5.3 实对称矩阵的正交相似对角化.ppt

《5.3 实对称矩阵的正交相似对角化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.3 实对称矩阵的正交相似对角化.ppt（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、5.3实对称矩阵的正交相似对角化5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英而有的就不能找到而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件件:n 阶方阵阶方阵 A 能对角化的充要条件是能对角化的充要条件是 A 有有 n 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.通过前面的学习我们知道通过前面的学习我们知道,有的有的 n 阶方阵能找到阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,一、问题的提出一、问题的提出因此，并不是所有的矩阵一定可对角化因此，并不是所有的矩阵一定

2、可对角化.然而然而实实对称矩阵是必可对角化的一类矩阵对称矩阵是必可对角化的一类矩阵，而且一定，而且一定能找到一个正交矩阵能找到一个正交矩阵Q，使，使 Q-1AQ=.5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英步骤步骤步骤步骤 2:2:对对 A 的每个特征值的每个特征值 i,求求(A-i E)x=0的基础解系的基础解系,设为设为(i=1,2,s).以这些向量为列构

3、以这些向量为列构并把它们正交化、单位化，记为并把它们正交化、单位化，记为造正交矩阵造正交矩阵 Q，即即且且 Q-1AQ=其中其中(A 的特征值的特征值)之间的对应关系之间的对应关系.要注意矩阵要注意矩阵 Q的列与对角矩的列与对角矩 阵阵 主对角线上的元素主对角线上的元素5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英 例例 1 设设求正交矩阵求正交矩阵 Q,使使 Q-1AQ 为对角矩阵为对角矩阵.四、举例四、举例5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英第一步第一步 求求 A 的特征值的特征值5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似

4、对角化黄凤英黄凤英解之得基础解系解之得基础解系将将 1,2 正交化：令正交化：令将将 1,2 单位化得：单位化得：第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 再单位化再单位化5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英求得基础解系求得基础解系将将 3 单位化得单位化得 则有则有第五步第五步 构造正交矩阵构造正交矩阵Q Q，并写出对角阵，并写出对角阵 5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英解解例例2 2 求出正交矩阵求出正交矩阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄

5、凤英解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英解之得基础解系解之得基础解系5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英 例例 3 设设2阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A的特征值为的特征值为1,2,且特征值且特征值 1 对应的一个特征向量为对应的一个特征向量为（1）求特征值）求特征值 2 对应的特征向量对应的特征向量（2）求矩阵）求矩阵A5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英 例例 4 求一个三阶实对称矩阵求一个三阶实对称矩阵 A,它的特征它的特征且特征值且特征值 6 对应的一个特征向量为对应的一个特征向量为值为值为 6,3,3,5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英黄凤英此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!