2.3实变函数与泛函分析 点集.ppt

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1、2.3实变函数与泛函分析点集1.开集、闭集lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：说明：1.）要证E是开集,只要证 2.）要证E是闭集，只要证 若E=E,则称E为开集开集（E中每个点都为内点)若 ,则称E为闭集闭集（与E紧挨的点不跑到E外）TH1:E为为开集开集注：E为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而.所以x为E的内点，即证明：只要证任取 ，由内点的定义知任取 ，取 TH2:E为闭集为闭集E证明：只要证任取 ，由聚点的定义知 E为闭集注：为包含E的最小闭集E从而.即x为E的聚点，从而 3.开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚

2、点：lP0为 E的内点：lP0为 E的外点：b.1.)若E为开集，则Ec为闭集;2.)若E为闭集，则Ec为开集。a.1.）开集的余集是闭集 lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而 ，即Ec为闭集。证明：设E为开集，即从而2.）闭集的余集是开集lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内，这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点内点，即Ec为开集。4.性质 a.空集，空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并开集

3、之并仍为开集；c.有限个开集之交开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭开又闭.存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B1.）开集的性质2.）闭集的性质）闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集5.R中有关紧性的两个结论Weierstrass定理：若E是Rn中的一个有界有界的无限无限集，则E至少有一个聚点.点列a1,a2,a3,a4,a

4、1=(a11,a12,a13,a1n)a2=(a21,a22,a23,a2n)a3=(a31,a32,a33,a3n)l注：对无限维空间不一定成立。Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭有界闭集，若开集簇 覆盖F（即 ），则 中存在有限个存在有限个开集U1，U2，,Un，它同样覆盖F.注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数 p-362.尤承业，基础拓扑学 p-523.熊金城，点集拓扑讲义 p-2024.教材 p-42注：1.Heine-BorelHeine-Borel有限覆盖定理的有限覆盖定理的逆命题也成立 2.F为有界、闭集在TH中缺一不可(eg.)(3.)可数覆盖定理设F

5、为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（即 ），则 中存在可数个可数个开集U1，U2，,Un，它同样覆盖F.提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集可数集，开集中的点都为内点内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集稠密集(4.)紧性有关概念n1.紧集的概念（P43）n2n3.自密集定义.n4.完备/完全集.n看书理解看书理解：n1.P40.例；2.P42.有限覆盖定理证明.n3.P42.Rn中紧集与有界闭集等价性证明.n知识点复习知识点复习：n1.开集.闭集定义及性质；n2.紧集.自密集.完备集概念.此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!