弹性力学第三章应变分析PPT讲稿.ppt
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1、弹性力学第三章应变分弹性力学第三章应变分析析第1页,共36页,编辑于2022年,星期六刚性位移 位移 变形位移(平动加转动)(平动和转动及纯变形)ozxyAA任意一点的位移分量为坐标的函数 第2页,共36页,编辑于2022年,星期六ozyxAAMBBCC六面体的变形可归结为棱边的伸长(缩短)棱边间夹角的变化正应变 剪应变 微元体棱边的相对伸长度 棱边夹角之间的变化 M第3页,共36页,编辑于2022年,星期六oBMzyxaAmb将平行六面体分别投影到3个坐标面上第4页,共36页,编辑于2022年,星期六oBMzyxaAmbM点在Ox轴的位移分量为M点在Oy轴的位移分量为A点和B点相应的位移分别
2、为第5页,共36页,编辑于2022年,星期六dxdyyoxvubambam按多元泰勒级数展开,略去二阶以上的无穷小量,则A点和B点的位移矢量在Ox和Oy轴上的分量可表示为棱边ma变形后的ma长度为ma=dx+第6页,共36页,编辑于2022年,星期六dxdyyoxvubambam同理第7页,共36页,编辑于2022年,星期六dxdyyoxvubambamab在小变形下 与1相比是一小量,可以略去不计 第8页,共36页,编辑于2022年,星期六dxdyyoxvubambamab同理 根据第9页,共36页,编辑于2022年,星期六顺次轮换 和 可得其他两个切应变分量 当大于零,表示角度缩小,反之则
3、表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式第10页,共36页,编辑于2022年,星期六几何方程(柯西方程)两边同时除以2,并令三维的柯西方程用张量可以缩写成:第11页,共36页,编辑于2022年,星期六其中相对位移张量相对位移张量 在二维情况 为不对称的张量 可分解为如下两部分 或 第12页,共36页,编辑于2022年,星期六为不对称的张量 可分解为如下两部分 或 此处 应变张量应变张量(纯变形纯变形)转动张量张量转动张量张量第13页,共36页,编辑于2022年,星期六一点的应变张量称为柯西应变张量 第14页,共36页,编辑于2022年,星期六3.2 一点的应变状态Strain at a
4、Point与应力分析相似,应变分析研究物体内任意一点处各个方与应力分析相似,应变分析研究物体内任意一点处各个方向应变之间的关系,即过该点任意方向上的正应变和任意向应变之间的关系,即过该点任意方向上的正应变和任意两个相互垂直方向的切应变。两个相互垂直方向的切应变。通过应变分量坐标变换的方法,可导出相应的表达式。通过应变分量坐标变换的方法,可导出相应的表达式。第15页,共36页,编辑于2022年,星期六设在直角坐标系设在直角坐标系oxyz中点中点M 处的六个应变分量为处的六个应变分量为、。令坐标系绕原点令坐标系绕原点O转动得到新坐标系转动得到新坐标系Oxyz xyzyxzo现求新坐标系中的应变分量
5、现求新坐标系中的应变分量、第16页,共36页,编辑于2022年,星期六新老坐标系之间有如下关系其中其中li,mi,ni(i=1,2,3)表示三个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。)表示三个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。矩阵形式矩阵形式第17页,共36页,编辑于2022年,星期六在新坐标系中,表达应变分量和位移关系的几何方程为在新坐标系中,表达应变分量和位移关系的几何方程为第18页,共36页,编辑于2022年,星期六新旧坐标系中的位移分量之间应具有关系新旧坐标系中的位移分量之间应具有关系利用方向导数利用方向导数(Directional Derivative)公式公式第19页,共36页,编辑于2022
6、年,星期六同理,还可求得其他应变分量表达式,于是可得到同理,还可求得其他应变分量表达式,于是可得到(3.24a)第20页,共36页,编辑于2022年,星期六记为矩阵形式记为矩阵形式或记为另一种矩阵形式或记为另一种矩阵形式(3.24b)(3.25)缩写为张量形式缩写为张量形式Cauchy应变张量为二阶张量应变张量为二阶张量(second-order tensor)第21页,共36页,编辑于2022年,星期六过物体内某一点沿任意方向微分段的伸长率过物体内某一点沿任意方向微分段的伸长率 第22页,共36页,编辑于2022年,星期六例例 3.1 3.1 平行六面体变形如图平行六面体变形如图3.53.5
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