史密斯投掷了32003200次，得到的近次，得到的近似值似值3.15533.1553。18641864年，英国人福克斯投年，英国人福克斯投郑郑了了11001100次。得到次。得到的近似的近似值为值为3.14193.1419。190119

25、01年，意大利拉泽里尼投郑了年，意大利拉泽里尼投郑了34803480次，得到次，得到的值准确到第六位小数，但有人对些结果持怀疑态度。的值准确到第六位小数，但有人对些结果持怀疑态度。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验第29页，本讲稿共146页 蒲丰投针实验提示了数学方法的多蒲丰投针实验提示了数学方法的多样性和灵活性，投针问题被认为是数学样性和灵活性，投针问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果。史上最早的几何概率的研究成果。由于由于几何概率的研究要以有关图形集合的测几何概率的研究要以有关图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。建立。2.1

26、数学中的观察与实验数学中的观察与实验第30页，本讲稿共146页 在现代，由于大型电子计算机的出现，一种新在现代，由于大型电子计算机的出现，一种新型的数学实验近似计算方法型的数学实验近似计算方法蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法迅速迅速地发展起来。这种方法以概率和统计的理论、方地发展起来。这种方法以概率和统计的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的概率模型相联法为基础，将所求的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。多用于求繁难的积分。解线性方问题的近似解。多用于求繁难的积分。解线性方程组、偏微分方程等问题。程组、偏微分方程

27、等问题。下面来说明这种方法的基本思路。下面来说明这种方法的基本思路。2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验第31页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例如要计算积分 的值。由由积积分分的的几几何何意意义义就就是是要要求求计计算算图图2.3中中的的区域区域A的面积。即的面积。即xy110SA图2.3=区域A的面积由几何概率的定义，这就相当于由几何概率的定义，这就相当于“向正方形向正方形S中随机地掷一点中随机地掷一点”，求此点落在区域，求此点落在区域A中的概率中的概率，又由概率的统计定义，为求得，又由概率的统计定义，为求得的近似值，只的近似值，只要求得此点落在区域要求

28、得此点落在区域A中的频率，即中的频率，即第32页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验第33页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验随机地掷一点于正方形的试验可以由计随机地掷一点于正方形的试验可以由计算机来做，并且可以由计算机来算出算机来做，并且可以由计算机来算出n次试验次试验中落在区域中落在区域A的频率的频率概率的近似值，也就概率的近似值，也就是积分是积分的近似值。当试验次数的近似值。当试验次数n充分充分大时，它与大时，它与的误差可以很大的概率控制在的误差可以很大的概率控制在所需要的精确度内。由于大型计算机的运算所需要的精确度内。由于大型计算机的运

29、算速度很快，所以可在很短的时间内求得所要速度很快，所以可在很短的时间内求得所要求的结果。求的结果。第34页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 人人们们在在学学习习数数学学或或解解决决数数学学问问题题的的过过程程中中，也也免免不不了了观观察察和和实实验验。而而决决定定观观察察与与实实验验的的质质量量的的主主要要条条件件是是目目的的性性、计计划划性性、全全面面性性以以及及主主体体的的良良好好知知识识结结构构。深深入入的的观观察察和和良良好好的的实实验验可可引引起起广广泛泛的的联联想想和和知知识识迁迁移移，使使我我们们不不断断地地调调整整步步骤骤，通通过过简简单单的的情情形

30、形，去去理理解解和和发发现现研研究究对对象象的的性性质质和和规规律律，还可使我们更快地产生顿悟，找到解决问题的关键。还可使我们更快地产生顿悟，找到解决问题的关键。第35页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例如，为了得到例如，为了得到 “三三角角形形内内角角之之和和等等于于180180o o”这这个个定定理理，我我们们可可通通过过下下面面的的两两个实验：个实验：一是用量角器分别测量三个内角的大小，然后求和；一是用量角器分别测量三个内角的大小，然后求和；图2.4ABCD二是在纸上裁下一个三角形（记为二是在纸上裁下一个三角形（记为ABC）如图如图2.4所示，剪下所示，剪下

31、A与与B，把它们和，把它们和C拼在拼在一起。这时可发现一起。这时可发现CD恰好为恰好为BC之延长线。通过之延长线。通过实验，不仅帮助我们建立命题，而且实验二还指实验，不仅帮助我们建立命题，而且实验二还指出了这个命题证明方法的启示。出了这个命题证明方法的启示。第36页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 例例3 3、如如果果正正整整数数N N（N N1 1）的的正正约约数数的个数是奇数，求的个数是奇数，求证证N N是完全平方数。是完全平方数。此此题题的的证证明明方方法法并并不不显显然然，我我们们可可以以做做一一个个实实验验，去去观观察察n n个个特特殊殊的的正正整整数数，

32、其其中中包包括括一一些些非非完完全全平平方方数数和和一一些些完完全全平平方方数数，考考虑虑它它们们的的正正约约数数的的个个数数呈呈现现什么规律，这些规律是怎样产生的？什么规律，这些规律是怎样产生的？第37页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验对非完全平方数的正约数个数的观察对非完全平方数的正约数个数的观察N正约数正约数个数2356712301，21，31，51，2，3，61，71，2，3，4，6，121，2，3，5，6，10，15，302224268第38页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验对完全平方数的正约数个数的观察对完全平方数的正约数个数

33、的观察N正约数正约数个数491625361001961，2，41，3，91，2，4，8，161，5，251，2，3，4，6，9，12，18，361，2，4，5，10，20，25，50，1001，2，4，7，14，28，49，98，1963353999第39页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 通通过过观观察察，我我们们得得到到：对对非非完完全全平平方方数数来来说说，它它们们的的正正约约数数序序列列中中，距距首首未未两两端端等等距距离离的的两两个个正正约约数的乘积为数的乘积为N N，如，如 12=112=26=3412=112=26=34；对对完完全全平平方方数数来来说

34、说，它它们们的的正正约约数数序序列列中中，除除了了首首未未两两端端等等距距离离的的两两个个正正约约数数的的乘乘积积为为N N之之外外，中中间间还剩一个正约数，如还剩一个正约数，如 36=136=218=312=49=636=136=218=312=49=62 2第40页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验 以以上上实实验验，也也使使我我们们更更加加确确信信：正正约约数数的的个个数数是是偶偶数数的的正正整整数数必必为为非非完完全全平平方方数数；正正约约数数的的个个数数是是奇奇数数的的正正整整数数必必为为完全平方数。完全平方数。根根据据实实验验中中我我们们所所观观察察到到的

35、的正正整整数数的的正正约约数数的的个个数数规规律律的的启启示示，得得到到本本例例的的证证法如下：法如下：第41页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验第42页，本讲稿共146页2.1数学中的观察与实验数学中的观察与实验习题习题 1、用数学用数学归纳归纳法法证证明裴波那契数列明裴波那契数列的递的递推关系式：推关系式：并求出并求出裴波那契数列裴波那契数列的通项。的通项。第43页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 比比较较是是确确定定有有关关事事物物的的共共同同点点和和不不同同点点的的思思维维方法。方法。比比较较的的过过程程是是先先对对有有关关事

36、事物物进进行行分分析析，区区别别每每个个事事物物各各方方面面的的特特征征，再再将将有有关关事事物物按按其其特特征征进进行行对对比比，得得出出哪哪些些方方面面具具有有共共同同性性，哪哪些些方方面面又又有有区区别别性性，从从而而鉴鉴别别这这些些事事物物间间的的异异同同，比比较较是是概概括括的的基基础础，通通过过抽抽象象得得出出的的属属性性是是在在比比较较以以后才能后才能认识认识其共性的。其共性的。第44页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 比比较较可可以以在在相相同同或或相相异异的的对对象象之之间间进进行行，也也可以在同类对象的不同方面进行。可以在同类对象的不同方面

37、进行。通通过过比比较较，可可以以从从思思想想上上把把握握现现实实世世界界对对象象的的本本质质特特征征和和非非本本质质特特征征，反反映映客客观观事事物物相相互互对对立立又又相相互互联联系系而而存存在在的的实实际际情情况况，达达到到正正确确认认识识事事物物的的目目的的。正正如如俄俄国国教教育育家家乌乌申申斯斯基基所所说说：“比比较较是是一一切切理理解解和和一一切切思思维维的的基基础础，我我们们正正是是通通过过比比较较来来了解世界上的一切的了解世界上的一切的”。第45页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在人们的社会实践，特别是在科学研究中，在人们的社会实践，特别是在

38、科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用。比较作为一种科学方法普遍地被应用。在数学研究中通过比较方法确定研究对象在数学研究中通过比较方法确定研究对象的共同点和差异点，为开发新的研究领域提供指的共同点和差异点，为开发新的研究领域提供指导与线索。数学中的许多发现都是应用比较方法导与线索。数学中的许多发现都是应用比较方法完成的。完成的。数数学学中中的的比比较较是是多多方方面面的的，有有量量的的大大小小的的比比较较，有有形形式式结结构构关关联联的的比比较较，也也有有实实质质方方面面的的比比较较。比比较较的的目目的的是是把把握握有有关关事事物物的的区区别别和和联联系系，达到正确认识事物。达到正确认识

39、事物。第46页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还存例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还存在两种非欧几里得几何，对于欧几里得几何原本第在两种非欧几里得几何，对于欧几里得几何原本第五公设来说，这两种非欧几里得几何分别对应于下列两五公设来说，这两种非欧几里得几何分别对应于下列两个公理个公理:罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何 已知在一平面内有一条直线已知在一平面内有一条直线 和和不不在在上上的的一一点点P P，则则过过点点P P至至少少存存在在两两条条平平行行于于 的的直直线。线。黎曼几何黎曼几何 已知在一平面内有一条直

40、线已知在一平面内有一条直线 和不在上的一点和不在上的一点P P，则过点，则过点P P不存在任何平行于不存在任何平行于 的直线。的直线。数学家数学家们们在关于欧几里得几何、在关于欧几里得几何、罗罗巴切夫斯基几何、黎曼几巴切夫斯基几何、黎曼几何的比何的比较较研究，研究，给给出了三套迥然相异的命出了三套迥然相异的命题题系统。系统。第47页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在数学教与学中应用比较可以帮助在数学教与学中应用比较可以帮助我们找出数学概念、数学命题之间的联我们找出数学概念、数学命题之间的联系与区别，从而确切地去理解数学概念系与区别，从而确切地去理解数学概念系

41、统，澄清一些易于混淆的概念、定理、系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式和法则。公式和法则。比比较较在在数数学学的的教教与与学学中中不不仅仅是是一一种种科科学学的的认认识识方方法法，而而且且已已发发展展成成为为一一种种独立的数学解题方法。独立的数学解题方法。第48页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 不不等等式式的的证证明明方方法法，因因题题而而异异，但但是是比较法是一种普适性较大的方法。比较法是一种普适性较大的方法。例例1 1、证法一：作差法，因为证法一：作差法，因为第49页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类第50页，本讲稿共

42、146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 证法二：作商法，因为证法二：作商法，因为 这就证明了这就证明了第51页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类例例2 2、分析：由图形的特征上分析：由图形的特征上可以联想有面积关系：可以联想有面积关系：比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同，比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同，只需从面积关系入手进行转化即可，于是思路打开。只需从面积关系入手进行转化即可，于是思路打开。ABCPxzy第52页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类第53页，本讲稿共146页2.22

43、.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 比较（比较（1）、（）、（2）两式，即得结论。）两式，即得结论。第54页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例3、第55页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类注：注：本题的证法虽很简单，但其变形的技巧是很本题的证法虽很简单，但其变形的技巧是很高的。高的。本题的证明中，利用了不等式的对称性，增加了本题的证明中，利用了不等式的对称性，增加了一个补充假设，从而给论证带来了很大的方便，这种一个补充假设，从而给论证带来了很大的方便，这种技巧在证明对称不等式时常用。技巧在证明对称不等式时常用。本题可作

44、如下的推广：本题可作如下的推广：第56页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 分分类类是是以以比比较较为为基基础础，按按照照事事物物间间性性质质的的异异同同，将将相相同同性性质质的的对对象象归归为为一一类类，不不同同性性质质的的对对象象归归入入不不同同类类别别的的思思维维方方法法。分分类类的的目目的的在在于于使使知知识识条条理理化化，并并进进而而系系统统化化，促促进进认认识识结结构构的的发发展展，分分类类方方法法虽虽侧侧重重于于理理性性思思维维，但但是是条条理理化化、系系统统化化的的信信息息便便于于检检索索和和储储存存，对对知知识识的的巩巩固固、理理解解的的深深化

45、化、后后续续学学习习的的进进行和问题的解决都起着重要的指导作用。行和问题的解决都起着重要的指导作用。第57页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 观观察察、比比较较是是分分类类的的前前提提，分分类类是是观察、比较的结果。观察、比较的结果。当当面面临临较较复复杂杂的的对对象象时时，人人们们往往往往会会考考虑虑将将对对象象按按某某种种特特征征分分成成几几个个部部分分，逐逐一一加加以以研研究究，再再综综合合之之，以以达达到到认认识识对对象象全全体体的的目目的的。这这种种分分类类方方法法在在科科学学研究中是广研究中是广为为运用的。运用的。第58页，本讲稿共146页2.22

46、.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在在数数学学中中则则把把分分类类作作为为一一种种揭揭示示概概念念外外延延的的逻逻辑辑方方法法，当当我我们们要要弄弄清清某某个个数数学学概概念念是是由由哪哪几几种种子子概概念念构构成成的的时时候候，就就提提出出了了概概念念分分类类（或或称称为为概概念念划划分分）的任的任务务。用用二二分分法法分分类类，条条理理清清楚楚，对对于于从从整整体体上上认认识识种种概概念念与与属属概概念念之之间间的的关关系系较为较为有利。有利。第59页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 概念的分概念的分类类必必须须遵守以下遵守以下规则规则：1 1分分

47、类类所所得得的的各各子子项项外外延延的的总总和和，应应当与被分类的概念的外延相等。当与被分类的概念的外延相等。2 2分分类类所所得得的的各各子子项项，应应当当是是互互相相排排斥的。斥的。3.3.分分类类应应取取被被分分类类概概念念最最邻邻近近的的属属概概念念,按步骤和层次逐步进行按步骤和层次逐步进行,不能越级。不能越级。4 4分分类应类应按同一按同一标标准准进进行。行。第60页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 一一切切事事物物都都必必须须分分门门别别类类加加以以研研究究，才才能能条条理理清清楚楚、泾泾渭渭分分明明，作作为为反反映映现现实实世世界界各各种种现现象

48、象普普遍遍联联系系和和制制约约关关系系的的数数学学，是是以以概概念念为为支支柱柱的的，没有分类，数学概念就不复存在，也无法发展。没有分类，数学概念就不复存在，也无法发展。分分类类往往往往可可使使复复杂杂的的问问题题简简单单化化，使使隐隐晦晦的的条条件件变变为为明明显显，从从而而有有助助于于我我们们分分别别思思考考，各各个个击击破破，大大到到一一个个数数学学分分支支学学科科，小小到到某某个个具具体体问问题题，几几乎乎一一切切数数学学问问题题都都与与分分类类有有关关。学学会会在在不不同同的的场场合合把把复复杂杂的的对对象象按按需需要要进进行行分分类类，是是数数学学研究中一种很重要的基本功研究中一种

49、很重要的基本功。第61页，本讲稿共146页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 在解答某些数学问题时，分类讨论在解答某些数学问题时，分类讨论法是根据问题的不同情况分类求解的一法是根据问题的不同情况分类求解的一种极为重要的数学方法，对于分类方法种极为重要的数学方法，对于分类方法的分析、研究和掌握，有利于培养周密、的分析、研究和掌握，有利于培养周密、全面的数学思维，有利于培养综合分析全面的数学思维，有利于培养综合分析问题的能力。问题的能力。下面我们将通过一些典型例题来说下面我们将通过一些典型例题来说明分类讨论法在数学解题中的应用。明分类讨论法在数学解题中的应用。第62页，本讲稿共146

50、页2.22.2数学中的比较与分类数学中的比较与分类 例例4、试讨论空间三平面的一切可能的位置关系。、试讨论空间三平面的一切可能的位置关系。分析：空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。怎样分类分析：空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。怎样分类才能做到无重复有无遗漏呢？应抓住分类各个阶段的分类标准。才能做到无重复有无遗漏呢？应抓住分类各个阶段的分类标准。首先抓三个平面有无重合，在有二个重合的条件下再按与首先抓三个平面有无重合，在有二个重合的条件下再按与第三个平面是相交还是平行进行分类；对三个平面都不重合的第三个平面是相交还是平行进行分类；对三个平面都不重合的情况下再按有几个平面平行来分类；对三个